请教王树禾教授

张彧典

王树禾教授在他的《图论》（2004年出版）第99-100页中，有定理5.6的证明，
现在转载如下：
6 j7 d3 c% b6 s定理5.6 （Wernicke 1904）{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是不可避免集。
9 S8 V9 ^1 P6 u0 S    证明：令T是一个不含二次、三次和四次顶的三角剖分。我们约定，开始时K次顶所带电荷
& p% z2 A! z. `* U# A5 W$ j/ n" I为6-K,由定理5.5，T上各顶总电荷为 ∑（6-K）Pk=12,其中Pk是k次顶的数目，，而K≥5.
, u$ h) j! j. z% d! m- X                                                k
    把带一个单位正电荷的每个5次顶向其每个带负电荷的相邻顶输送1/5个电荷。
' Y0 V6 l/ m. A! Z  K) h6 v3 t9 L- Y    如果不存在5次顶与5次顶或者5次顶与6次顶相邻的想象，每个5次顶必有5个开始带负电荷
, j  O/ N: \9 ?+ u2 F) O" {的相邻顶，即5次顶与7次以上的顶相邻，最后5次顶上的电荷变成0.
    考虑K≥7的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带的
总电荷为
* Q$ u& f: e9 X                  （6-K）+ K/5=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，     【我把这个算式记为（1）】
于是T上的总电荷量是负的，不是12，矛盾。证明{5次顶与5次顶相邻,5次顶与6次顶相邻}是
不可避免集。
% z, _# v. ?4 `, n! N[证毕]
# z0 _& B/ b/ u4 s4 E
+ a& @8 F2 i( Y9 n$ c    在以上证明中我们发现， （1）式第一个等号前后数字5和6不一致，
- P8 a% T& R3 J' l) g5 w    如果（1）式中的分母都是5的话，（1）式应该是
      （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 ，只有当K大于7时才有（1）< 0，这又表明开
- R! a; |; @. |/ \0 T5 a) ?/ {头“考虑K=7”有问题了。
4 G+ ]& Q# M7 v6 k$ }. e    [ 野花回复：应该是 k/6 ，]
8 T* A. J7 Y! b6 z' m: B7 B* b      如果确定是k/6,那么（1）式为
   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6<0，其中
    把k=7带入(36-5K)/6时，得
    （ 36-5x7）/6=1/6＞0,显然与（1）式的值小于0矛盾，所以说明开头所设应该为k＞7
才对。但是这样一来，定理5.6中的构形就不是两个而是三个了。

    那么（1）式究竟是什么样呢？是不是：
     （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 1  （1-1）
或者
  J2 T: a, A5 W$ _; m. X; E    （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(36-5K)/6 < 1， （1-2）
( n; i8 ?- ]! S1 t因为只有在这两种情形下，所设K≥7才有意义。
/ d2 _8 i. W$ m$ J% y, K    如果千真万确 是（1-1） 或者（1-2）  的话，对于（1）式，我们可以仿照证明定理5.6的思路：
8 C; K! [5 `- L/ }    考虑K≥6的顶，即使这种顶的相邻顶都是5次顶，这种K次顶所获电荷至多为K/5,使它带
的总电荷为
            （6-K）+ K/5=6+K/5-K=(30-4K)/5 < 2   
   或者   （6-K）+ K/6=6+K/6-K=(30-4K)/6 ≤ 1，
' H1 ^2 Y! f8 v6 p8 |, E   于是T上的总电荷量< 2 ，不是12，矛盾。证明定理5.6中只有第一种构形就够了。
; b) S7 p' o- c# i3 l   这是因为，比较考虑“K≥6”与“K≥7”的证明，只是前者比后者多考虑了K=6的情形，由于
6次顶是中性的，它既不需要发出电荷，也不需要吸收电荷，所以可以完全不考虑它的存在，即没有
& }8 X# x4 G2 a  |8 q; C必要考虑5次顶与6次顶相邻的构形了。
9 S8 _1 M: J# G: ]     如果这个仿照证明成立的话，就说明我在《数学学习与研究》2011（21）发表的《与阿
; v2 e- c+ Q& r) B% @& ~沛尔-哈肯证明四色定理商榷》文中的分析是正确的。（在我的搜狐博文《 Wernicke   第四不可
避免构形的简化》中有所修改）。
    我的认识对不对，请王教授指导.
                                                                     2014.04。09
   [野花回复：从这段内容看，此教材太差劲了！！！]
5 g( Y' p  d8 r2 W& A

山林隐逸

顶一个O(∩_∩)O~