请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
- m6 |, }$ _) }9 G1 }* |6 o    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
  ~0 f$ n- x* ?5 C' X8 c6 B: F/ u为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
& v7 l% O( z! N    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
- G) S1 A. U1 _2 f                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
% j4 y8 Y/ G( r7 V9 J0 M! i于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
[证毕]

    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
( Z" k7 C! I8 G# a9 k$ H头“考虑K=7”有问题了。
- m2 Y* F% k& n. h$ p- Z' W/ q    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
9 f  n- Y7 g7 E2 ?7 ~      如果确定是k/6,那么（1）式为
' Z. N$ g$ d* j   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
1 Z8 N. W. c5 [1 n/ O" X    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。
7 P/ C: b, i* v0 R! h) L+ O' I6 x) I
    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
) T8 M1 @+ Q& R! `. U+ @或者
    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
9 t' E) ]0 O' ^0 ^) C6 h9 D: f    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
5 d' d/ W2 ]1 N    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
7 z0 L$ u. k$ z! Y的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
, Q8 o9 {! s( b3 d8 \; ^# ]   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
8 _4 d. d7 m7 ?0 W   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
) _( e7 c. }- n   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
2 j! X8 z2 o5 ]( t- ^5 D$ c5 X必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
$ v( e  \  T7 h1 |# s, C8 s8 _: d     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
$ H" S+ ?  U5 N4 h$ J    我的认识对不对，请王教授指导.
4 U8 e# W& Q9 R0 B; m0 L                                                                     2014.04。09
% X( q( E  w4 X4 P1 K& Z: K% z$ m   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
3 B! K! [7 o+ t4 x$ ~/ }

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山林隐逸

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