卡丹公式欺骗了五百年所有数学家---最简铁证

谢芝灵

奇妙的数ω.
ω=[-1+i(3)^(1/2)]/2
2 l: J0 Q! K$ F2 ?n是非0的任何数.
ω+1/ω=(ω)^n+(1/ω)^n=-1或2.当 n为1,2,4,8,16,...形式时等于-1.别的形式等于2.
! j" P# Y) X# Y) G' u: {; N7 T解:设(ω)^n+(1/ω)^n=x.
  两边平方后得ω^2)^n+2+[(1/ω)^2]^n=x^2
7 |: l4 s* X, Y' ^/ M! G                  得ω)^n+(1/ω)^n+2=x^2.
       得方程:x^2=x+2
; D# F  `/ F- P6 o; W! E' e  解得 x1=-1.   x2=2.
: w* `& E+ P; G# q% X& T

谢芝灵

关于增根,减根问题.
' s# F$ l: _, y3 ?8 {  ~; ?在(2)式代入卡丹方程中得到三个根,我把三个根x1,x2,x3都分析,就不会漏减根了.
6 |- \' O/ ]( Y. y9 Z, K: T由卡丹公式得到x1,此时就是一个一元一次方程.两边平方后得一元二次方程.出现了一个增根.
我把这两个根都代入(2)式,均错误.
第二步,把x2这个两边平方,又得到一样一元二次方程.同样矛盾.
  j0 \/ i- V1 J) z  P: p第三步,同上一样.
5 V- M) ^) p7 V1 J  {* z9 _! x2 H
所以不存在增根减根把主根丢失的情况.
方程就三个根x1,x2,x3.也可写成sin10,sin50,-sin70.有人说多了几个根,如-cos20.等.其实-cos20就是-sin70.他们是重复计算.
! {% ~" K' D& p, e
! \( N$ D3 W. d- N3 ?0 O5 j其中的复数也是按复 复数法则.ω^3=1,得ω^2=1/ω.还有(1/ω)^2=ω.

' ^. M9 X4 T  c( C那么(ω)^(1/2)的平方等于多少?
6 x. w/ ^7 N/ e9 J- b7 K) y2 o得:[ (ω)^(1/2)]^2=(ω^2)^(1/2)=(1/ω)^(1/2).
错误的计算是::[ (ω)^(1/2)]^2=(ω)^(2/2).=ω.====此是错误的!
* ]  I5 J3 a* p7 S, q' y
- ~8 \9 d8 t7 V8 M8 `3 ]

谢芝灵

楼里讲得很清了,x1是原方程的根,肯定不是增根.代入原方程后得到一个一元二次方程,原根也没丢,把二个根代入就矛盾了.
但网友说1^(1/3)有三种情况.其实这三种情况卡丹早想到了,所以卡丹公式才有x2,x3,见x2,x3,里面都有ω和ω^2(即1/ω).
' |) Q" E& b' c7 p+ |7 H3 @* U也分别分析了三种情况,

谢芝灵

谢芝灵

ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.得ω^3=1.和ω^2=1/ω.及ω=1/ω^(1/2).

ω是个奇妙的数.
* l6 u* R2 a1 a# a% \ω^n+1/ω^n更是个神奇的值.
即不管n变化多大.ω^n+1/ω^n的值就在-1和2之中.

polgageorge

如果你是对的，麻烦你仔细整理一下，如果可以的话，分享分享；如果你错了，不要灰心，找找错在哪。不要让情感战胜了理智的头脑，即便你得了数学大奖。另外，建议你确认一下关于卡丹公式的参考资料是否完整确切

谢芝灵

数学题:

3 `+ v. Z6 ?0 M/ B3 _  G$ I已知:ω=[-1+(-3)^(1/2)]/2.
% D- n  x1 w. \' H7 d- Q4 d) v0 w有ω^3=1.得ω^2=1/ω.还有1/ω^2=ω.
1 a/ L* ?% b" A+ U
求值:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=?
! L- e& C5 e2 s1 a3 |0 O$ B
8 x5 ?3 X& U1 I) f  m解题.
  设:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x,通过两边平方后:
/ p/ p% U' u8 `# v5 j  `+ M+ U! a  (ω^2)^(1/3)+[ω^(1/3)][1/ω^(1/3)]+(1/ω^2)^(1/3)=x^2.(大家对[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).有争议,我后有证明是成立)
: ]* j7 ^2 k  ^% X0 G7 O. F; ?) X- S  因为:ω^2=1/ω,  1/ω^2=ω.代入上式后:
  1/ω^(1/3)+2+ω^(1/3)=x^2.又:ω^(1/3)+1/ω^(1/3)=x.得
( k7 p7 C0 f7 W* ?4 ~4 I4 M% j6 o7 p  一元二次方程x^2-x-2=0.,
5 c5 X9 ?1 M, p7 D! `3 I9 J9 s再解方程得两个根x1=-1,x2=2.
因为ω^(1/3)+1/ω^(1/3)只有一个值,但上面经过平方后多了个增根,但ω^(1/3)+1/ω^(1/3)的值
必在-1和2之中.

4 K" T6 @* Z$ v再把两个根分别代入验算.我的验算全完是合数学逻辑.
并且如用x=3代入则矛盾.说明只有两个根x1=-1,x2=2..
' K' q  Y/ B/ ?' t9 D
补证:[ω^(1/3)]^2=[ω^2]^(1/3).
* l: H% d) r3 C0 l3 v3 K4 g
证:
3 T0 ], E$ J8 }2 e; {9 n0 p" h令: [w^(1/3)]^2=(x^2)^(1/3).....(1).
  (1)式得:[w^(1/3)][w^(1/3)]=(x^2)^(1/3)
' D* @( J' ~; Z1 Y     即:w^(1/3+1/3)=(x^2)^(1/3).
5 Z' E* K4 }; B" m8 ]+ M      w^(2/3)=(x^2)^(1/3).
    上式两边立方:[ w^(2/3)]^3=[(x^2)^(1/3)]^3.  注意立方和开立方根是两回事.其中的[ w^(2/3)]^3就是一个数值，不是三个数值。
  得:[ w^(2/3)][ w^(2/3)][ w^(2/3)]=[(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)][(x^2)^(1/3)]
' F5 F0 s! r* V: d0 ^  i8 J! N得:w^(2/3+2/3+2/3)=(x^2)^(1/3+1/3+1/3).
  得:w^(6/3)=(x^2)^(1)
  w" S3 l- z$ O0 a  D2 r   得:w^2=x^2.
- ^& {6 F* z% V7 F6 M+ x8 j  上式代入(1)式得:[w^(1/3)]^2=(w^2)^(1/3).
8 o: H9 v7 x8 v6 E  证毕!
& M5 r; G) G8 x% ~1 ~1 f# w

数学1+1

谢芝林先生:
7 y* C6 Z( R/ u* v3 w) \      一元三次方程的求根公式没有问题。问题在于你对ω的理解，为什么有ω^3=1 ？