倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
2 G) `! a7 p9 R设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
, y$ `+ p" S) t- d, c) `先分割一倍体。
" l) V6 ?/ z  L! }将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。

- q: T3 q9 e* p9 ?' e（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。

按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
( n  V' C% I0 _  H' y6 l棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
3 p9 J  |/ S5 `5 A棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
128 a3-125 a3=3a3
0 K8 Y! j) _) O5 i3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
0 C- }- S) d3 u0 F下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
' \' x: |9 H, ?5 Y+ p+ ?5 `方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
; ]! e! A$ }. h9 Q4 R因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
( j8 }& p) u, V; N0 f" G& r4 K但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
7 k4 u) t: C4 _0 N3 S; ~经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
8 i$ P# B0 r* I8 M% e; |1 s( |（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
' c! ~8 j$ i& P# B6 P/ t  x过剩原因是长条厚度过剩。
（三）用自然数检验二倍体
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
# `0 z2 @/ ^1 O( Q先设a=1cm
# k2 z4 Q7 S# r  h  f8 u, \  |5 U由（4a+1a+0.04a）3
得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
再设a=2cm
) f, J1 u, J- O1 S/ A# X由（4a+1a+0.04a）3
6 ]" t0 ]: r* m0 s+ }" ~: e0 F得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
3 e: B5 Q! f, H2 [; \' f' T& R=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
: e2 K1 A  s1 A. G; [以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
; k2 q! |6 u% f（2）为什么要用去尾法取值？
下面讨论这类问题
8 Y3 z7 h# `* F: Y; i（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
. f! y# c1 D" b5 J' n. \& US2= S1+  S1+  S1
' W. [  t5 k( @, b上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
. H# f9 x' Q7 p% }1 O/ m例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
解：由S2= S1+  S1+  S1
0 `- F: ^% \; P2 u7 O得：S2=4cm+1cm+0.04cm
     =5.04cm
9 Y4 M( z, ^' Y' G' d, c其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
9 \! k; ?7 |8 U1 x: q/ L4 ^* m' q用去尾法取值得二倍方为128cm3
! E  {" V& c9 N3 X（2）为什么要用去尾法取值？
7 d8 `/ z9 ]- t2 N- w0 F+ h6 J$ C因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
! l* q5 g. [4 k其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
& u$ L& U3 p* a" K2 W" i5 D8 \舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
) ?, v& e  S2 q$ v. `6 q7 K（四）倍立方求作简化
) ?8 T3 T9 [4 o2 X  |5 Q: U如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
* k/ e- \/ }) Y8 w' sS2=10.08m
/ p8 t; i8 N! X& h3 y' g8 D& F二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
! V3 O' H+ ]' L3 w! R+ v舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
误差同样是十万分之19，少于万分之二
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
- O% R, f( y) y& h利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
" v8 j/ n, n3 c& _" F/ Z（五）说明：
; I# k* q1 \2 J9 z6 @当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
例：已知一倍体S1=16cm
, p/ N. F: I) F/ J; T由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
1 a  u* P! s8 |% S: Y二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
- |+ n, Q% t; _过剩1cm3。
; ], s7 e; y& q; W7 k. M3 C这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
6 U6 X' F# B* e2 n以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。

2 t) o8 K2 T5 F. Y联发数学中国网、任意角三等分等难题讨论工作室
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                                袁锡煌
2012年7月31日定稿