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巧证四色猜想

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发表于 2014-4-22 14:09 |显示全部楼层
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(四川省岳池县白庙职业中学 638350)陈 陶                     
摘要:对每一幅正规地图的四着色,作者另辟蹊径,采用独特的思维方式和研究方法,找到了恰当的切入点,利用第二数学归纳法、德·摩根定理和反证法等,严谨、简明地证明了四色猜想。
关键词:四色猜想 第二数学归纳法 德·摩根定理 着色模式T  捆绑法 反证法
一  四色猜想
四色猜想:画在一张纸(或者地球仪)上的每一幅正规地图,只要四种颜色,就能使有共同边界的国家着不同的颜色。
四色猜想指的地图是正规地图,在这种地图中,有两条限制:1,每个国家必须连成一片;2,两个国家的边界必须是条线,即直线、或者折线、或者曲线等,而不能是一点、或者一些孤立的点。
二  背景及现状
画在一张纸(或者地球仪)上的每一幅正规地图,国家个数n ∈ N﹡,随着n值的增大,情况越来越复杂,布局千奇万状,复杂性令人无法想象,即使是对一个不是很小的n值,做“四色”研究,一直都是令人头大的事。虽然1976年6月美国数学家阿佩尔与哈肯在两台不同的计算机上,用时1200小时才作出四色猜想的证明,但有不少数学家或学者对机器证明的正确性持质疑。对于书面证明,从问世(1852年由英国人提出)至今,对国家个数n的值﹙乐观点也不超150﹚推进有限,未彻底解决,一直在挑战人类智慧,它与费尔马大定理(1670年公布,于1994年9月被英国数学家安德鲁.怀尔斯破解)和哥德巴赫猜想(1742年提出,至今未彻底解决,目前最好结果属于我国数学家陈景润的“1 + 2” )一起,成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究,160多年来,或用肯普、赫伍德等类似的方法,或一些新的方法,几乎要将其转化为与其相关的等价命题,并引入一批新的概念、公理、定理等,建立一套较完整的“理论体系” ,其“证明”不少是十分繁难的长篇论著﹙多达数百页﹚。美国当代著名的趣味数学家马丁·迦德纳在一本书的前言中说:数学的真谛在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解答问题。有专家认为:不排除一种可能,有朝一日四色猜想简洁明快的证明被高中生发现。进入21世纪以来,在国内,对该猜想的研究,队伍日益壮大,官科、业余科学爱好者和民科持续开展,大势所趋,国家所需,欲力图破解,为国争光,而使得有的人把一生都奉献于此,甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助,更有呼吁成立《四色研究会》的。由于种种原因,在世界范围内,不少证明或者被否定,或者得不到数学界普遍承认,其深层次问题恐怕是由于选择的证明方法的“法力”有限,导致证明的繁难程度不可想象,而对证明过程中的某些细节,无论是证明者或审核鉴定者在短时间内都难以发现存在的问题。科学是求实的,数学科学更是严谨、天衣无缝的。经业余科学爱好者的努力,世人将见证中国数学在21世纪的一个重大突破。
三  四色猜想的证明
下面用第二数学归纳法和德·摩根定理等给出四色猜想严谨、简明、常规的纯数学证明,其过程自然流畅、通俗易懂,文中涉及到的相关示意图,集中附于文后。
证明:对画在一张纸(或者地球仪)上的每一幅正规地图着色,众所周知,要使有共同边界的国家着不同的颜色,四种颜色是必需的。若一幅地图只有一个国家,则四色猜想显然成立。若对国家个数不小于2的每一幅地图四着色,则按国家个数n作第二数学归纳法,分两种情形。
Ⅰ若这n(n ∈ N﹡)个国家不是连成一片的﹙连成一片,即每个国家至少与一个国家有共同边界),这时,n个国家至少由两片组成,且每片至少有一个国家。
(1)当国家个数n = 2时,四色猜想显然成立。
(2)假设国家个数n满足2 ≤ n < k( n、k ∈ N﹡)时,四色猜想都成立。
那么,当国家个数n = k 时,这幅地图的k个国家至少由两片组成,且每片的国家个数都不大于k - 1,根据归纳假设,每片的国家着色都符合四着色的要求。这就是说,当国家个数n = k  时,四色猜想也成立。
由(1)和(2)可知,对国家个数为n( n ∈ N﹡,n ≥ 2)且满足上述条件的每一幅正规地图,四色猜想都成立。
Ⅱ若这n﹙n ∈ N﹡﹚个国家是连成一片的,又分两种情形。
①如果在这n个国家中,存在一个与自身有共同边界的国家个数小于4的B国,则四色猜想成立。
证:(1)当国家个数n = 2时,四色猜想显然成立。
(2)假设国家个数n满足2 ≤ n < k( n 、k ∈ N﹡)时,四色猜想都成立。
那么,当国家个数n = k时,暂不考虑B国,根据归纳假设,对其中k - 1个国家的着色,只与国家个数有关,而与它们的位置关系无关,且符合四着色的要求。又因为与B国有共同边界的国家个数小于4,所以,与B国有共同边界的国家着色不超过三种颜色,从而,B国至少可用第四种颜色着色。这就是说,当国家个数n = k时,四色猜想也成立。
由(1)和(2)可知,对国家个数为n( n ∈ N﹡,n ≥ 2 )且满足上述条件的每一幅正规地图,四色猜想都成立。
②如果在这n个国家中,不存在与自身有共同边界的国家个数小于4的国家,即每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4。根据德·摩根定理“不可能有五个国家处于这样的位置,其中每个国家都和其余四个国家有共同边界” ,从而,满足这个条件的国家个数不小于6。据此,可构建一个着色模式T,并用第二数学归纳法证明四色猜想成立﹙第②种情形的证明是该证明的关键和核心﹚。
(1)当国家个数n = 6时,每个国家与自身有共同边界的国家个数恰好都等于4,其中,与“中心”A国有共同边界的有四个国家,与这四个国家有共同边界的一个R国是“环状”或者“半环状”的 ,如图﹙一﹚所示;对这六个国家着色,首先,构建一个着色模式:取A国,与A国有共同边界的四个国家用“1”与“2”﹙颜色代码)相间着色,其位置有两个选择,若有必要,且在不影响其它国家着色的情况下,“1”与“2”中的一国可用“3”或者“4”着色﹙若与A国有共同边界的国家个数m为奇数,则只需一个国家用到第三种颜色,其位置有m个选择﹚,我们把这种关于与A国有共同边界的国家的着色的模式记为T,简称为着色模式T,如图﹙一﹚;其次,缘着着色模式T,按符合四着色要求向外围的国家逐个着色,外围国家只有一个R国,着色“3”或者“4” ;再次,最后一个A国着色“3” 或者“4” 。这时,四色猜想成立(当国家个数n = 7时,与A国有共同边界的国家个数m = 4或5,分奇偶两种情形,“位置” 关系有四种〔图形略去〕,按着色模式T,易验证四色猜想也成立。)。
(2)假设国家个数n满足6 ≤ n < k( n、k ∈ N﹡)时,四色猜想都成立,且都是在如(1)的着色模式T下,并按(1)的程序和要求对地图完成四着色。也就是,在这幅地图上国家较密集的“中心”处,任取一国作为中心A国,设与A国有共同边界的国家个数为m﹙m满足4 ≤ m ≤ k - 3,且是某个确定的自然数﹚,总可以:ⅰ,用“1”与“2”﹙m为偶数﹚相间着色,若有必要,且又不影响其它国家着色,其中的一国可用“3”或者“4”着色,如图﹙二﹚;ⅱ,用“1”与“2” 相间着色后,第m个国家着色“3”或者“4”﹙m为奇数,只需一个国家用到第三种颜色,其位置有m个选择﹚,如图﹙三﹚;如果存在与这m个国家中的部分国家有共同边界,但与A国只有接触点而无共同边界的其它区域﹙此区域有国家或者无国家不确定﹚,跳过此区域,对这m个国家仍按着色模式T着色,如图﹙四﹚;构建如(1)的着色模式T。无论是情形ⅰ,或者情形ⅱ,对k - 1﹙或者小于这个数目﹚个国家着色都是在着色模式T下,并按(1)的程序和要求对地图完成四着色。整个着色过程分为三个阶段,第一阶段对m 个国家着色;第二阶段对k - m - 2个国家着色,方法是缘着着色模式T,按符合四着色要求向外围的国家逐个着色;第三阶段对最后一个A国着色,即:对ⅰ,A国可用“3”或者“4”着色;对ⅱ,A国可用“4”或者“3”着色,且都符合四着色的要求。
那么,当国家个数n = k时,因为每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4,所以,在这幅地图上国家较密集的“中心”处,总存在两个有共同边界的国家,先将这两个国家视为一个国家“A”﹙合二为一﹚,这时,与“A”国有共同边界的国家个数仍不小于4(否则,在这两个国家中至少存在一个与自身有共同边界的国家个数小于4,这与“每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4”矛盾,如图﹙五)),完全满足归纳假设;因此,对ⅰ,在如(1)的着色模式T下,前两个阶段的着色与归纳假设完全一致﹙包括国家个数﹚,第三阶段,对最后这两个﹙一分为二﹚国家、即对“A”国的着色,分别用 “3” 、“4”着色即可,如图﹙六﹚,且符合四着色的要求。对ⅱ,为了避免人为造成这最后两个国家、即“A”国中的一国有可能“无法着色”的情形,根据归纳假设,恰当选择着色“3” 的位置﹙这时着色“3”的位置没有m个选择,只有m - 2个选择〔 m ≥ 4 〕),在如﹙1﹚的着色模式T下,使最后着色的这两个国家、即“A”国中的一个国家P与着色“3”的国家有共同边界,另一个国家Q与着色“3” 的国家无共同边界﹙否则,P与Q中有一个国家与自身有共同边界的国家个数小于4,从而产生矛盾﹚,如图﹙七﹚,从而,前两个阶段的着色与归纳假设完全一致,第三阶段,对最后这两个国家、即对“A”国的着色,第k - 1个国家P着色“4” ,第k个国家Q着色“3” ,且符合四着色的要求。事实上,对ⅰ,取着色“3”或者“4” 的国家为A 国;对ⅱ,取Q为A国﹙根据对称性和归纳假设,只要恰当选择着色“3”的位置,在如(1)的着色模式T下,也可取P为A国﹚,无论与A国有共同边界的国家个数m是偶数或者奇数,关于A国的着色模式T′与关于“A”国的着色模式T同结构,如图﹙八﹚、图(九);也就是,对着色模式T和着色程序的三个阶段的存在性或一致性也作了归纳论证。这就是说,当国家个数n = k时,四色猜想也成立。
特别地,当国家个数n = k ,与A国有共同边界的国家个数m = k - 2时,四色猜想显然成立﹙类似于n = 6的情形﹚。
由(1)和(2)可知,对国家个数为n﹙n ∈ N﹡,n ≥ 6﹚且满足上述条件的每一幅正规地图,四色猜想都成立。
综上所述,对国家个数为n( n ∈ N﹡)的每一幅正规地图,四色猜想都成立;并且成为四色定理。
    有道是:奇思妙想破四色.  鸣金收兵获定理.  中国数学

9 s3 b; q; O: ?1 M: `
参考文献:
  〔1〕李文汉.科学的发现﹙3﹚—六大数学难题的故事.北京:中国少年儿童出版社,1981﹕7.                                                                                                                     
特注:
1,四色猜想的该证明的知识产权属作者所有,并于2014年3月6日在四川省岳池县白庙职中、四川省岳池县科学技术协会等备案待查;瞟窃、盗用者将被追究相关责任。
2,期待国内外各数学权威机构、各高校数学科研院所﹙大学学报﹚、各自然科学(或数学)核心期刊编辑部的教授、专家、研究员等对该证明进行审查鉴定或刊用﹙联系电话:13219240735。QQ邮箱:〈1940400155@qq.com〉﹚。
3,该证明于2014年3月15日至3月20日前后以《四色猜想的证明框架(密)》为题分别发布在新浪、腾讯、凤凰博客和中国数学论坛等网上,同时也将其投稿到中科院《智慧火花》(本次也同样处理),也作过省级问政等。目前,已有中科院在读博士温某、川大在读硕士陈某,本校在重师大的在职在读硕士李某、央视国际频道编辑(记者)温某等阅过该证明。
4,为了中国数学梦,热忱欢迎并期待国内外各大网站和网友倾情观注、评论和转载。
谢谢!恭祝大家:幸福美满,工作愉快!
2014年4月16日
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    本论证在数学中国的《拓扑学》栏目中已作出修订,附图见中国数学论坛新闻热点、教育时讯中的《巧证四色猜想》(修订)。
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    难道还要眼睁睁地看着“四色瘟疫”横行下去吗?请各位“四色”高手把把脉吧!即使投“蛋”也无妨。
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    : j) y3 y- f! }$ W! A% t      综 上所 述              
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