合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
- L/ G7 U$ S, m' r
1 `* J3 v4 D6 B5 ^8 k/ e/ H: @! p下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

M=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
, U, O9 Y+ h% n: h1 F1 @因为I=27除以2的整数商为13
" g- t; g. X- a) s+ @* p# w7 t则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
. X& y9 o% K4 s, c" O& LM=(13-N)/(2*N+1)
$ `6 j  Y! R: \; N$ IN的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
. V, x) r8 q9 }6 j, j9 W则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
- ~+ @( Y2 s8 V- T5 T" D(2*N+1)=(2*1+1)=3
+ B5 a( t* d2 P' y- ]0 m即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
! _# p+ k; ?7 c7 A9 A+ K只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
' p# l0 E1 e' w与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
: \; G# u! d7 c) L# T% I8 w则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
8 G; Z% R, K, N7 q) S) d* k  K则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
( H5 Y( f7 j+ o: z' e* u当N=1、2、3、4、5、6时
4 [  m' {2 c- k; j没有一个N能使M为非负整数
- R9 L6 f  Y' O* q: p3 V: B4 F/ T4 `所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1 U2 y9 j* o3 u2 u( G! ^1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
  G. U, y9 r2 Q7 {' E+ E2 {2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数

*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

+ x% x& G3 F: M下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
6 D* \7 q, K6 ?用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
3 ^3 R# \9 u! ~, ?3 D, w  ?先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
0 E1 E# P9 E% t5 G( C(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
: S* d$ Y& ~; I3 A+ n$ pT=33333333347
0 x) B4 q8 c3 O# L7 YT=33333333377
T=33333333407
1 d- `& R1 P; D4 |/ D  X=3030303037
) z( \# V$ H9 W) X  Y=11
6 _  Q& C1 F+ T5 ?  w3 G4 O  X=628930819
  Y=53
  X=57175529
( |/ O1 b: g( X% I7 a$ c2 P7 O  Y=583
T=33333333437
  X=254452927
8 q7 C/ z6 U' b' _  Y=131
  X=16347883
" S- p; s1 {+ {1 S  Y=2039
, o# R$ w9 Y6 o% \! c  X=267109
  Y=124793
6 R% H. b+ ^' dT=33333333467
  X=4761904781
- Y! Q+ J9 d' C' p6 o  Y=7
  X=709219861
  Y=47
5 r7 A) t1 d' ?) K: S$ ^7 ~  X=311526481
  Y=107
' P3 m4 z" r$ ?/ k: o  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
1 I6 q* }. r$ O2 J  Y=329
  X=44503783
  Y=749
( u0 `7 H' t; u( z$ x' c4 [* t/ l  X=19758941
  Y=1687
  X=8483923
  Y=3929
0 ~) O* e, J+ O8 U: m' F+ P5 `4 L% u  X=6628223
+ f. y, h4 [) i8 N  Y=5029
3 a- V* `3 B! v  X=2942821
  Y=11327
: L+ o9 [6 @3 ]9 V! v& b  X=1292641
  Y=25787
; V4 O. r, l  o" @, z" f( T  X=1211989
  Y=27503
$ |& m9 u2 ?3 u5 W  X=946889
  Y=35203
4 n9 }6 C, H6 }2 R# d: Q  X=420403
  Y=79289
  X=184663
  Y=180509
5 j' h  q( L7 k% P……
T=33333335867
, o1 i! y9 L" K; j( j  X=2564102759
. m# M! m2 h) o* N% i6 }  Y=13
6 `& Q7 e9 G% K5 ~2 \- [: T4 xT=33333335897
  X=2886253
  Y=11549
T=33333335927
  X=900900971
- ^+ f0 c! t: h' C8 H* c  Y=37
  X=1191881
$ Q0 d( h$ o1 W  H  Y=27967
! h2 v4 k# O6 @# o2 |  X=1034779
  Y=32213
. P* @8 o. w3 w) DT=33333335957
5 y+ `, C, r& R, e: J  P  X=1754386103
: \: H& g9 Z; x' h' p+ v& l+ |: i  Y=19
T=33333335987
  X=4761905141
  Y=7
  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个

* U4 y6 M) {% s& y# i! r若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
8 k4 b" Y; K) g* j即：
. J5 T7 i* g0 QT=33333333347
T=33333333377
T=33333333647
T=33333333827
T=33333333857
: d( i; q5 d/ r9 \$ {1 q0 _T=33333334007
T=33333334487
T=33333334907
: }: p2 {# B1 @  _T=33333335027
8 K6 v! Q1 {& h3 k$ B* `3 eT=33333335177
4 w: @& g) B" h! W8 }T=33333335657
素数：11个
1 D6 X8 d5 n1 e# z' u! ?
6 G5 y2 ]5 e# S: z  s  Y/ N*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
# B* O+ P5 X* I输出：
34有1对
$ l* X* U6 ^4 x   (11,23)
% r# G9 Z1 E. x) n: S4 @9 W64有2对
3 E# @  E- o. k' V   (11,53)
. [. u% O. l* A& U( j   (41,23)
94有3对
1 s! O  E% K& b   (11,83)
   (41,53)
   (71,23)
7 a( R# k) k& d# l! J/ X6 H124有4对
   (11,113)
7 o5 _; o0 }+ ]$ {' ~   (41,83)
7 o! P7 c. ?( U5 n   (71,53)
  J! c9 g" {8 B" G8 l   (101,23)
154有4对
8 t0 E) g4 y1 k( M6 w   (41,113)
   (71,83)
   (101,53)
   (131,23)
0 V4 T+ Z+ o. ^* ^184有4对
   (11,173)
0 f7 v! W4 U4 Z0 B   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
( f9 a6 L2 b, d" {, O9 k8 V214有4对
   (41,173)
) E# b7 n# F, k5 P7 e5 p3 p   (101,113)
   (131,83)
   (191,23)
3 d' J1 L( b5 |- {8 J, L……
5 s8 C$ j! g# w4 _3324有24对
9 D) E2 e- K9 N" F   (73,3251)
   (103,3221)
6 S- Z% F6 S& l* u   (283,3041)
   (313,3011)
   (463,2861)
   (523,2801)
   (613,2711)
   (733,2591)
. E1 U. E! q$ ~# l   (883,2441)
; D' l, G$ ?7 b3 A$ p   (1213,2111)
8 Q9 W" g7 @! R   (1423,1901)
   (1453,1871)
   (1723,1601)
9 |" h* e. v/ f& h- b, ?3 Q   (1753,1571)
6 T5 ^- X) ~7 h4 P  A; ~   (1873,1451)
2 T/ w! n3 @8 h% g, h. {   (2143,1181)
( F" p1 W  w- Y$ k   (2293,1031)
4 D# t! _9 N  @2 ~   (2383,941)
9 j9 X) c2 s3 `& ~6 @0 t6 S   (2503,821)
   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
   (3253,71)
8 P& D" s0 k9 _. S. b/ z% C3 k   (3313,11)

7 [& K- k% B: m) f& |+ a, `4 a: i*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
" Y- B; \8 L3 v1 U在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
输出：
* C1 s, k; X" M6 e' U; ^3333334391,3333334393
! K6 W/ b: d( l$ U; _3333335771,3333335773
3333336701,3333336703
9 k$ F: I: M  ~' X8 `& k. j3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
5 T$ ~0 E, d* w' r2 o3333339701,3333339703
/ v. c7 U1 T# ], _0 C' n3333340391,3333340393
2 I* @2 t% k0 K9 f' @3333342401,3333342403
, l) X" @  P8 P2 O# L3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
- D4 l! D( k' B% c$ t2 Q5 P3333346061,3333346063
6 C$ G& `# `' E3 ~3333346571,3333346573
$ b$ t3 N. q9 C& o- T0 }+ _0 t3333349751,3333349753
, i9 N2 J- H7 S: a3333350201,3333350203
3333350261,3333350263
* Z0 D% s, d  T7 c+ Z6 Y# w3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
7 b0 m" w, J6 }# {& a; i3333353531,3333353533
- _* Y/ X0 l  ~7 ~3333355601,3333355603
+ ?$ y+ j6 j% u7 M5 U/ [0 F3333358211,3333358213
1 Z: X$ i4 y9 W( J3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
$ U$ S* [" G0 f# @共有26对