第六届大学生数学建模邀请赛试题 UGMCM 2004 试 题 说 明 ² 本次竞赛共有如下三题。每支参赛队伍必须从以下三题中任意选取两题,并完成两篇论文,其它具体要求参阅竞赛手册。 ² 参赛论文必须于2004年9月20日前交至各参赛学校联系人处。 (一)水库排污问题 (二)影院座位设计问题 (三)燃气输送问题 注:本试题版权归第六届大学生数模邀请赛组委会所有,不得擅自转作他用! (一)水库排污问题 某条江流上有2条支流,每条支流上都兴建了规模相当的水库。由于正处在雨水多发季节,因此两个水库都以一定规模的流量进行泄洪。某天晚上10:00,在其中的一个水库中发生了两船相撞的事故,而其中的一条船装载的p吨化学物质(这里的化学物质可以是具有挥发性的,也可能是急难挥发的)全部泄漏至水库中。当水上航运事故处置中心接获事故报告,立即要求该水库关闭水库泄洪闸,以免化学物质随洪水流入干流,发生更大规模的污染。水库闸门开始关闭时,已经处在事故发生后的1个小时,而水库闸门彻底关闭也需要1个小时的时间。根据当地环境监测的有关规定,干流大面积污染的危险警戒值设为:三小时内q吨该化学物质发生泄漏。 (1) 试建立合理的数学模型,讨论由于此次事故的发生,干流发生大面积污染的可能性; (2) 如果在另外的一水库中有一化工厂违规排放废料。废料中同样含有该化学物质。该工厂为躲避环境监测站的监控,均在晚上9:00-12:00违规进行周期性排放。在这种情形下,讨论由于此次事故的发生,干流发生大面积污染的可能性; (3) 如果以上两个水库间有一条人工修建的水渠相连接,水渠中的水流流向不定,但保证两水库之间的水流能够相互影响。那么上述结果是否会改变?请给出说明,若有改变,则给出修正的模型及结果; (4) 如果发生了大面积污染,那么针对第三种情况,试给出在短时间内控制污染模型。 (二)影院座位设计问题 下图为影院的剖面示意图,座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角,α越大越好;仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角,β太大使人的头部过分上仰,引起不舒适感,一般要求β不超过 。 设影院屏幕高h, 上边缘距地面高H,地板线倾角θ,第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d和D, 观众平均坐高为c(指眼睛到地面的距离)。已知参数 h=1.8, H=5,d=4.5 ,D=19,c=1.1(单位:m)。(如图所示) (1) 地板线倾角θ= ,问最佳座位在什么地方。 (2) 求地板线倾角θ(一般不超过 ),使所有观众的平均满意程度最大。 (3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。
(三)燃气输送问题 (1) 气体从压力高处向压力低处运动,燃气公司依靠在气源处加压来输送燃气。假设有企业和居民两类用户分布在距离气源处的不同位置。两类用户的输出口气压标准,输出口管道的直径和用气量(假定是常数)均不相同。假设主管道的直径为 。请问如何在气源处加压以满足燃气输送的要求。 (2) 大型燃气储气罐是一种作用与水库类似的设施。假设储气罐可以随时输入和输出燃气,而其也可以在输出燃气时加压力。假定用户的用气量随时间变化,如果气源处的压力不变,问如何调节储气罐的压力以满足要求。 (3)城市燃气公司的燃气供给基本上是稳定的。一般将其视为一个与时间无关的常数。而企业与居民的用气量却随时间有显著的变化。尤其是在居民集中用气时会造成供气不足。现行通常的做法是:由行政部门规定企业停工或部分停工给居民“让气”,其代价是工业生产的损失。请参赛队讨论能够使得居民与企业“双赢”的策略。 |