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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组: 国赛讨论
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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法


    1 e) P' z- e. x5 ~/ V
    4 j) w& F+ I- m- Y+ `
    & k, x0 J" d  b- H; F0 T5 o0 `[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理，

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高，再让其徐徐冷却，加温时，固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状，内能增大，而徐徐冷却时粒子渐趋有序，在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态，最后在常温时达到基态，内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则，粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left]，其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能，

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为

    [p=197, null, left]其改变量，

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]为

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题，将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left]，温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]，即得到解组合优化问题的模拟退火算法：由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始，

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代，并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值，

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解，

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制，包括控制参数的初

    [p=197, null, left]值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]件

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]。


    / x" i" e) H( s3 ]/ d+ ?2 ^3 \; i$ ]  R) H" O1 C: N6 f4 d

    # z0 {! m. T7 Z[p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。

    3 z8 t5 P4 T3 d( G1 |7 L
    * V  ]  z! m% z1 x+ c

    : H% C5 x- b1 m/ x: [! w4 g[p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:


    0 n3 x: G5 ~; L7 l$ ]! ?
    ) i- r( u* _5 X$ Y% u[p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化：初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]，初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]是

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]，


    6 h: M' C+ a8 ]2 h3 U+ Z! K3 K* Q[p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    % I4 ~: C- V+ ]& s  U
    - J; ^$ w0 j0 u* D9 r
    % n9 o4 ^8 n4 p  _8 y8 ~
    5 u, H. _4 v+ m1 H" f' l
    9 G6 i3 R0 x5 i6 @4 i

    % _( S. G3 \5 P" P  b# y! [& b7 n" m) ~6 t. K

    1 V& I* Z# k9 Y$ ^9 |2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务
    - |. U) r# e1 n' ]+ A
    ( c% a) p% k7 Z    9 ?% Y3 I' g1 S( e: @2 q

    + }1 G8 s( ]8 G5 C6 n1 @3 `. x! ]3 e! j+ S
    & D3 T5 u! T: e6 a+ s* y2 [" Z
    5 J9 j9 @% _4 `8 c  V, V

    * {$ g' l! u4 M. S5 Y[p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px]，

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px]，

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步：


    8 j" j2 q* N, |# r
    ( a- g; ^' A  e6 Z9 A5 p7 M* R- J5 {/ v" H: s5 C% f% F+ k
    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    0 N* ]3 ~0 Y! W* X$ [

    3 n* q, t0 e' F1 }! J# @' G
    + X& `. e& A( y+ S$ _[p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]，其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数


    8 }2 [* E+ Q' l2 w% J! f/ o1 ^8 c  S# Q

    ) K$ g* z( ~) a; [" Z' F& n[p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解，否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].


    5 }: Y  P% V0 n8 y
    0 F) _# }0 O& E" `$ f[p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解，结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。

    ( K+ |: P' C- s. G

    . m' I0 s6 u' V3 M" v# A: r0 S* l- T2 g) ?$ a  f4 J
    [p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。

    3 [, P) @* W/ j$ _3 e' C

    $ ]) z" u7 R5 Z8 [0 H3 @% @/ X7 ]. K8 r. p5 A
    [p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少，且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px]，然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。


    $ C/ a  w8 ^/ ]2 X. F6 F7 M0 b' y" m* i2 c' D2 l/ T6 V0 h. w
    4 G& s4 S# H5 z& `
    [p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤：


    % u9 k. s/ X* _/ ?+ D1 H- b. [$ p* [% N# o2 L, r/ {

    $ f2 {1 v8 F  d- i, t% W[p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解；为便于后续的计算和接受，减少算法耗时，

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法，如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等，

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构，

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

    & x# |* w# d# n! d* E% g
    : x& J9 `. i4 X  O( A
    4 T5 j- O/ y7 V
    [p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生，

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明，对大多数应用而言，这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。

    & I5 u  @$ {2 `" p! A  c

    . s# i- _* ~  S. \) P/ k& S& a% N
    " q8 p8 ~2 V6 U" x2 Z& K
    4 T! [+ i5 }* f; d: P$ }
      a; D. S* Q7 X" G/ a# n8 W! t
    0 a7 h3 O0 I! y1 S
    2 {9 \! u* m+ \% J2 a; P' |0 N/ o) A9 E0 I' Y' w

    9 t  f! i5 p" z6 `( K/ F$ x/ n9 Z" V7 f- E8 z4 J  ?3 ^

    . K5 ]/ k' u8 W- G8 H+ m& R0 U1 p1 C( J9 \7 C; m& y  N. [
    1 d7 q, c0 c0 E) r. j. R

    5 p4 G& s8 K6 `8 v9 b. h7 P[p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则，最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]，

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。


    ) V" u( r* l2 p$ ]  h, _8 p7 Y- E2 [! u/ l" S7 G5 l# X, l

    / @0 V) w9 z" g6 D7 p( T+ `" J[p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时，用新解代替当前解，

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现，同时修正目标函数值即可。此时，当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时，则在原当前解的基础上继续下一轮试验。


    3 c$ {/ k7 T/ |  o4 w4 S! h
    + Y& _4 j# M8 F" z) y$ w8 e/ s6 i' i: q
    [p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关，

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关；模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性，

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法；模拟退火算法具有并行性

    0 U9 l, `( V( Y2 w9 y5 w9 T
    ) v5 @) n& V) a* |! T7 D' F7 \9 L6 w

    ( x0 q5 H# Z7 I; Y
    8 M  w( O; I& w1 c
    . x4 k. n# g. d. r
    * @' E+ h1 f/ d! ^, C5 P# h) U7 `* F0 T

    ( w7 q3 s  j4 w9 y5 m/ U/ Q, C0 ~  W6 Q5 J  I- A) f
    zan
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