合数公式 (判断素数或寻找合数因数对)

hmz20128

在自然数列中，除了0、1以外，不是素数就是合数，每个素数与合数都有其固定的位置，而合数存在规律(任意数n后面的第m个n项仍被n整除，例n=5在5后面的m(1.2.3……m)个5项，即：5+1*5、5+2*5. 5+3*5……5+m*5仍被5整除)，并且所有的合数都能联系在一起，形成一个等差数列网，这个网，呈上小下大的金字塔状，也可以说像树根状，如果把这个网从自然数列中抽出来，剩下的素数就没有规律了。相当于把一个形如树根的多串相连的珠子放进广口瓶中，然后用黄豆填满(填充的特点是下面豆子少上面的豆子多)，豆子与珠子各有自己的位置，根据所处位置看其是否被线串上，就知道是珠子还是豆子，如果把连在一起的多串珠子抽出来，剩下的豆子就看不出规律了，也就是豆子的使命是填充珠子没有占完的位置。自然数列中的项数就是合数与素数的位置，某一项只要不是合数就一定是素数。因此，要判断素数就要根据某数的特点，看是否存在于合数的等差数列网上，在网上的就是合数，不在网上的就是素数。
7 C2 B3 g2 i- w% j) n# q  q2 l. x2 X% t
下面是一个根据合数的网式规律而得到的最基本的合数公式(即：判断任意数)
! m; Z& V) w( e/ R
2 W* M0 X: W8 Y& M& PM=(q-N)/(2*N+1) 其中q是常量，表示被判断数I被2除的整数商(例：I=31，I/2的整数商为15，即：q=15)，M、N是变量，通过自变量N(N小于I的平方根取整加1，例：被判断数I=31，I的平方根取整是5，则N的最大值是5+1=6)的非负整数取值，判断M是否为非负整数，若M出现非负整数，则I是合数，并且非负整数M、N能满足(2*M+1)和(2*N+1)是I的一个因数对，在适合条件的范围内有多少对M、N适合条件，就说明I有多少个因数对。在适合条件的范围内，没有一对M、N同时满足非负整数，就说明I是素数。
- u! G% o, a; T  @4 R! x例1：I=27
因为I=27除以2的整数商为13
则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
4 L  L) |/ V* ?) S  aM=(13-N)/(2*N+1)
N的最大值为：I=27的平方根取整加1，即：5+1=6
7 X. t, J' o" f当N=1时M=(13-1)/(2*1+1)=4
则：(2*M+1)=(2*4+1)=9
7 ~; u; l1 Q) W) Z(2*N+1)=(2*1+1)=3
即：(2*M+1)=9和(2*N+1)=3是I=27的一个因数对。
8 c; r( `1 Z/ t' u  N同理：当N=2、3、4、5、6时
  S6 E1 e% Q8 ^1 t' m" q/ _只有当N=4时，才能得到非负整数M=1
即：(2*M+1)=(2*1+1)=3
5 Y1 d8 U  |- E% l$ o& K% V(2*N+1)=(2*4+1)=9
与前面的(2*M+1)=9和(2*N+1)=3正好相反
& R# g4 V4 T1 _5 x则：说明I=27只有一个因数对3*9(因数为1除外)
. M8 A7 ]; `$ F例2：I=31
因为I=31除以2的整数商为15
( N3 f- g: X/ d+ `" j$ R5 ~则：由合数公式M=(q-N)/(2*N+1)得：
: R  @9 y8 I- P8 c0 M9 _( l- `M=(15-N)/(2*N+1)
7 J/ [+ I& e. i1 c! {N的最大值为：I=31的平方根取整加1，即：5+1=6
8 \( G* P/ z1 }" ]* y. j3 [! \当N=1、2、3、4、5、6时
% |( O$ v! h7 K+ x- S没有一个N能使M为非负整数
. n) K9 U. m: Z" i% p所以I=31是素数。
数海聚珠网【程序体验】中的19、20、21号程序，就是利用合数公式得到的：
6 q9 ]/ E" h# T8 T  A6 m, Q1、精确判断素数计算素数个数，及寻找合数因数对
3 _1 F9 Z# I- R6 ~) T2、精确计算哥猜数对
3、精确计算孪生素数对并计算孪生素数对个数
5 L& E, ~) [9 Z. ~4 v1 Y
*用19号程序：判断素数、合数及寻找合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
5 }9 R+ X$ h4 u  X" W* E
% S! U# p- G/ N% W5 y  k下面寻找的是形如30*n+17且n在111111111-111111999之间的素数、合数及合数的所有因数对，并且最后输出范围内合数、素数的个数。
! ?) T) d; ~6 Q% M3 U) X5 U输入：
8 J3 ]* G6 i( P8 \# r0 O用第二选项，E=17，h=111111111,，L=111111999，
先点击：并行参数开始，有数据出现，再点击：结果开始。
(T下面有X、Y值的就是合数，并且X、Y是T的所有因数对，没有X、Y出现的T是素数。最后输出的是在范围内，素数与合数的个数。由于较多，数据中间使用了省略号)
T=33333333347
T=33333333377
/ [2 ]6 e$ v& v: QT=33333333407
  X=3030303037
+ j  d( J7 J5 C) C' o  Y=11
6 x. K2 O9 y9 F  X=628930819
) m. e1 Q+ Y: F; X  Y=53
, j7 s; O! Y! E5 i  X=57175529
- _9 {. a) L/ j% r- N. p% z# G* H6 r  Y=583
T=33333333437
6 J8 _; n) g7 w! N/ Z$ Q  X=254452927
  Y=131
2 O! w  x# x- J# T: i6 `  X=16347883
3 J8 Y7 l! @% G$ d  Y=2039
7 z8 q9 W6 `- B& w" k  X=267109
  Y=124793
T=33333333467
  X=4761904781
  Y=7
! D  u  a7 p  x0 _  d' t7 r, F  X=709219861
0 }8 L- [0 R% ]" ~9 k  Y=47
  X=311526481
$ u) n7 _9 I% P1 P- n  Y=107
  X=138312587
  Y=241
  X=101317123
  Y=329
  X=44503783
  Y=749
  X=19758941
" u5 l" i% S8 x2 P  Y=1687
$ c& y8 Q" ^- }  X=8483923
9 u5 i" ^  C4 Y" e  Y=3929
+ m& H) S) g0 C8 E# O. A  X=6628223
* K5 V, r7 {0 G- m) i$ W1 r8 t, [  Y=5029
) K4 X7 I" w: d: [  w  X=2942821
0 R6 E" ?; g% ~/ W# ]0 e. J  Y=11327
  X=1292641
8 O8 O9 A7 g$ H- D  Y=25787
  X=1211989
. Y, t3 W. Q! b5 L  Y=27503
  X=946889
6 I' r# q" v% g# Z  Y=35203
" t2 z5 j  H8 \& A' ~! x/ i, ~  X=420403
6 T8 W2 m# `# z- h! `9 o  Q: a  Y=79289
& z; A' a# h3 R, K8 y. b  X=184663
" ^; b9 a+ Y- \  Y=180509
……
T=33333335867
  X=2564102759
  Y=13
1 F, X+ J$ q8 [3 uT=33333335897
0 D+ e; q, @% t  X=2886253
- @* L/ {" Y3 Z% r8 U& Q$ G  Y=11549
. k" J0 ^; I# YT=33333335927
8 e9 p2 Q0 m. {) a1 N  X=900900971
  Y=37
/ M) h% \, J, b  X=1191881
  Y=27967
4 I* R8 y- [# R& C' k1 q& d# _  X=1034779
  Y=32213
1 q7 V% f+ L8 FT=33333335957
  X=1754386103
  Y=19
T=33333335987
  X=4761905141
0 Q  V9 e3 ~/ i% u  Y=7
  X=680272163
9 @" T2 d0 @* A/ R- T  Y=49
合计：89个
    素数：11个
    合数：78个
# ]; }& V, ^$ l% f, C
& y5 X5 B5 A! g5 [$ Z) Z. z- D3 C若再选择第三种输出方式（输出的是所有素数及个数）
0 M3 a# Y. L7 c8 r' i3 ^3 Y/ K即：
T=33333333347
& X+ y; ^; J9 @3 j3 JT=33333333377
T=33333333647
% `+ M- P" {# @4 a+ L# u' N7 s5 D  bT=33333333827
* f' Y' X6 S4 ^8 X1 I) k: eT=33333333857
T=33333334007
T=33333334487
T=33333334907
2 h1 U; y( D/ FT=33333335027
/ C7 R8 X- m& n% z* l) O- fT=33333335177
+ y* |' m3 T/ u: r' AT=33333335657
' b( i( ~2 a0 A' O素数：11个
+ o4 Z$ U) ]7 O
*使用20号程序:寻找哥德巴赫猜想数对
4 ]. R6 v4 z0 z0 h! d
用30n+11 与30n+23 组成的哥猜偶数30n+4(n最小为1)在1<n<111
: h! p+ G& z& I输入：E1=11，E2=23，h=0，L=111
0 L" n  x+ E4 _4 L, r输出：
34有1对
5 U" C& {7 g6 P" @$ g   (11,23)
64有2对
   (11,53)
* q1 t, V8 o( D) r   (41,23)
94有3对
- C/ C, q  J) i- D   (11,83)
6 ?3 v) r6 f$ @( t   (41,53)
2 P% C; k/ E5 H1 o/ D" C   (71,23)
3 F  ~, f; ~8 Y" n% h; B( e124有4对
, S/ V  t- L' V; F4 V( S* N, V   (11,113)
8 H  \6 ^$ G! C/ ?; d+ P4 n. p   (41,83)
+ r# D" `- T9 b5 l3 N; y) S   (71,53)
5 Q  N+ C. [# O5 t- Y0 K   (101,23)
154有4对
   (41,113)
, W$ T' [, |! O8 q. D   (71,83)
. H! W  U8 q# g5 C   (101,53)
& ~" ?" A* z2 I; |: q5 r6 x   (131,23)
; s' E( Z. Y' U0 a. j+ m184有4对
* U; J$ s& ^" f7 {) u! |% F0 ~' _   (11,173)
1 W6 o3 \' g# j8 ~( X7 h   (71,113)
6 M) w8 c. l  {* T   (101,83)
   (131,53)
; I7 |! q. N8 X+ M214有4对
& E: h* P7 g7 L. e" [   (41,173)
   (101,113)
   (131,83)
/ X7 w6 F& ^$ Q% q3 L" c/ K   (191,23)
; P1 z% z+ [- ?( l……
3324有24对
& ?- c* S; v7 ^( ?, F6 \   (73,3251)
. m% c3 {+ n; {% H! h* H   (103,3221)
   (283,3041)
   (313,3011)
& x9 D3 M+ V" y( u+ c& k/ n# ?   (463,2861)
8 Z( y, h0 k# X5 s   (523,2801)
/ A. T$ C7 W- S4 ?2 L' _   (613,2711)
+ `/ r8 D% ?( n* C4 `% P6 o   (733,2591)
   (883,2441)
   (1213,2111)
   (1423,1901)
   (1453,1871)
4 ]8 A/ y- \# k- I2 D   (1723,1601)
9 Z8 U& s" Z, t# M4 L+ ]5 z) b   (1753,1571)
0 N7 b/ T: {6 n2 v4 c   (1873,1451)
  N& V; i7 f4 d! e$ j3 M# O. Z   (2143,1181)
2 n- e) s5 r7 K2 y   (2293,1031)
   (2383,941)
   (2503,821)
5 T5 I( h; u7 \/ v+ |* }( w   (2683,641)
   (2803,521)
   (2833,491)
) S: I# V1 M( U6 o( N- x! S   (3253,71)
   (3313,11)

*使用21号程序：寻找孪生素数对

用30n+11 与30n+13 组成的孪生素数n在111111111<n<111111999，
, @2 Q+ c" I9 }( ?9 C0 \+ ~在程序中输入：E1=11，E2=13，h=111111111,，L=111111999
2 d" c9 w! ^5 d5 X+ o: q( ?输出：
3333334391,3333334393
3333335771,3333335773
4 B6 ^9 f3 t( V1 f$ U/ p3333336701,3333336703
% u3 _) v. U1 Q3333337661,3333337663
3333338711,3333338713
8 ?' x1 [' l# j0 i6 T$ _" X. L3333339701,3333339703
! u; t7 t5 [; X% }+ C/ f3333340391,3333340393
3333342401,3333342403
% p3 ^6 m6 g9 ~8 b& }3333342581,3333342583
3333343421,3333343423
3333345011,3333345013
+ ~8 m8 E. B' w' Y5 x3333346061,3333346063
3333346571,3333346573
/ p7 J! z1 W8 q4 O* I7 z3333349751,3333349753
/ i- F4 V, ?; T7 G* f% C3333350201,3333350203
) K9 Z# C, U$ L1 ^0 |8 ?3333350261,3333350263
3333350651,3333350653
- |/ I% E: Y0 e# P  l" D: k' j1 K3333351641,3333351643
/ @: I& G/ {) q! ?5 f, [3333353531,3333353533
. m' \; E) Q  E" T  t. W/ ^5 G3333355601,3333355603
3333358211,3333358213
3 `6 U4 b2 Z- T3 C; O& q3333358361,3333358363
+ D9 l7 A  S6 q9 Q6 @& M' p3333358781,3333358783
! c0 |5 `* X) s( K2 f3333359501,3333359503
# R* O5 l* m4 R! j3333359591,3333359593
3333359831,3333359833
共有26对
4 {, ^' b( B: i1 v3 D  b! R
! L% Y& z- T; ]7 i