如何只用圆规平分线段？

toredu87

请教一个问题：如何用且只用一把圆规平分一条已知线段。（难就难在只能用圆规，没有直尺，否则普通初中生都会做了。当然，由于有圆规，所以有笔） 这个问题是最近在一本杂志上看到的，据说是80年代某位苏联教授访华时给我国当时奥数全国一等奖的高中生们做的，当时没人做出来。我想了一会儿，也确实想不出，向各位请教。

aqua2001

只使用圆规也可以达到尺规作图的所有能力，（除了画某个直线的时候，因为没有尺，我们只能认为作出了这条直线上的两点，就算是做出了整个直线）。但作法往往要麻烦得多。在网上搜了一下，得到这样两个结果。 以下引自kxrkylh： 在单规作图中，作线段中点的方法分两大步： 一、已知一条线段AB，求作直线AB上的点C，使AB=BC. 作法：以AB为半径，分别以A、B为圆心作圆相交于点D；以AB为半径，以B、D为圆心作圆相交于点E；以AB为半径，以B、E为圆心作圆相交于点C.点C即为所求.[很明显，AB=BC=半径，又因为∠ABC=∠ABD+∠DBE+∠EBC=60°+60°+60°=180°，所以A、B、C三点共线，即点C在直线AB上] 二、已知一条线段AB，求作它的中点 作法： 1.按第一步的作法，做出直线AB上的点C，使AB=BC； 2.分别以A、B为圆心，以AC为半径作圆相交于点D； 3.分别以D、A、B为圆心，以AB为半径作圆.则⊙D分别切⊙A、⊙B于点E、点F 4.以AB为半径，分别以E、F为心作圆相交于点G.则点G即为线段AB的中点. 以下引自阿炳： 如图,给定线段AB 以A为圆心,AB为半径作圆A 以B为圆心,BA为半径作圆B,交圆A于C 以C为圆心,CB为半径作圆C,交圆B于D 以D为圆心,DB为半径作圆D,交圆B于E 以E为圆心,EA为半径作圆E,交圆A于F 以F为圆心,FA为半径作圆F,交AB于G G即为AB中点 [ 本帖最后由 aqua2001 于 2008-11-13 11:10 编辑 ]

toredu87

果然牛！谢谢呀 我也在网上搜了，但是没搜到。。。请问你的搜索策略？

aqua2001

哎，这不是我搜索策略高明，还是google大神实力强大啊。

toredu87

哈哈，原来这样啊，那我在去搜艘看，谢谢超级版主哦

125yiyao

 答案中有字母标错

yuhe616

“单规作图”这个问题以前我还没有思考过呢
是个不错的素材

grayfox000

这道是老题了 60年代上海比赛中就出现过 听说题目问的是最少画几个圆   另一种解法是 分别以A、B为圆心，ab为半径作圆。相交于点c；以AB为半径，c为圆心做圆，交圆a、b于d、e，以a、b为圆心d、e为半径作圆交于f 。以f为圆心ab为半径作圆，交圆a、b于g、h线段gh就是线段ab的一半
原理是应用了初中数学里三角形两边中点连线等于第三边的一半 只不过解这道题的时候做的三角形是个等腰三角形 而且是个 两腰为底边两倍的三角形

半个微笑

又学到一种思想方法啦！

ljwabc115

谢谢,又知道了一个单规作图
又聪明了一点
1# toredu87