倍立方求作探索

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（一）分割一倍体
设一倍体棱长为S1，用圆规将S1分成四等分，每等分用a表示，即S1=4a，如图一所示，将一倍体12棱都分成4等分，如图连接各对应分点，得64个边长为a的小正方体。2倍体体积应为64×2=128a3，怎样求作已知正方体的二倍正方体呢？下面是倍立方求作探索。
先分割一倍体。
将图一分别沿A1B1C1、A1B1C1、A2B2C2分割成四板块，分别编号为①②③④，再将板块④分成四根长条，每根长条体积为4a3，还要将四长条之一分成两段，一段是边长为a的正方体，另一段是底面积为a2，长为3a，体积为3a3的长条。

（二）将两个一倍体组合为一个二倍体
* b) j# H* d3 y5 N/ p) h+ I先作一个如图一所示正方体同样大小的正方体，再将图一分割的部件贴在与图一相等的正方体三个共角的面上。
' \. z8 P# p; @9 ]9 l4 Y  B7 @如图二所示，□ABCD表示与图一正方体相等正方体一个表面，其边长S1=4a。
3 |6 z% Z) ~: e- `( z  ?5 X图二中①②③分别表示图一中①②③三板块，其中①②表示两板块正面，③③表示第③板块两个侧面。
图二中划斜线的部分表示第②板块两个侧面，划波线的部分表示第①板块一个侧面，划O的部分表示一根长条的一个端面，划X的部分表示一根长条一个侧面与一个端面，还有一根长条与一个边长为a的正方体用于补缺口。缺口隐匿在图二后面，没有显示。图二的背面，没有贴正方形板块，只是一倍体一个面的裸露，需要填补两个缺口才能成为边长为5a的正方形，一个缺口是长为4a，宽为1a的长条，另一个缺口是边长为a的正方体。
0 `8 z1 J6 [5 L/ U9 k4 Q
9 n# c6 D8 m; z  v: l% C按上述方法堆砌后，构成一个边长为5a的正方体，按上述方法堆砌后，由图一分割而成的三板块四长条还剩下一根体积为3a3的长条无处安置。
棱长为5a的正方体体积为（5a）3=125a3
棱长为4a的正方体体积为（4a）3=64a3，其二倍体应为128 a3。
128 a3-125 a3=3a3
3a3之差，正是剩下的，无处安置的一截长条的体积，说明计算结果与砌图结果相同。
下一步的问题是怎样将3a3容入（5a）3的正方体中。
6 v, n2 \  G8 R  j- x方法是将3a3展开成长10a，宽5a的长条贴在棱长为5a正方体相临两面。
) X" E, f7 g. `. S  ]因长为10a，宽为5a，得长条底面积为50a2。
设长条厚度为X，得50X=3a3，得X=0.06a。
但当X=0.06a时，正方体之长、宽都增加0.06a，正方体高未增加，当一倍体贴上长条后，正方体不成正方体了，故必须通过减少长条厚度，增加长条宽度，以增加正方体高度。
( ~9 ?2 a3 k$ i: N+ R& e5 p经测算，长条厚度以0.04a为宜，即以一倍体的 S为宜，当长条厚度为0.04a，正方体棱长为5.04a。
" V* k3 d- r. f（5.04a）3=128.024064a3，比二倍体过剩0.024064a3
& K% _- Q, v' c/ l+ [0 P过剩原因是长条厚度过剩。
（三）用自然数检验二倍体
  P7 f* F0 g8 g/ u4 D3 r上述二倍体的求作是以a为一倍体的 的关系求作的，a不表示长度，只表示一倍体的 。现将a设为自然数，检验二倍体求作是否有误。
1 r/ A3 o; ^2 @$ _. A& s先设a=1cm
, k  c/ y$ Q  U7 P由（4a+1a+0.04a）3
7 n  _* K& x; X; {$ J. t: e得（4cm+1cm+0.04cm）3=128.024064cm3=128cm3
再设a=2cm
由（4a+1a+0.04a）3
# D2 h. {! R6 v- ~$ ?4 y" _/ P. N得（8cm+2cm+0.08cm）3=（10.08cm）3=1024.192512cm3
=1024cm3，即得一倍体的二倍方。
以上两例，用自然数表示一倍体边长的 ，结论是整数部分正是一倍体的二倍，用去尾法取值，都可得到二倍体的准确值，这种关系提出两个问题。
, N5 M( |! w$ u（1）一倍体棱长与二倍体棱长存在相互关系。
（2）为什么要用去尾法取值？
5 [+ ?# w+ ]. X2 d2 m( `4 K3 d; i下面讨论这类问题
0 c+ F$ ]0 A  e（1）一倍体棱长与二倍体棱长关系
8 `. Y& [6 D& K0 R' \: z3 i设一倍体棱长为S1，二倍体棱长为S2。
6 k. P: `5 N* US2= S1+  S1+  S1
上述关系式有公式效益，暂且称二倍体棱长公式吧；利用这种关系可以快速准确地求得已知一倍体的二倍体。
例：已知一倍体棱长为4cm，求作其二倍方。
解：由S2= S1+  S1+  S1
% p4 N5 X4 `. }% d, v; {1 K得：S2=4cm+1cm+0.04cm
     =5.04cm
其二倍方为：（5.04cm）3=128.024064cm3
用去尾法取值得二倍方为128cm3
% Y/ ~: k+ t# ^; ]6 |（2）为什么要用去尾法取值？
因为S2= S1+  S1+  S1的公式中  S1存在过剩问题，二倍体=128.024064cm3中的小数部分，是由  S1的过剩而产生的，用去尾法取值，实际是还原到二倍体的实际体积。
（3）舍去的过剩值占倍立方的百分比是多少？
回顾前文所述实例：
其一，已知一倍体棱长为4cm，求得二倍体为128.024064cm3。取128cm3
, _! {  W: g' D2 `5 ^" N舍0.024064cm3，0.024064cm3/128cm3=0.000188，约等于十万分之19，不足万分之二。
其二，由已知一倍体边长为8cm，求得二倍体为1024.192512cm3小数部分与整数部之比为：
1 M# c$ q: d+ X0.192512cm3/1024cm3=0.000188，约等十万分之19，不足万分之2。
（四）倍立方求作简化
如果只限制尺规求作倍立方，允许刻度尺测量一倍体棱长，利用S2= S1+  S1+  S1的关系，求作二倍体，难题不难了。如测得一倍体棱长为8m，由S2= S1+  S1+  S1的关系得S2=8m+2m+0.08m
S2=10.08m
二倍体=（10.08m）3=1024.192512m3
舍去小数点后面的数，得二倍体的1024m3
3 F- i& K' b/ J, R. T- S& K9 @- e" i: f1024m3正是一倍体（8m）3的二倍
2 q' b" S# J$ Q) |) ]+ Z误差同样是十万分之19，少于万分之二
如果测量一倍体不准用刻度尺，可用绝索测量，将等于一倍体棱长的绳索对拆分四等分，再将等于一倍体棱长的绳索分成100等分，取其 ，将一倍方棱长加一倍方棱长的 ，再加一倍方棱长的 ，得二倍方棱长。
# _7 f7 Y% k# }9 j& s利用二倍方棱长公式，同样可作出二倍方，这样作出的二倍方，同样是误差约为十万分之19，不足万分之2。但这样作出的二倍体，不用长度单位表示长度和体积，要用a表示长度和体积。
1 x* g. a! d4 L( q8 Z3 `! d（五）说明：
当一倍体棱长为二、三位数时，二倍方过剩值可能出现在整数部分，但过剩值与二倍体的比仍然等于十万分之十九左右，仍然小于万分之二。
5 J% S6 H  C% F5 q" Q/ G- _例：已知一倍体S1=16cm
, u  k2 s! D( Q/ }由S2= S1+  S1+  S1，得S2=20.16cm
5 m$ K. d& e, u8 {' ^" H二倍体V=（20.16cm）3=8193.540096cm3
一倍体V=（16cm）3=4096cm3
二倍体V的准确值是4096cm3×2=8192cm3
过剩1cm3。
& }- f. A) J6 l+ G: A$ J这种过剩就是过剩值出现在整数部分的表现。但过剩值（包括小数部分的过剩）仍然少于万分之二，约等于十万分之19。除去少数部分的过剩，在整数部分的过剩一般在万分之一左右。碰到这种情况可用两种办法处理，其一，允许存在误差，因万分之一左右的误差微不足道；其二，通过校正，消除误差。
以上论述，自认为主体是正确的，缺点错误难免，希网友、专家学者批评指导。希相关数学杂志社、出版发行单位通过电子邮箱或书信联系。

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                                袁锡煌
1 [! y/ Q3 q" t) ]- v2012年7月31日定稿