对美赛题目的评价和总结

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发表于 2008-2-23 00:26 |只看该作者 |倒序浏览

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对美赛题目的评价和总结
韩海涛
数学中国网站超级版主

美赛已经结束，相信大家在比赛中已经获得了不少体会。事后的总结会使我们的经验更明晰，讨论会使我们的认识更深入。对这次比赛的题目特点和可能的建模思路，数学中国网站做了如下总结和分析，希望和大家讨论以共同进步。以下观点仅为一家之言，思考也不成熟，欢迎大家讨论，补充，指正。

A：题目的叙述很简单，但是背景非常复杂。虽然有很多同学选择了A题，但是A题的难度事实上可能是所有题目当中最大的。有的同学也是在开始做了一段时间，查阅了一些资料后才发现这道题的难度不可小视。但到这时，想改变可能已经来不及了。
A题的难点在于所涉及问题的复杂性。这类有关地球环境的大问题，牵涉的方面过于广泛，包括太阳辐射，大气运动，海洋运动，气、海、冰之间的能量交换等复杂的问题。就现有的数据量，计算能力甚至对基本物理机制的认识而言，要对这些因素做精确分析是不可能的。即使只做粗略的考虑，各种因素对最终结果的影响以及它们之间的相互作用也十分复杂，甚至需要相当水平的专业知识。
从大家对A题的分析可以答题看出，想要彻底解决这个问题所需的信息量严重不足。所以A题实际是在信息严重缺乏的情况下来考虑问题。有一些同学试图采用温度数据，或者海平面高度的历史数据作为参照，来预测未来的结果。但这项工作的实质是有一些问题的。首先，有同学试图采用数据拟合等方法来寻找规律，进行预测。但是除非对问题的认识毫无头绪，否则这种方法是不受欢迎的。因为数据拟合并不能确定问题的内在发展机理，所以这件事只在两种情况下有显著意义，第一是拥有足够的高精度的实验数据，或者是基本模型已经比较明确，主要缺乏的是从实际数据出发来确定参数。现在的问题显然不属于任何一种情况。对数据的时间序列做比较复杂的分析，例如类似滤波的处理，可以发现一些数据的特征，例如长期变化的趋势。但即便如此，为了预测未来，仍然需要一定的原理解释或者其他证据的旁证。任务依然是很艰难的。
更有甚者，这个问题的稳定性本来就有某种先天不足。全球温度正负几度的变化，可能对海平面的升降有巨大影响。有的模型算出来的结果精度达到了厘米级别，甚至更高。实际上由于误差等因素，早已失去了意义。也就是数据被误差“淹没”了。对这个问题该如何处理？
首先是数据的误差。因为输入的数据精度有限，所以必须降低输出精度，使结果“模糊化”。加之模型本身的稳定性并不好，与其计算精确的结果，还不如去考虑问题的可能范围，重点考查偏坏或最坏的情况，或许有更大的意义和说服力。在某些复杂的方面做一些半定量甚至定性的估计结果也是可以的。因为我们不可能去精确计算海平面的上升与海岸线后退的情况，所以在很大范围内我们可以把海平面的上升转化成某种经济损失，来粗略地衡量海平面上升给人类社会带来的影响，或者去评估威胁等级。在上升幅度非常大的时候，比如达到米级以上，才可以考虑海岸线的显著后退和大面积土地被淹没，这里有一些相关的结果可以借鉴和引用。
另外，我们对这个问题的内在机制不能进行详尽的分析。这就造成了模型建立的时候必须忽略掉许多因素和复杂的相互作用，造成一种“结构性”的误差和内在的不可靠性。尽量减小这种不可靠性的影响，需要我们把计算的目标集中在合适的物理量上。带有“总结”性质的物理量应是首选，比如能量。冰川融化使海水总量增加，海洋温度升高使海水包含的能量增加，蒸发使大气含有的气体总量增加，大气温度升高使大气能量增加，几乎都可以由能量的增加来给出反映。所以我猜测类似于这样的物理量，是比较适合于建立模型的。（当然具体建模过程可能很复杂，而且对这个问题来说，能量也不一定是最好选择。）
对建模及论文的风格来说，可以参考小行星撞击地球的题目（1999A）。

B：题目的数学味道很浓。数独是典型的数学问题，所以B题的内容显得很纯粹。但正因如此，才使B题具有比较大的难度。数独问题与图论和代数都有密切的关系，而且题目中还明确提出要分析算法，对不熟悉相关数学知识的同学，可能对此问题有某种心理上的距离感。
即使通晓相关的知识，想在短时间内完全解决B题也是不现实的。所以对B题来说，设计一个“可行”的算法就是关键。它只需要满足生成良好开局的充分条件，并不要求具有生成所有可能开局的“完全”能力。对难度的理解也有发挥的余地，不过如果能对游戏玩家拿到开局后通常的考虑方法，以及现在人们总结出来的常用技巧作一些了解，对难度的评价就更合理，形成更宽难度范围的开局也要相对好办一些。
该题的优势是资料比较充分。但是能否在短时间内消化是很大的问题。有的同学因为相关资料过多，在阅读资料上花了太多时间，造成自己的思考时间不足。而且过度寻求现有信息，最终不一定会给问题的解决以更多帮助。这个度是需要把握的。

C：题目很复杂，但比较容易入手。ICM的出题风格更远离数学，更关注对复杂事物的理解和整体把握能力。许多问题可以不太依靠数学来进行分析，可以更大胆地使用定性的分析，经验的引用，甚至比较主观化的观点。只要文章写得有说服力，都是可以被接受的。
C题有相关的联合国报告等资料可以参考。但因为各人对具体的评价指标有不同观点，一个国家的医疗卫生体系又极为复杂，所以总的工作量很大。
对一个有多方面指标的复杂对象进行统一的综合评价，许多同学都想到了层次分析法。层次分析法确实是最简单的把各种指标都综合起来的方法，但是不一定在所有地方都适用。因为从数学上讲，待解决的问题可以认为是一种从高维向量到一维序结构的映射。而层次分析法是进行加权平均，也就是线性映射。虽然权重可以不同，但是毕竟最终是进行了加法。这意味着不同因素之间的作用是相互无关而且可以叠加的。如果因素A和因素B之间存在某种相关关系，例如因素A对因素B有某种“放大作用”，也就是当因素A的取值较大时，因素B的影响就会变得显著，否则就不显著。这样，使用恒定权重的加权平均就无法表现出来。一个复杂体系的结构就变得“平面化”了。所以套用层次分析法并不是一个最好的方案，对这个问题希望大家能够思考一些另外的方法。具体对这个问题以及对例文的评价将另文给出。