巧证四色猜想（修订）

1940400155

; q8 x+ V& B; F4 d

巧证四色猜想（修订）

                                            （四川省岳池县白庙职业中学638350）陈陶                       

摘要：对每一幅正规地图的四着色，作者另辟蹊径，采用独特的思维方式和研究方法，找到了恰当的切入点，利用数学归纳法、德·摩根定理和反证法等，严谨、简明地证明了四色猜想。

关键词：四色猜想 数学归纳法 德·摩根定理 着色模式T  捆绑法 反证法

一 四色猜想

四色猜想：画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图，只要四种颜色，就能使有共同边界的国家着不同的颜色。

四色猜想指的地图是正规地图，在这种地图中，有两条限制：1，每个国家必须连成一片；2，两个国家的边界必须是条线，即直线、或者折线、或者曲线等，而不能是一点、或者一些孤立的点。

二 背景及现状

画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图，国家个数n ∈ N﹡,随着n值的增大，情况越来越复杂，布局千奇万状，复杂性令人无法想象，即使是对一个不是很小的n值，做“四色”研究，一直都是令人头大的事。虽然1976年6月美国数学家阿佩尔与哈肯在两台不同的计算机上，用时1200小时才作出四色猜想的证明，但有不少数学家或学者对机器证明的正确性持质疑。对于书面证明，从问世（1852年由英国人提出）至今，对国家个数n的值﹙乐观点也不超150﹚推进有限，未彻底解决，一直在挑战人类智慧，它与费尔马大定理（1670年公布，于1994年9月被英国数学家安德鲁.怀尔斯破解）和哥德巴赫猜想（1742年提出，至今未彻底解决，目前最好结果属于我国数学家陈景润的“1 + 2”）一起，成为了世界近代三大数学难题。纵观国内外对四色猜想的研究，160多年来，或用肯普、赫伍德等类似的方法，或一些新的方法，几乎要将其转化为与其相关的等价命题，并引入一批新的概念、公理、定理等，建立一套较完整的“理论体系”，其“证明”不少是十分繁难的长篇论著﹙多达数百页﹚。美国当代著名的趣味数学家马丁·迦德纳在一本书的前言中说：数学的真谛在于不断寻求用越来越简单的方法证明定理和解答问题。也有专家认为：不排除一种可能，有朝一日四色猜想简洁明快的证明被高中生发现。进入21世纪以来，在国内，对该猜想的研究，队伍日益壮大，官科、业余科学爱好者和民科持续开展，大势所趋，国家所需，欲力图破解，为国争光，而使得有的人把一生都奉献于此，甚至有的官科还得到了国家自然科学基金等资助，更有呼吁成立《四色研究会》的。由于种种原因，在世界范围内，不少证明或者被否定，或者得不到数学界普遍承认，其深层次问题恐怕是由于选择的证明方法的“法力”有限，导致证明的繁难程度不可想象，而对证明过程中的某些细节，无论是证明者或审核鉴定者在短时间内都难以发现存在的问题。科学是求实的，数学科学更是严谨、天衣无缝的。经业余科学爱好者的努力，世人将见证中国数学在21世纪的一个重大突破。

三 四色猜想的证明

下面用数学归纳法和德·摩根定理等给出四色猜想严谨、简明、常规的纯数学证明，其过程自然流畅、通俗易懂，文中涉及到的相关示意图，集中附于文后。

证明：对画在一张纸（或者地球仪）上的每一幅正规地图着色，众所周知，要使有共同边界的国家着不同的颜色，四种颜色是必需的。若一幅地图只有一个国家，则四色猜想显然成立。若对国家个数不小于2的每一幅地图四着色，则按国家个数n作数学归纳法，分两种情形。

Ⅰ若这n﹙n ∈ N﹡﹚个国家是连成一片的（连成一片，即每个国家至少与一个国家有共同边界）。

①如果在这n个国家中，不存在与自身有共同边界的国家个数小于4的国家，即每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4。根据德·摩根定理“不可能有五个国家处于这样的位置，其中每个国家都和其余四个国家有共同边界” ，从而，满足这个条件的国家个数不小于6。据此，可构建一个着色模式T，并用数学归纳法证明四色猜想成立﹙第①种情形的证明是该证明的关键和核心﹚。

（1）当国家个数n ＝ 6时，每个国家与自身有共同边界的国家个数恰好都等于4，其中，与“中心”A国有共同边界的有四个国家，与这四个国家有共同边界的一个R国是“环状”或者“半环状”的 ，如图﹙一﹚所示；对这六个国家着色，首先，构建一个着色模式：取A国，与A国有共同边界的四个国家用“1”与“2”﹙颜色代码）相间着色，其位置有两个选择，若有必要，且在不影响其它国家着色的情况下，“1”与“2”中的一国可用“3”或者“4”着色﹙若与A国有共同边界的国家个数m为奇数，则只需一个国家用到第三种颜色，其位置有m个选择﹚，我们把这种关于与A国有共同边界的国家的着色的模式记为T，简称为着色模式T，如图﹙一﹚；其次，缘着着色模式T，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色，外围国家只有一个R国，着色“3”或者“4” ；再次，最后一个A国着色“3” 或者“4” 。这时，四色猜想成立（当国家个数n ＝ 7时，与A国有共同边界的国家个数m ＝ 4或5，分奇偶两种情形，“位置”关系有四种〔图形略去〕，按着色模式T，易验证四色猜想也成立。）。

（2）假设国家个数n= k（ k ∈ N﹡, k≥6）时，四色猜想都成立，且都是在如（1）的着色模式T下，并按（1）的程序和要求对地图完成四着色。也就是，在这幅地图上国家较密集的“中心”处，任取一国作为中心A国，设与A国有共同边界的国家个数为m﹙m满足4 ≤ m ≤ k － 2，且是某个确定的自然数﹚，总可以：ⅰ，用“1”与“2”﹙m为偶数﹚相间着色，若有必要，且又不影响其它国家着色，其中的一国可用“3”或者“4”着色，如图﹙二﹚；ⅱ，用“1”与“2” 相间着色后，第m个国家着色“3”或者“4”﹙m为奇数，只需一个国家用到第三种颜色，其位置有m个选择﹚，如图﹙三﹚；如果存在与这m个国家中的部分国家有共同边界，但与A国只有接触点而无共同边界的其它区域﹙此区域有国家或者无国家不确定﹚，跳过此区域，对这m个国家仍按着色模式T着色，如图﹙四﹚；构建如（1）的着色模式T。无论是情形ⅰ，或者情形ⅱ，对这k 个国家着色都是在着色模式T下，并按（1）的程序和要求对地图完成四着色。整个着色过程分为三个阶段，第一阶段对m 个国家着色；第二阶段对k － m －1个国家着色，方法是缘着着色模式T，按符合四着色要求向外围的国家逐个着色；第三阶段对最后一个A国着色，即：对ⅰ，A国可用“3”或者“4”着色；对ⅱ，A国可用“4”或者“3”着色，且都符合四着色的要求。

那么，当国家个数n ＝ k +1时，因为每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4，所以，在这幅地图上国家较密集的“中心”处，总存在两个有共同边界的国家，先将这两个国家视为一个国家“A”﹙合二为一﹚，这时，与“A”国有共同边界的国家个数仍不小于4（否则，在这两个国家中至少存在一个与自身有共同边界的国家个数小于4，这与“每个国家与自身有共同边界的国家个数都不小于4”矛盾，如图﹙五）），完全满足归纳假设；因此，对ⅰ，在如（1）的着色模式T下，前两个阶段的着色与归纳假设完全一致﹙包括国家个数﹚，第三阶段，对最后这两个﹙一分为二﹚国家、即对“A”国的着色，分别用 “3” 、“4”着色即可，如图﹙六﹚，且符合四着色的要求。对ⅱ，为了避免人为造成这最后两个国家、即“A”国中的一国有可能“无法着色”的情形，根据归纳假设，恰当选择着色“3” 的位置﹙这时着色“3”的位置没有m个选择，只有m － 2个选择〔 m ≥ 4 〕），在如﹙1﹚的着色模式T下，使最后着色的这两个国家、即“A”国中的一个国家P与着色“3”的国家有共同边界，另一个国家Q与着色“3” 的国家无共同边界﹙否则，P与Q中有一个国家与自身有共同边界的国家个数小于4，从而产生矛盾﹚，如图﹙七﹚，从而，前两个阶段的着色与归纳假设完全一致，第三阶段，对最后这两个国家、即对“A”国的着色，第k 个国家P着色“4” ，第k+1个国家Q着色“3” ，且符合四着色的要求。事实上，对ⅰ，取着色“3”或者“4” 的国家为A 国；对ⅱ，取Q为A国﹙根据对称性和归纳假设，只要恰当选择着色“3”的位置，在如（1）的着色模式T下，也可取P为A国﹚，无论与A国有共同边界的国家个数m是偶数或者奇数，关于A国的着色模式T′与关于“A”国的着色模式T同结构，如图﹙八﹚、图（九）；也就是，对着色模式T和着色程序的三个阶段的存在性或一致性也作了归纳论证。这就是说，当国家个数n ＝ k+1时，四色猜想也成立。

特别地，当国家个数n ＝ k+1 ，与A国有共同边界的国家个数m ＝ k － 1时，四色猜想显然成立﹙类似于n ＝6的情形﹚。

由（1）和（2）可知，对国家个数为n﹙n ∈ N﹡，n ≥ 6﹚且满足上述条件的每一幅正规地图，四色猜想都成立。

②如果在这n个国家中，存在（至少有一个）与自身有共同边界的国家个数小于4的B国，则四色猜想成立。

（1）当国家个数n ＝ 2时，四色猜想显然成立。

（2）假设国家个数n= k（ k ∈ N﹡，k≥2）时，四色猜想都成立。

那么，当国家个数n ＝ k+1时，暂不考虑B国，对其余的k个国家着色，根据归纳假设（即除B国外，还有与自身有共同边界的国家个数小于4的国家）或根据①的论证（即除B国外，不再有与自身有共同边界的国家个数小于4的国家，而是国家个数不小于4的国家），其着色都符合四着色的要求。又因为与B国有共同边界的国家个数小于4，所以，与B国有共同边界的国家着色不超过三种颜色，从而，B国至少可用第四种颜色着色。这就是说，当国家个数n ＝ k+1时，四色猜想也成立。

由（1）和（2）可知，对国家个数为n（ n ∈ N﹡，n ≥ 2 ）且满足上述条件的每一幅正规地图，四色猜想都成立。

0 |6 i, [) a1 N' @: Q. ?  m

     特别地，在这n个国家中，若每个国家与自身有共同边界的国家个数都小于4，则四色猜想显然成立。

II若这n（n∈N＊）个国家不是连成一片的。
这时，这幅地图的n个国家至少由两片组成，且每一片的国家个数和位置关系无论怎样，根据Ⅰ的论证，每一片的国家着色都符合四着色的要求，即四色猜想成立。
9 {& Q! x9 o  w

综上所述，对国家个数为n（ n ∈ N﹡）的每一幅正规地图，四色猜想都成立；并且成为四色定理。

    有道是：奇思妙想破四色.  鸣金收兵获定理.  中国数学

附：证明示意图，其中图（八）由图（六）得到，图（九）由图（七）得到，P着色“4” ，Q着色“3” 。

                                          file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif                                                                                2014年4月29日

参考文献：

  〔1〕李文汉．科学的发现﹙3﹚—六大数学难题的故事．北京：中国少年儿童出版社，1981﹕7.                                                                                                                     

特注：

1，四色猜想的该证明的知识产权属作者所有，并于2014年3月6日在四川省岳池县白庙职中、四川省岳池县科学技术协会等备案待查；瞟窃、盗用者将被追究相关责任。

2，期待国内外各数学权威机构、各高校数学科研院所﹙大学学报﹚、各自然科学（或数学）核心期刊编辑部的教授、专家、研究员等对该证明进行审查鉴定或刊用﹙联系电话：13219240735。QQ邮箱：1940400155@qq.com。

3，该证明于2014年3月15日至3月20日前后以《四色猜想的证明框架（密）》为题分别发布在新浪、腾讯、凤凰博客和中国数学论坛等网上，同时也将其投稿到中科院《智慧火花》（本次也同样处理），也作过省级问政等。目前，已有中科院在读博士温某、川大在读硕士陈某、本校在重师大的在职在读硕士李某、央视国际频道编辑（记者）温某等阅过该证明。

4，为了中国数学梦，热忱欢迎并期待国内外各大网站和网友倾情观注、评论和转载。

谢谢！恭祝大家：幸福美满，工作愉快！

2014年4月16日

3 Q$ {" _' ]* w2 ]

1940400155

2 h" X, M1 Q% Q2 M7 g将年月日上面的一串字母用鼠标拖兰后，点击“打开链接”即可见图，但有时看不见。在中国数学论坛《新闻热点、教育时讯》栏目中《巧证四色猜想》（修订）可随时看见。

1940400155

将年月日上面的一串字母用鼠标拖兰后，点击“打开链接”即可见图。

1940400155

0 J, {3 S: A. _, P/ @  @; f
; b6 }9 [# t; ?/ T) O实际上，该论证只需具备高中数学知识就能评说。若是梦呓，扔蛋无妨！愚就纳闷：昔日 — 好色诸君吵翻天，今朝 — 疫苗样本静悄悄。秉承：学术无止境，对错任评说。

情未央

非常感谢楼主！

1940400155

9 G  I3 C; a/ N: |/ l- q; ]5 d
在这里，《拓扑学》有三少：主题少，看的人少，回帖更少。看来《四色瘟疫》的疫苗“样本”只能乖乖的在那里叹息，让其继续横行下去。难道真的是“代代大师笔尖塞”？

1940400155

情未央 发表于 2014-5-6 15:51
非常感谢楼主！

' B8 V  _/ k$ L万分感谢“情未央”的关注！！在此，特请同仁们对该证明的关键与核心 —  “ 着色模式T”及其应用过程等作出点评。另外，由于该证明的附图经常看不见，而中国数学论坛的网页又常出问题，给同仁们的审阅带来不便，深表歉意！实际上，只要按论证思路和过程，极易画出相应的简图。

1940400155

据中国科技论文在线：许进的被推荐、正在线论文《极大平面图结构与着色理论研究》（系列），已有中科院、北大、西北师大、安徽理工大等5位研究员、教授分别对其作出了短评、评述、评审意见和评价报告。另据中国博士网数学论坛（2014年5月18日）：作者87654321指出，许进（北京大学）对平面图4—着色的论证存在问题！瞅瞅，这才是数学高人的学术气质！

1940400155

四色春秋  艰难历程：1852生四色，代代大师笔尖塞。无名小卒不信邪，灵机一动巧把脉。2014破四色，刷新数学又一页。千里艰冰万里雪，拨开浮云向山岳。公布样本任审阅，存在问题斩立决！斩立决！！（中科院《智慧火花》称处理稿件一般不超过一个月，不用的稿件定告知，但从投稿至今远超其大限，最后修订也有40余天，却仍显示“处理中”。难道是“左顾兮、右盼兮”不成？）

1940400155

网友在论坛.数学中国，开启了数学打假之门，称可拿该论证开刀。赞！