同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
( |# Z* m' N2 h! E8 Z杨天生
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; a4 u  b# |+ l! M( B邮箱：yangtiansheng68@sina.com
摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
7 ^3 y/ Y; P3 v- ~2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
. `3 O( t* |1 ^) B4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
主要方法：数学归纳法
/ I7 q: V- O8 B6 a5 F0 _关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理

正文：
8 u/ T9 L9 P6 b& |& Y. M' r我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
4 h  J0 r" _+ H- @- S; m+ r一、同素的相关定义
$ h2 P" T5 p/ k2 Z# F5 b& S1 o8 E+ [6 n观察下列关于自然数的算式：
! K6 s8 c. D2 W) n1 L给定奇数1和45，有：
1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
0 }6 t# x/ K" E- A$ F给定奇数9和123，有：
9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
1 z2 @' p2 d; D0 Q给定偶数数12和94，有：
3 u9 {4 s7 v. l! d- a12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
, \( V( d2 W2 D' N, N! ]定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
$ p- L7 W- w8 }, k" j) b4 B定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
2 e% R8 O3 f- T. E: c) n$ }由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
8 `, }+ |3 G) z1 r根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
5 Y" D$ i/ ^7 `" H- b& ~. i定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
9 e1 w0 G0 j, w9 }  K4 P0 U- }6 r二、同素的性质
自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
) d# N5 J/ V- \2 n6 D1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
2 i  h/ E8 y$ e8 |. L6 x证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
5 S( X' l, q) E: T. W7 l- N! \②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
8 O# X8 }/ o+ ]* O& e, F∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
- x. b+ |! |6 i2 Q9 I同理可以推出a，b同为偶数的情形。
( N/ A7 |6 O' \$ C& U综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
* m/ \: u8 f* @7 H' h6 ?. h- i2 }& @2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
/ ]! |; d" }9 |, s证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
( ?' X# P, D8 u5 o（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
∴M+（2k-1，b-2）
∴M+（2k+1，b-2）
" B# W1 B0 [7 T7 v∴M+（2k+3，b）

% j. T1 x* v; o& r7 ~! o由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
4 K3 `  F+ F0 o( r  V由M+（2k-1, c）得：
M+（2k-3, c-2）
& y; a  t. a+ v∴M+（2k-1, c-2）
# c  q  x) a6 F) y6 j/ a% U& I∴M+（2k+1, c）
1 t1 J+ [7 l% W$ G0 m* _6 Q由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
+ r. l# z  E7 V下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
% D  P& {- `7 ?2 e' j4 p0 D% v（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
; f  E% G' j, `7 X5 HM+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
8 ?0 C3 U8 O4 g% G1 |& C" P, ~由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
. q" n# p$ m3 C8 l' s) j) v推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
证明：先证同为奇数的情形：
（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
% M# b* {  z- [5 C' _% E# m（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
: J2 W* G2 \" r- s∴M+（1，2k+1）
' D: i; s; f1 S/ u1 C3 b- p∴M+（3，2k+1）
& m7 P8 T) E3 i……
7 B5 A1 ^# ^5 i! O∴M+（2k-1，2k+1）
$ B* d8 K* K  Z* k& Q' D) e8 Z又∵奇数本身永远满足增同素
5 ^6 ^  {" |. I4 _: ^: \∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
; x# f  r! r# M3 ^' x9 v同理可证同为偶数的情形。
/ I* ?, \' c+ H! g9 I三、同素理论的运用举例
1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
2 |# q1 ~: S5 G; t/ K8 o已知：2n(n＞2)
# g% `. q# R& O求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
: j( F! b5 o* Q9 O% J  n      即1+2m与b-2m同时为素数
∴2n=（1+2m）+（b-2m）
令p=1+2m，q=b-2m，有：
2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
$ F+ A7 n2 d- ]* N7 Y* n7 C2 a事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
3 c9 ~, R$ v: c  y- N∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
: a2 j% m# R$ `' N: l而（a+2m）-（b+2m）=2
& [* |- m- h0 ]$ c" C. P: m∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
8 Q, F; C: R- y* g) ?" }, l$ y显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
' E  ^' e0 q# ]& B推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
- M( L1 K& |7 F: ?假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
  G/ k6 [& m2 p则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
  v! [' @" E. E2 I" L证明：任意给定偶数2n
, M, y+ ~1 M) \4 |: ~. v  e' K∵M+（1，2n+1）成立；
+ X$ u" r8 h& |1 [" V0 U0 v∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
, K9 a9 ~: S7 F# H' r) B有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
3 ]/ F7 \: C  r3 z: v8 U; L3 }
% e. v/ }' @) y2 ~参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
1 m3 i3 A8 q3 S6 K$ M  B+ H' p