合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
2 y* h% d! ]( T2 k
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)

' F% T0 Y6 X" M% n" H& Q2 c2 y2 MM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
例1：I=27
+ R0 v% }! e$ V) G3 n) @因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
+ j  I$ m3 x/ ^当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
$ K. e& Z& q# e6 f(2*N+1)=(2*1+1)=3
% l+ \1 o/ j  E5 k% ~9 S+ o' E% Y即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
同理：当N=2、3、4、5、6时
只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
(2*N+1)=(2*4+1)=9
2 o$ @8 {" M& E* _$ M: o与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
8 W% S0 |$ r- z! [; @0 {# m. u则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
1 T* ]8 e% e5 L- b例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
2 I4 `4 S% R: M" U则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
M=(15-N)/(2*N+1)
3 [9 A# B9 {" ^" a$ B& F. v4 ~N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
) M! U: @" I, S. ~  s  u当N=1、2、3、4、5、6时
) l' L4 U7 C# x( [* s% ?没有一个N能使M为非负整数
+ h4 [' N( u, ^! c- J; _所以I=31是素数。
' q$ |4 K5 _7 m& ^数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
8 f; M4 K  e6 ~) c6 B% R2、精确计算哥猜数对
9 T# L# x. e6 L5 H* c6 F/ d5 H3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
4 c4 m3 r# |! W8 H* S, M+ K
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。

下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
输入：
用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
3 C3 @% s; `  o) p3 p先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
7 E* x) E$ M4 b  g# I% C(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
4 q! @2 o4 E# \8 V, ?. j$ }' eT=33333333407
& \# ]- W, z2 o5 K; N( y  X=3030303037
) ^5 K" z  s* s8 }. W. r  Y=11
: ?9 Z' m# q( ~2 K+ w' V' @7 j  X=628930819
) N2 v$ V0 z4 y' I; H7 v; q4 F$ C4 v  Y=53
  X=57175529
2 ^# t) i+ a* P% W3 s6 ~3 ?# {  Y=583
' z" Z. |8 `) W, m2 O8 i8 K1 KT=33333333437
  X=254452927
  Y=131
  X=16347883
  Y=2039
  X=267109
. {; S% {: d& s, H4 t4 M! p  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
7 G1 ]: I8 d! \, T  r3 J  Y=7
  X=709219861
  Y=47
" [, S3 i$ i- ]  X=311526481
  Y=107
  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
  Y=749
) ~! S% b/ v; }: @2 {  X=19758941
% X0 d9 d$ J" d  Y=1687
$ B# p4 v& X- {$ o' J) i. X, D0 `) G  X=8483923
  Y=3929
; ~; R# m# f+ l! r8 \& d  X=6628223
  Y=5029
  X=2942821
  Y=11327
  X=1292641
  Y=25787
$ J- ?0 x2 @9 m2 b, G( w7 z  X=1211989
( j& m* z- s2 l0 s  l: Q2 m  Y=27503
  X=946889
  Y=35203
  X=420403
  Y=79289
  u* s/ J$ s% G: f+ C! y3 K& L6 F6 D  X=184663
  Y=180509
: ~' t  K' c$ {/ B. Q1 E  w……
+ z6 u$ W2 s7 G8 |/ I  b& DT=33333335867
  X=2564102759
+ I+ h  S) f4 \, E0 t  Y=13
5 ^+ C5 ~$ I9 @T=33333335897
2 ~0 k: A: w( J  ^" c$ G  X=2886253
  Y=11549
: ~9 Y; z- w) {. UT=33333335927
  X=900900971
6 z7 Q- Z9 |# w1 H( W/ y  Y=37
# o$ m. |( v0 B6 n  X=1191881
7 c+ y& c0 L  J3 g8 C& z  Y=27967
  X=1034779
  Y=32213
7 h7 ~5 [) D5 E8 F8 yT=33333335957
5 S+ K! D: N, d- Y4 [  X=1754386103
* b1 C8 g7 }1 {& @2 n  Y=19
$ a" o$ F: J) u& I" v+ _T=33333335987
  X=4761905141
* G" O' a& [; v. Y8 p, U8 o: K# ^0 X  Y=7
  X=680272163
  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个

* ~) F& k" ^. K' p若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
即：
T=33333333347
" ?3 e7 y8 L) M4 GT=33333333377
T=33333333647
7 s4 T- ]) G5 s+ _T=33333333827
T=33333333857
T=33333334007
  w+ w* e; x  C: gT=33333334487
% z! S1 X9 p3 z5 i9 S% r! U2 RT=33333334907
, J5 G/ N% Y" Z8 d0 O* nT=33333335027
8 [2 {- D, ^2 e& t4 D9 r( S6 G0 _T=33333335177
5 ]* H+ H# M7 ^* [* wT=33333335657
素数：11个

1 G/ x$ b, m4 ^& C( ~3 h* c*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对

用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
' |' }. S, s9 S& W* @7 Y' J/ h6 n输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
输出：
34有1对
2 y. z8 R8 l9 N9 u7 E  O1 x+ Z   (11,23)
64有2对
   (11,53)
   (41,23)
94有3对
   (11,83)
   (41,53)
1 g: T" `3 N( x# [6 a0 y   (71,23)
, s) C1 b2 l, {6 g2 }! n124有4对
   (11,113)
9 D" F" `5 J# C1 P9 W   (41,83)
   (71,53)
) ]) e( g' i. N( e- ^   (101,23)
9 w9 s  g" W0 E) m3 C6 }0 ~% h+ t/ y154有4对
5 i" P0 a2 D/ r# q/ ^# p1 ]   (41,113)
   (71,83)
: R" a0 v( T: N" \  C* O   (101,53)
   (131,23)
: }' ^* j- D: Q6 C  M, X, G2 D- t184有4对
   (11,173)
6 J' h3 }: L) B. ^0 q1 |4 [   (71,113)
   (101,83)
   (131,53)
214有4对
   (41,173)
  g* B1 u4 g( @8 H& s/ h   (101,113)
& p( K' O2 R( Q) m   (131,83)
2 k, j7 F6 [7 P9 b9 J   (191,23)
" v8 p' A3 q- p! G. [( Q……
* [- s9 l& t" [7 h3324有24对
   (73,3251)
   (103,3221)
! d4 N' v, P! l$ _   (283,3041)
9 I0 E  t: A2 w3 J. L2 A   (313,3011)
1 r' g! O# t. f0 s3 L   (463,2861)
$ c3 q- J' r7 e9 O6 x5 J   (523,2801)
   (613,2711)
7 m5 M& Z0 Y7 x   (733,2591)
   (883,2441)
9 }$ |2 C+ l3 ~" e/ D, c% \   (1213,2111)
   (1423,1901)
+ B' g& |6 A: v- f- c   (1453,1871)
1 j/ N' q; `0 N/ _6 }   (1723,1601)
: f" K% z$ q; m3 _5 v   (1753,1571)
   (1873,1451)
   (2143,1181)
   (2293,1031)
   (2383,941)
0 r% d$ ~) O1 R   (2503,821)
   (2683,641)
2 b& L$ C# v+ W   (2803,521)
; ^) p5 v* M7 k- q9 W. ]9 Y   (2833,491)
. X5 G" o% x. _3 z0 R7 [9 ~  {+ r3 B0 L   (3253,71)
   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对
- H1 `! G8 a1 F! b
0 U. Z0 P  ?: i) I1 d: I( [  P用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
! `  y7 I% E- q1 h8 k: O5 u输出：
: C; S7 J" n' \3 q% x3333334391,3333334393
4 W8 r/ r3 {; b8 x2 u; N3333335771,3333335773
2 Y. ]8 [5 ?5 m9 G: G3333336701,3333336703
3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
: J! p' O$ K( i3333339701,3333339703
3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
) ^* G9 z' c" r% T/ N( P3333342581,3333342583
/ G! D5 V2 B$ d+ W' U; A3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
+ p$ b5 y! J. f: ~3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
1 L% @# T) a3 s2 E) ?3333349751,3333349753
3333350201,3333350203
2 o7 s% v% w( Z$ p  F3333350261,3333350263
: n: Y  x; a: G, ]& D3333350651,3333350653
3333351641,3333351643
: L0 U8 Z3 E0 l3333353531,3333353533
3333355601,3333355603
- n  T4 n- E- @! d3333358211,3333358213
3 M' n2 n* }, x( J4 _" Z3333358361,3333358363
3333358781,3333358783
. V+ y: z1 k3 A5 ]" J; Q) q% y3333359501,3333359503
3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
共有26对
8 b% A8 ^* _; w1 s1 j- |. l