倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
先分割一倍体。
; P& H, V/ x0 Y! u; I0 S) m将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。
+ g8 R7 T  |% g5 z
（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
' p$ S, P( b1 Z$ [7 V  j1 w4 z如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
$ R0 I/ J) u4 i& ?: O4 Y: M  P, o图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
. `- @/ m& M/ ~3 P图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
/ l# c% ]% b; p5 j/ R  d
6 ~$ F: e# \: X按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
3 `/ x5 s: G8 ]1 d" d128 a3-125 a3=3a3
* |4 X8 c. x; v3 R+ J0 O3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
5 K) I2 G0 {2 m4 f/ X方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
- M- h4 ]- q* Y* ^9 }设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
过剩原因是长条厚度过剩。
（三）用自然数检验二倍体
上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
先设a=1cm
& C" V8 r- w" O0 A$ @1 Y由（4a+1a+0.04a）3
% a: A: e( D1 j" m  [得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
. X) K# e$ _  z3 o再设a=2cm
由（4a+1a+0.04a）3
1 e4 \! I) {3 Z5 |得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
0 R# h; q3 V, t+ X2 \6 V（2）为什么要用去尾法取值？
) b; w8 ^5 }8 [% @  h下面讨论这类问题
（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
" @5 u1 ~5 L& s5 k) i设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
" w% |$ V* |0 s. `' a& ]# Q" \  a- fS2= S1+  S1+  S1
. E3 I! C( i% r1 S" M上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
5 A) M% `  j: v" c8 J1 {. S例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
解：由S2= S1+  S1+  S1
' B/ Y2 c4 @3 K得：S2=4cm+1cm+0.04cm
; g* c  e  D! g6 C: v2 q! B5 I     =5.04cm
1 L7 q  V6 T& n3 N! d其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
用去尾法取值得二倍方为128cm3
+ Y: O1 t# v- L0 \1 R9 @（2）为什么要用去尾法取值？
因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
! c- ]9 \% F8 S( K- ~9 c0 V; y（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
9 F! o9 B2 Q; ]. L其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
2 B9 ~" x& g, T; d舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
- S% |- w5 Q- k. e" `, {, v0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
' X/ o( _; i  z; q# D4 w6 @* }（四）倍立方求作简化
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
3 {) C4 I" h4 R1 R1 [# Z/ z# ?S2=10.08m
# N# Y- a' c0 H3 L& ^二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
- j4 j3 _; Q. _! c" T舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
! p( p) ?; l: Z, v1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
误差同样是十万分之19，少于万分之二
# |( o9 O# m: a8 n* w9 U如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
（五）说明：
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
例：已知一倍体S1=16cm
由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
* J7 h: X! K6 t; N4 t- [- z一倍体V=（16cm）3=4096cm3
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
4 {6 k( J5 Y! A; p* A. L: E0 `过剩1cm3。
这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
, }  z2 k; [1 {  |8 x  T以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。
  i$ h. X! u; T& O7 M0 a4 ]8 Z
+ ]9 r5 C: I1 G联发数学中国网、任意角三等分等难题讨论工作室
8 |" o3 }; X1 T+ H; n6 Q$ `9 u9 V我的电子邮箱是：wyt3546658@163.com
7 P% K, u. T9 v) T% I4 `$ c我的通讯地址是：湖南省新化县上梅镇天华中路立新桥社区郭家巷果品公司家属楼CHINAPOSE邮政信箱袁锡煌  收

                                袁锡煌
0 M( p* Q9 T: R6 n2012年7月31日定稿
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