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[建模教程] 模拟退火算法

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    [LV.5]常住居民I

    群组国赛讨论

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    1#
    发表于 2014-8-21 23:45 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    [p=272, null, left]模拟退火算法

    - K+ k1 u7 W7 @/ f

    ' H6 d+ m8 B" @9 ~1 a. T" ~) L
    - q  K/ V8 t+ ?( u' ]& g[p=197, null, left]模拟退火算法来源于固体退火原理,

    [p=197, null, left]将固体加温至充

    [p=197, null, left]分高,再让其徐徐冷却,加温时,固体内部粒子随温升变

    [p=197, null, left]为无序状,内能增大,而徐徐冷却时粒子渐趋有序,在每

    [p=197, null, left]个温度都达到平衡态,最后在常温时达到基态,内能减为

    [p=197, null, left]最小。根据

    [p=197, null, left][size=197px]Metropolis

    [p=197, null, left]准则,粒子在温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时趋于平衡

    [p=197, null, left]的概率为

    [p=197, null, left][size=197px]e-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E/(kT)

    [p=197, null, left],其中

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]为温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]时的内能,

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]其改变量,

    [p=197, null, left][size=197px]k

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]Boltzmann

    [p=197, null, left]常数。用固体退火模拟组合优

    [p=197, null, left]化问题,将内能

    [p=197, null, left][size=197px]E

    [p=197, null, left]模拟为目标函数值

    [p=197, null, left][size=197px]f

    [p=197, null, left],温度

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]演化成控

    [p=197, null, left]制参数

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left],即得到解组合优化问题的模拟退火算法:由初

    [p=197, null, left]始解

    [p=197, null, left][size=197px]i

    [p=197, null, left]和控制参数初值

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]开始,

    [p=197, null, left]对当前解重复

    [p=197, null, left][size=197px]“

    [p=197, null, left]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]计算目标函数差

    [p=197, null, left][size=197px]→

    [p=197, null, left]接受或舍弃

    [p=197, null, left][size=197px]”

    [p=197, null, left]的迭代,并逐步衰减

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值,

    [p=197, null, left]算法终止时的当前解即为所得近似最优解,

    [p=197, null, left]这是基于蒙特

    [p=197, null, left]卡罗迭代求解法的一种启发式随机搜索过程。

    [p=197, null, left]退火过程由

    [p=197, null, left]冷却进度表

    [p=197, null, left][size=197px](Cooling Schedule)

    [p=197, null, left]控制,包括控制参数的初

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]及其衰减因子

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]、每个

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left]值时的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left]和停止条

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left]

    3 W8 `+ s# e' N# r$ |

    8 N2 R3 T, \, F" o* n
    ! k1 W7 ?9 p6 I( B* c% s# h[p=197, null, left]模拟退火算法可以分解为解空间、

    [p=197, null, left]目标函数和初始解

    [p=197, null, left]三部分。

    + q+ c% j0 ~3 u8 b9 `3 i, t
    4 L2 l' X4 B2 E0 N

    5 q& `: p! U% i: W- W. b[p=197, null, left]模拟退火的基本思想

    [p=197, null, left][size=197px]:

    0 \$ z8 S8 x# l4 D. ~2 D& o

    4 `# Y- h4 `" P4 O, c3 _' D[p=197, null, left][size=197px](1)

    [p=197, null, left]初始化:初始温度

    [p=197, null, left][size=197px]T(

    [p=197, null, left]充分大

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left],初始解状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left]

    [p=197, null, left]算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left]


    + H+ t, l4 F& r8 W7 [[p=197, null, left]每个

    [p=197, null, left][size=197px]T

    [p=197, null, left]值的迭代次数

    [p=197, null, left][size=197px]L


    - R# |/ L' H7 p- r: L" a
      B5 G' @. m, F( E' e, V- V
    2 {6 H" O: d5 D1 U, L- P! Y; D& k( u

    ' |4 v0 J0 J8 ]5 x+ C2 r0 d
    % x! V4 j7 M1 h8 y$ R$ i2 Y
    $ o, T% o8 g) A& [, B! S; I! B7 ]0 E1 Z2 Q2 Q) I
    2014全国一级建造师资格考试备考资料真题集锦建筑工程经济 建筑工程项目管理 建筑工程法规 专业工程管理与实务: I4 e: W1 i* \( B, x
    " i9 j6 p$ @! X7 M6 @, d7 f/ W

    0 T( y' [  Z3 u1 a: r: ?/ [4 h4 w
    " S5 t0 R( K) K& H. m; a" v8 @2 R# B9 Y8 s0 ~7 E- @
    # B& X- [! H3 ]+ E$ h

    + R9 K2 b: f% v3 l6 }+ S
    ( D. R) ?  Z/ _& i% x[p=197, null, left][size=197px](2)

    [p=197, null, left][size=197px]对

    [p=197, null, left][size=197px]k=1

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]……

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]L

    [p=197, null, left][size=197px]做第

    [p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]至第

    [p=197, null, left][size=197px]6

    [p=197, null, left][size=197px]步:


    0 n' c8 a9 y" H' u" H6 u" q; M, ?: ~

    8 V4 G5 B# V& t  _  F& ^1 C' V[p=197, null, left][size=197px](3)

    [p=197, null, left][size=197px]产生新解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    # L) R' g0 m8 g' \% A
    & Y- x, D4 R) s# s5 q5 V% F% D

    ; w0 y+ ]$ o% p, Y[p=197, null, left][size=197px](4)

    [p=197, null, left][size=197px]计算增量

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]=C(S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px])-C(S)

    [p=197, null, left][size=197px],其中

    [p=197, null, left][size=197px]C(S)

    [p=197, null, left][size=197px]为评价函数


    & f: Y( x" ~, g  e4 y; r2 L7 I; M/ |9 f. a# h! R+ C$ e; v6 r

    3 a! m' l$ _1 O; j1 j2 D, h[p=197, null, left][size=197px](5)

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解,否则以概率

    [p=210, null, left][size=197px]exp(-

    [p=210, null, left][size=197px]Δ

    [p=210, null, left][size=197px]t

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]/T)

    [p=210, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px].


    ' ?& w6 I# D' R4 Y3 h' i
    7 n) S: k) ~2 \, s( A( w[p=197, null, left][size=197px](6)

    [p=197, null, left][size=197px]如果满足终止条件则输出当前解作为最优解,结

    [p=197, null, left][size=197px]束程序。


    $ F+ {: O/ O6 m$ l- u* Q" T, F7 D
    # x! {* w: r  h+ y' R4 o7 e) d
    [p=197, null, left][size=197px]终止条件通常取为连续若干个新解都没有被接受时

    [p=197, null, left][size=197px]终止算法。

    ( m9 d3 D) J5 |  }! E# I- Y7 q
    3 X+ c% D' Y& w/ E! d4 A4 U0 ]
    1 M$ a8 k3 u# l* `/ _  Q
    [p=197, null, left][size=197px](7) T

    [p=197, null, left][size=197px]逐渐减少,且

    [p=197, null, left][size=197px]T->0

    [p=197, null, left][size=197px],然后转第

    [p=197, null, left][size=197px]2

    [p=197, null, left][size=197px]步。

    & X: T2 s4 M1 T9 \5 q3 V( s9 W

    : x- t  o7 M" ^
    ' K4 a. i4 B! f" Z" G1 B; v+ l[p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法新解的产生和接受可分为如下四个步

    [p=197, null, left][size=197px]骤:

    ) F* {" h9 t/ j6 \( Y( s$ x" K' ^
    3 y' b2 h1 s- ]

    ( G7 y3 ]; }( d4 v8 ?: Z3 N[p=197, null, left][size=197px]第一步是由一个产生函数从当前解产生一个位于解

    [p=197, null, left][size=197px]空间的新解;为便于后续的计算和接受,减少算法耗时,

    [p=197, null, left][size=197px]通常选择由当前新解经过简单地变换即可产生新解的方

    [p=197, null, left][size=197px]法,如对构成新解的全部或部分元素进行置换、互换等,

    [p=197, null, left][size=197px]注意到产生新解的变换方法决定了当前新解的邻域结构,

    [p=197, null, left][size=197px]因而对冷却进度表的选取有一定的影响。

    , V4 V6 H; n0 t9 |
    ! [  S5 B4 o+ i: d
    9 e1 K% K) ^/ ]7 I. n
    [p=197, null, left][size=197px]第二步是计算与新解所对应的目标函数差。

    [p=197, null, left][size=197px]因为目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差仅由变换部分产生,

    [p=197, null, left][size=197px]所以目标函数差的计算最好按

    [p=197, null, left][size=197px]增量计算。事实表明,对大多数应用而言,这是计算目标

    [p=197, null, left][size=197px]函数差的最快方法。


    8 v* @5 M$ w% o7 M( I0 f) [2 ]0 ]5 o* o3 y  i+ Z

    5 z# m6 ~) {% l8 ~/ L6 j3 t$ P7 z5 Q4 E1 o

    + L% ?+ e8 R" d& ^- k. u9 x6 W8 r  a$ w' o: y7 b6 X8 |" c
    ; X+ T8 s$ v8 q; E+ Q; ]6 u
    $ K6 p: R* d5 G$ w, v
    / K' D& M- k1 d% Y- b& t$ U
      s2 |5 l# I5 Z9 M  h0 k8 Q9 M% W
    1 w% i) Y! Q  {5 Q$ m8 F3 G( u
    . G/ B+ s. [  z

    : c. s& C+ ?+ c* F7 N/ D5 _& h' u' B# ~3 z
    [p=197, null, left][size=197px]第三步是判断新解是否被接受

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]判断的依据是一个接

    [p=197, null, left][size=197px]受准则,最常用的接受准则是

    [p=197, null, left][size=197px]Metropo1is

    [p=197, null, left][size=197px]准则

    [p=197, null, left][size=197px]:

    [p=197, null, left][size=197px]若

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]<0

    [p=197, null, left][size=197px]则接受

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=197, null, left][size=197px]S

    [p=197, null, left][size=197px],

    [p=197, null, left][size=197px]否则以概率

    [p=197, null, left][size=197px]exp(-

    [p=197, null, left][size=197px]Δ

    [p=197, null, left][size=197px]t

    [p=197, null, left][size=197px]′

    [p=197, null, left][size=197px]/T)

    [p=197, null, left][size=197px]接受

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]′

    [p=210, null, left][size=197px]作为新的当前解

    [p=210, null, left][size=197px]S

    [p=210, null, left][size=197px]。


    ( q  f; u7 D3 G7 ^, c( M4 e- o# F3 K4 r4 N  F  s

    : j/ P; y6 L  l; K) j[p=197, null, left][size=197px]第四步是当新解被确定接受时,用新解代替当前解,

    [p=197, null, left][size=197px]这只需将当前解中对应于产生新解时的变换部分予以实

    [p=197, null, left][size=197px]现,同时修正目标函数值即可。此时,当前解实现了一次

    [p=197, null, left][size=197px]迭代。可在此基础上开始下一轮试验。而当新解被判定为

    [p=197, null, left][size=197px]舍弃时,则在原当前解的基础上继续下一轮试验。


    , v4 x* \- x% `5 t1 U6 {! U8 X" `6 K0 ~6 Y! Y
    . p  u* A# Q$ j$ N; A; _  i
    [p=197, null, left][size=197px]模拟退火算法与初始值无关,

    [p=197, null, left][size=197px]算法求得的解与初始解

    [p=197, null, left][size=197px]状态

    [p=197, null, left][size=197px]S(

    [p=197, null, left][size=197px]是算法迭代的起点

    [p=197, null, left][size=197px])

    [p=197, null, left][size=197px]无关;模拟退火算法具有渐近

    [p=197, null, left][size=197px]收敛性,

    [p=197, null, left][size=197px]已在理论上被证明是一种以概率

    [p=197, null, left][size=197px]l

    [p=197, null, left][size=197px]收敛于全局最

    [p=197, null, left][size=197px]优解的全局优化算法;模拟退火算法具有并行性


    & |& V! f& n1 l0 c1 P. c2 W" X! n% t2 X( g$ S
    / O0 G/ X& x3 \- f1 K6 c# x

    1 n  @) D9 g/ P- u) A" O% t; r9 y2 G
    2 h$ D2 C) K* o6 B0 c, {

    4 p0 S. a, P  V* D3 h; K+ }0 s* D+ U8 l+ g- F
    4 S& X1 i, T; W- j4 o. y: i& {
    zan
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