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一些组合函数

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发表于 2012-1-12 15:56 |只看该作者 |倒序浏览

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本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 18:09 编辑

n:=12;n;
Factorial(n);求阶乘
Factorial(n)/(Factorial(2)*Factorial(2)*Factorial(3)*Factorial(4));
NumberOfPermutations(n, 1);组合数NumberOfPermutations(n, 2);
NumberOfPermutations(n, 4);
NumberOfPermutations(n, 11);
Binomial(n, 1) ;二项式系数Binomial(n, 2) ;
Binomial(n, 3) ;
Binomial(n, 9) ;
Binomial(n, 10) ;
Binomial(n, 11) ;
Multinomial(n, [1,2,2,3,4]) ;x*y^2*z^2*t^3*k^4系数=12！/1！*2！*2！*3！*4！=831600

Fibonacci(n);斐波数Fibonacci(n-1);
Fibonacci(n+1);
GeneralizedFibonacciNumber(1, 1, n) ;斐波位数加数GeneralizedFibonacciNumber(2, 3, n) ;
GeneralizedFibonacciNumber(0, 1, n) ;
Catalan(n);卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
k:=Factorial(24)/Factorial(12);k;m:=k/Factorial(13);m;
Catalan(1);
Catalan(2);
Catalan(3);Catalan(4);
Catalan(12);

Lucas(n);卢卡斯数
12
479001600
831600
12
132
11880
479001600
12
66
220
220
66
12
831600
144
89
233
233
610
144
208012
208012
1
2
5
14
208012
322

卡特兰数=(2n)!/((n)!*(n+1)!))
Cn表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的部分字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck words:
**YYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY
将上例的X换成左括号，Y换成右括号，Cn表示所有包含n组括号的合法运算式的个数:
((())) ()(()) ()()() (())() (()())
Cn表示有n+1个叶子的二叉树的个数。

Cn表示所有不同构的含n个分枝结点的满二叉树的个数。（一个有根二叉树是满的当且仅当每个结点都有两个子树或没有子树。）
Cn表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

Cn表示对{1, ..., n}依序进出栈的置换个数。一个置换w是依序进出栈的当S(w) = (1, ..., n), 其中S(w)递归定义如下：令w = unv，其中n为w的最大元素，u和v为更短的数列；再令S(w) = S(u)S(v)n，其中S为所有含一个元素的数列的单位元。
Cn表示集合{1, ..., n}的不交叉划分的个数. 那么, Cn 永远不大于第n项贝尔数. Cn也表示集合{1, ..., 2n}的不交叉划分的个数，其中每个段落的长度为2。综合这两个结论，可以用数学归纳法证明 that all of the free cumulants of degree more than 2 of the Wigner semicircle law are zero. This law is important in free probability theory and the theory of random matrices.
Cn表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为 n = 4的情况:

卢卡斯数是一个以数学家爱德华·卢卡斯命名的整数序列，他既研究了这个数列，也研究了有密切关系的斐波那契数（两个数列都是卢卡斯数列）。与斐波那契数一样，每一个卢卡斯数都定义为前两项之和，也就是说，它是一个斐波那契整数序列。两个相邻的卢卡斯数之比收敛于黄金分割比。% w: ~: g1 q" Z( z" P
$ O# j4 Z. F0 G: a8 f- w( l& Q0 t m" w
但是，最初两个卢卡斯数是L0 = 2和L1 = 1，而不是0和1。所以，卢卡斯数的性质与斐波那契数的性质有些不同

n:=100;n;
a:=Lucas(n);a;
b:=Fibonacci(n+1)+Fibonacci(n-1);b;
Lucas(n+1)+Lucas(n-1);5*Fibonacci(n);

100
792070839848372253127
792070839848372253127
1771124240896309575375
1771124240896309575375

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zan

系数, 卢卡斯, Lucas, 二项式

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lilianjie

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发表于 2012-1-12 18:44 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 18:44 编辑

反费波那西数列反费波那西数列的递归公式如下：

Gn + 2 = Gn − Gn + 1
如果它以1,-1，之后的数是：1,-1,2,-3,5,-8, ...

即是F2n + 1 = G2n + 1,F2n = − G2n。

Bell(2);Bell(5);Bell(3);Bell(4);贝尔数StirlingFirst(4,1);第一Stirling数StirlingFirst(4,2);
StirlingFirst(4,3);
StirlingSecond(4, 1);第二Stirling数StirlingSecond(4, 2);
StirlingSecond(4, 3);
2
52
5
15
-6
11
-6
1
7
6

Bn是基数为n的集合的划分方法的数目。集合S的一个划分是定义为S的两两不相交的非空子集的族，它们的并是S。例如B3 = 5因为3个元素的集合{a, b, c}有5种不同的划分方法：

{{a}, {b}, {c}}
{{a}, {b, c}}
{{b}, {a, c}}
{{c}, {a, b}}
{{''a'', ''b'', ''c''}}; 第一类Stirling数是有正负的，其绝对值是n个元素的项目分作k个环排列的方法数目用小写s
s(n,k)是递降阶乘多项式的系数
有递归关系S(n,k) = S(n +1,k) + S(n ,k-1) -n*s(n.k)

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组，每组内再按特定顺序围圈的分组方法的数目。例如s(4,2)：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{A},{B,D,C}
{B},{A,C,D}
{B},{A,D,C}
{C},{A,B,D}
{C},{A,D,B}
{D},{A,B,C}
{D},{A,C,B}
第二类Stirling数是n个元素的集定义k个等价类的方法数目。用大写S
给定S(n,n) = S(n,1) = 1，有递归关系S(n,k) = S(n − 1,k − 1) + kS(n − 1,k)
S(n,n − 1) = C(n,2) = n(n − 1) / 2
S(n,2) = 2n − 1 − 1

换个较生活化的说法，就是有n个人分成k组的分组方法的数目。例如有甲、乙、丙、丁四人，若所有人分成1组，只有所有人在同一组这个方法，因此S(4,1) = 1；若所有人分成4组，只可以人人独立一组，因此S(4,4) = 1；若分成2组，可以是甲乙一组、丙丁一组，或甲丙一组、乙丁一组，或甲丁一组、乙丙一组，或其中三人同一组另一人独立一组，即是：

{A,B},{C,D}
{A,C},{B,D}
{A,D},{B,C}
{A},{B,C,D}
{B},{A,C,D}
{C},{A,B,D}
{D},{A,B,C}
因此S(4,2) = 7。

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lilianjie1

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发表于 2012-1-12 19:50 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 lilianjie1 于 2012-1-12 20:06 编辑

n:=5;r:=3;
EulerianNumber(n, r) ;欧拉数HarmonicNumber(n) ;调和数列和BernoulliNumber(n) ;伯努利数有时会写成小写bn，以便与贝尔数分别开。BernoulliApproximation(n) ;
BernoulliPolynomial(n) ;伯努利多项式

26
137/60
0
0.000000000000000000000000000000
$.1^5 - 5/2*$.1^4 + 5/3*$.1^3 - 1/6*$.1

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发表于 2012-1-12 19:55 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 19:56 编辑

伯努利数可以用黎曼ζ函数表达为Bn = − nζ(1 − n)，也就说明它们本质上是这函数在负整数的值。因此，可推测它们有深刻的算术性质，事实也的确如此，这是库默尔(Kummer)研究费马最后定理时发现的。

伯努利数的可整除性是与分圆域的理想类群有关。这关系由库默尔的一道定理和更强的埃尔贝朗-里贝定理(Herbrand-Ribet)描述。而这性质与实二次域的关系由安克尼-阿廷-乔拉猜想(Ankeny-Artin-Chowla)给出。伯努利数还和代数K理论有关

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发表于 2012-1-12 20:38 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

本帖最后由 lilianjie 于 2012-1-12 20:38 编辑

拆分

。。。。强！

NumberOfPartitions(5);NumberOfPartitions(100)

artitions(10) ;

7
190569292
[
[ 10 ],
[ 9, 1 ],
[ 8, 2 ],
[ 8, 1, 1 ],
[ 7, 3 ],
[ 7, 2, 1 ],
[ 7, 1, 1, 1 ],
[ 6, 4 ],
[ 6, 3, 1 ],
[ 6, 2, 2 ],
[ 6, 2, 1, 1 ],
[ 6, 1, 1, 1, 1 ],
[ 5, 5 ],
[ 5, 4, 1 ],
[ 5, 3, 2 ],
[ 5, 3, 1, 1 ],
[ 5, 2, 2, 1 ],
[ 5, 2, 1, 1, 1 ],
[ 5, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 4, 4, 2 ],
[ 4, 4, 1, 1 ],
[ 4, 3, 3 ],
[ 4, 3, 2, 1 ],
[ 4, 3, 1, 1, 1 ],
[ 4, 2, 2, 2 ],
[ 4, 2, 2, 1, 1 ],
[ 4, 2, 1, 1, 1, 1 ],
[ 4, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 3, 3, 3, 1 ],
[ 3, 3, 2, 2 ],
[ 3, 3, 2, 1, 1 ],
[ 3, 3, 1, 1, 1, 1 ],
[ 3, 2, 2, 2, 1 ],
[ 3, 2, 2, 1, 1, 1 ],
[ 3, 2, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 3, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 2, 2, 2, 2, 2 ],
[ 2, 2, 2, 2, 1, 1 ],
[ 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1 ],
[ 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ],
[ 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 ]
]