同素理论与哥德巴赫猜想

马路人群

同素理论与哥德巴赫猜想
杨天生
( t/ P  b+ V: w2 LQQ:784177725
邮箱：yangtiansheng68@sina.com
# s5 R' ?, J. O% U, `. ~摘要：1同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
2、对于自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b），则M（a+2，b）也成立。
( [+ m) a  U9 q% C3、对于奇数a,b(a＜b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）同时为素数，则称a,b关于m增同素；
" \/ I4 s* _8 g0 R0 c& _4、对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。当a≠1时，其逆也真。
& Q1 Q6 N8 N* Y* [5 }主要方法：数学归纳法
关键词： 同素   增同素  同素定理  增同素定理
8 x9 N: z1 g/ J( u% e9 P0 A5 X' D
8 L( R: q; p) R正文：
9 ]- J  \/ P$ e我们在日常生活中经常和自然数打交道。于是人们对自然数进行了深入的研究，认识了自然数的整除性，奇偶性，总结了许多规律。其实，自然数还有一类重要特性——同素性。
一、同素的相关定义
3 z1 m( t6 `% d2 O观察下列关于自然数的算式：
7 X! B; m  Q& X+ U, l* Z/ E! }给定奇数1和45，有：
# V- b" A; c4 B2 |: A# O7 S  k- G1+2x8=17(素数)、45-2x8=29（素数）
, @* m4 @6 @6 t' ~$ o给定奇数9和123，有：
# I1 E6 V2 m/ t1 w9+2x11=31(素数)、123-2x11=101（素数）
! _' ]5 F+ f4 A9 q给定偶数数12和94，有：
12+（2x6-1）=23(素数)、94-（2x6-1）=83（素数）
……
( X8 t2 T. S7 K. B$ W2 o, ?定义1、一个自然数a和另一个自然数b（a，b同奇或同偶，a≤b），如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数（m为非负整数），我们就称a和b关于m同素，记为M（a，b），m称为a和b的同素模，a=b时称为本同素，a≠b时称为异同素，a、b均为素数时称为素同素。显然素同素最小的同素模为0，同素模有可能是一个或多个。
! n2 A1 I! }- s- h' [0 h特别规定：M（1，1），M（1，3），M（2，2）没有意义，即M（1，1），M（1，3），M（2，2）不存在。
另外，在M（a，b）中，M代表同素变换，不代表任何具体数，m为一具体数，但不固定唯一。
' u" a; v) c& T4 P4 G( M我们根据同素的定义，容易理解M（a，b）成立时，M（a+2n，b-2n）或M（a-2n*，b+2n*）(n＜b／2、n*＜a／2）也成立。
定义2、对于同奇或同偶的自然数a,b(a≤b)，如果存在非负整数m,使得（a+2m）与（b+2m）或【a+（2m+1）】与【b+（2m-1）】同时为素数，则称a,b关于m增同素，记为M+（a,b）。m称为a,b的增同素模。下文中提到的增同素M+（a,b）成立时，均满足a≤b的要求，不再特别注明。
例如对于奇数1和5，1+2*1=3（素数），5+2*1=7（素数）
所以有M+（1,5）；对于奇数15和43，15+2*2=19（素数），43+2*2=47（素数）所以有M+（15,43）。
由于素数有无穷多个，显然任何奇数本身满足增同素，两个素数永远满足增同素，其最小同素模为0。
1 p( B7 o6 k- u' c" e4 |根据增同素的定义，容易理解当增同素模大于1时，如果M+（a,b）成立，则M+（a+2,b+2）或也成立，其增同素模为（m-1）, M+（a-2,b-2）也成立,其增同素模为（m+1）。
定义3、给定素数a,b(a＜b),如果b-a=2，则称a,b为孪生素数。
定义4、给定素数a,b,c(a＜b＜c),如果c-b=b-a=2，则称a,b,c为三生素数。
定义5、给定素数a,b,c，d(a＜b＜c＜d),如果d-c=c-b=b-a=2，则称a,b,c,d为多生素数。
二、同素的性质
7 f" G5 `. T5 w9 q% r! a自然数同素有许多有趣的性质，下面举出几例。
1、同素定理：对于奇（偶）自然数a（a+2＜b）如果与另一个同奇（同偶）的自然数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
证明：先证明同奇的情形。为了叙述的方便，我们不妨先讨论a=1的情况。
①、容易验证：据M（1，5）有M（1+2，5）；据M（1，7）有M（1+2，7）；……   ,据M（3，5）有M（3+2，5）；……。
! O% z# Y- e' T0 g+ Q5 `% ]②、假设当a=2k-1时，上面定理成立。即M（2k-1，b）成立时，有M（2k+1，b）成立。那么当a=2k+1时，有：
/ y4 d5 O$ i* F  U∵M（2k+1，b）
∴M（2k-1，b+2）
$ u, i$ y  Z$ w! O' \/ ]; ?2 O" W2 T∴M（2k+1，b+2）
∴M（2k+3，b）
; t. `$ ]( {1 C* \$ L即当M（2k+1，b）成立时，有M（2k+3，b）成立。
7 t' S3 `$ n" |! \5 p综合①、②，由k的任意性可知，对于奇数a（a+2＜b），如果与另一个奇数b,有M（a，b）成立，则M（a+2，b）也成立。
) ^9 e; P& O. o同理可以推出a，b同为偶数的情形。
  o/ F( h9 r/ H; L综上所述，对于所有自然数，如果M（a，b）成立，即M（a，b）有意义，则M（a+2，b）也成立。
" a5 R  @9 {9 J) f  D2、增同素定理：对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
& h  L. G; z  w/ h6 R证明：（1）、显然由M+（1,5）有M+（3,5）；由M+（1,7）有M+（3,7），……；由M+（3,5）有M+（5,5），M+（3,7）有M+（5,7）……；
8 F( z  `4 i9 m# @! X（2）、假设a =2k-1时上述定理成立，即M+（2k-1，b）成立时，M+（2k+1，b）也成立，那么当a =2k+1时,显然由M+（2k+1，b）可以得到:
∵M+（2k+1，b）
∴M+（2k-1，b-2）
∴M+（2k+1，b-2）
∴M+（2k+3，b）

1 }3 k2 p! ~! J由于素数有无穷多个，那么选取适当的素数c（c＞2k-1），在小于（2k-1）的范围内任取一素数d,显然M+（d, c）成立，根据假设，有：M+（d+2, c），M+（d+4, c）……，M+（2k-1, c）也成立。
由M+（2k-1, c）得：
$ o; F9 Z! x4 }& J) ~/ s: t! Q4 u" b6 P& gM+（2k-3, c-2）
1 w' G6 o1 e3 @1 D4 u& Y5 ~∴M+（2k-1, c-2）
8 X2 R4 _: W9 @) D. S/ p∴M+（2k+1, c）
+ w) Y- c* F! d$ m由k的任意性知，对于两个奇自然数a，b（a＜b）,若M+（a，b）成立，则M+（a+2，b）也成立。
: w' W5 t# v+ U' J) e- C下面我们再来证明当a≠1时，其逆也真。
（1）、容易验证，当M+（3，5）成立，可得M+（1，5）也成立；当M+（3，7）成立，可得M+（1，7）也成立；……当M+（15，27）成立，可得M+（13，27）也成立；……
' V: S4 M" ?, K! Y" m（2）、假设当M+（2k-1，2k+x）（x为奇数，x≥1，k＞2）成立，可得M+（2k-3，2k+x）也成立，那么当于是M+（2k+1，2k+y）（y为奇数，y≥3）有:
M+（2k+1-2，2k+y-2）即M+（2k-1，2k+y-2），根据假设有：
M+（2k-3，2k+y-2），而k＞2，故2k-3≠1，
∴M+（2k-1，2k+y）
由k的任意性知，当a≠1时，其逆也真。
& p. {/ E/ z6 p: m* j推论：自然数中，所有同奇数或同偶的自然数两两增同素。
6 @; O: _# N: l2 C9 ]6 W/ t: b证明：先证同为奇数的情形：
! ^  w0 j. ?2 Z（1）容易验证，M+（1，3），M+（1，5）……成立。
% e; v7 ^, z! S5 l. n（2）假设M+（1，2k-1）成立，那么根据增同素定理有：
! h1 U$ {( S4 ]M+（3，2k-1）M+（5，2k-1）……M+（2k-1，2k-1）也成立。而M+（1，2k-1）成立，故M+（3，2k+1）成立，
∴M+（1，2k+1）
∴M+（3，2k+1）
……
* s$ p- m1 G/ u% F( P∴M+（2k-1，2k+1）
又∵奇数本身永远满足增同素
( A$ W, `, I4 u5 R∴M+（2k+1，2k+1）
由k的任意性知，自然数中，所有奇数两两增同素。
同理可证同为偶数的情形。
! i8 e+ T6 a* }三、同素理论的运用举例
$ s- L# `( A1 v1 x$ C' @1、任何大于4的偶数可以写成两个奇素数的和。
- A7 l9 U7 c6 n9 e已知：2n(n＞2)
求证：2n=p+q(p、q为奇素数)
) x: _$ O( n- U0 y证明：∵2n=1+b(b为奇数，b＞3)
      M（1，b）成立
      即1+2m与b-2m同时为素数
" U# Q, Q: M. D+ T$ g  p∴2n=（1+2m）+（b-2m）
4 ~, s% y3 T' V9 f令p=1+2m，q=b-2m，有：
9 m* G) @& X- V0 o* d, a9 _  _2n= p+q(p、q为奇素数)
推论：任何大于7的奇数都可以写成3个奇素数的和。
; N, z" F9 v. }- L- `事实上，任何一个大于7的奇数，一定能写成一个奇素数和一个大于4的偶数之和，而所有大于4的偶数都可以写成两个奇素数的和，故推论成立。
1 G" g5 O. Q4 [0 _0 _2、孪生素数有无穷多对。
证明：假设孪生素数仅有有限对，那么取大于最后一组孪生素数较大数以后的两个连续奇数a，b（a＜b），
  w8 j7 K" ]$ e# @4 w( |∵M+（a，b），故存在m＞1，使得：
∴（a+2m）与（b+2m）同时为素数
而（a+2m）-（b+2m）=2
! |1 d0 i0 z% P6 o- h( N  O$ g8 l∴（a+2m）与（b+2m）是孪生素数。
显然与假设矛盾。故孪生素数有无穷多对。
推论1：三生素数只有3、5、7一组，多生素数不存在。
" ^' f2 D6 Y- L6 O% }2 l% i假设除3、5、7外，还有另外一组三生素数a，b，c，
则a被3整除余数只能为1或者2。如果余数为1，则b能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾；如果余数为2，则c能被3整除，与a，b，c是三生素数相矛盾。因此，除3，5，7外，没有其他的三生素数。
; ]/ W. l7 i5 R/ j同理可得，多生素数不存在。
推论2、所有的偶数都可以写成两个奇素数的差。
1 s1 V- ]' ~, l& K1 R证明：任意给定偶数2n
∵M+（1，2n+1）成立；
; l6 P5 I) h( M. w) P+ H% g∴1+2m和2n+1+2m同时为奇素数
有（2n+1+2m）-（1+2m）=2n
( L* f% A' f# J
参考书目：1、《中国大百科全书》数学卷，华罗庚、苏步青等主编，1988年11月中国大百科全书出版社出版，P628-P629。
          2、陈景润《初等数论》。

马路人群

请多指教。

茉稀

请多指教。
; L$ ]  B1 J$ a+ F; [; q* X; {7 e

马路人群

同素理论：一个自然数a和另一个自然数b，如果有a+2m与b-2m[或a+（2m-1）与b-（2m-1）]同时为素数，我们就称a和b关于m同素；
( S! B2 ?7 Z2 `& j/ k5 K7 S