集合论的创始人——康托

彭小玉

格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡）。父亲是犹太血统的丹麦商人，母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学，后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。
康托尔，1862年入苏黎世大学学工,翌年转入柏林大学攻读数学和神学，受教于库默尔（Kummer，Ernst Eduard，1810.1.29-1893.5.14）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，Karl Theodor Wilhelm，1815.10.31-1897.2.19）和克罗内克(Kronecker，Leopold，1823.12.7-1891.12.29)。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以解决一般整系数不定方程ax2+by2+cz2=0求解问题的论文获博士学位。毕业后受魏尔斯特拉斯的直接影响，由数论转向严格的分析理论的研究，不久崭露头角。他在哈雷大学任教（1869-1913）的初期证明了复合变量函数三角级数展开的唯一性，继而用有理数列极限定义无理数。1872年成为该校副教授，1879年任教授。由于学术观点上受到的沉重打击，使康托尔曾一度患精神分裂症，虽在1887年恢复了健康，继续工作，但晚年一直病魔缠身。1918年1月6日在德国哈雷（Halle）-维滕贝格大学附属精神病院去世。

' y3 D$ x6 [# W) |: V; @8 e( c康托尔爱好广泛，极有个性，终身信奉宗教。早期在数学方面的兴趣是数论，1870年开始研究三角级数并由此导致19世纪末、20世纪初最伟大的数学成就——集合论和超穷数理论的建立。除此之外，他还努力探讨在新理论创立过程中所涉及的数理哲学问题.1888-1893年康托尔任柏林数学会第一任会长，1890年领导创立德国数学家联合会并任首届主席。

康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。

两千多年来，科学家们接触到无穷，却又无力去把握和认识它，这的确是向人类提出的尖锐挑战。康托尔以其思维之独特，想象力之丰富，方法之新颖绘制了一幅人类智慧的精品——集合论和超穷数理论，令19、20世纪之交的整个数学界、甚至哲学界感到震惊。可以毫不夸张地讲，“关于数学无穷的革命几乎是由他一个人独立完成的。”

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集合论的建立
19世纪由于分析的严格化和函数论的发展，数学家们提出了一系列重要问题，并对无理数理论、不连续函数理论进行认真考察，这方面的研究成果为康托尔后来的工作奠定了必要的思想基础。

4 Z. w+ ]: D: f: ]2 }康托尔是在寻找函数展开为三角级数表示的唯一性判别准则的工作中，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f(x)的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把唯一性的结果推广到允许例外值是某种无穷的集合情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。以后，他又在《数学年鉴》和《数学杂志》两刊上发表了许多文章。他称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西人们能意识到并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。他还指出，如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应，它就是无穷的。他又给出了开集、闭集和完全集等重要概念，并定义了集合的并与交两种运算。

, h1 ~. A" i( e0 Y( t0 `1 ^7 Q为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。两个集合只有它们的元素间可以建立一一对应才称为是等价的。这样就第一次对各种无穷集合按它们元素的“多少”进行了分类。他还引进了“可列”这个概念，把凡是能和正整数构成一一对应的任何一个集合都称为可列集合。1874年他在《数学杂志》上发表的论文中，证明了有理数集合是可列的，后来他还证明了所有的代数数的全体构成的集合也是可列的。至于实数集合是否可列的问题，1873年康托尔给戴德金（Dedkind，Julins Wilhelm Richard，1831.10.6-1916.2.12）的一封信中提出过，但不久他自己得到回答：实数集合是不可列的。由于实数集合是不可列的，而代数数集合是可列的，于是他得到了必定有超越数存在的结论，而且超越数“大大多于”代数数。同年又构造了实变函数论中著名的“康托尔集”,给出测度为零的不可数集的一个例子。他还巧妙地将一条直线上的点与整个平面的点一一对应起来，甚至可以将直线与整个n维空间进行点的一一对应。从1879年到1883年，康托尔写了六篇系列论文，论文总题目是“论无穷线形点流形”，其中前四篇同以前的论文类似，讨论了集合论的一些数学成果，特别是涉及集合论在分析上的一些有趣的应用。第五篇论文后来以单行本出版，单行本的书名《一般集合论基础》。第六篇论文是第五篇的补充。康托尔的信条是：“数学在它自身的发展中完全是自由的，对他的概念限制只在于：必须是无矛盾的，并且与由确切定义引进的概念相协调。……数学的本质就在于它的自由。”
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; _/ L# Z6 r6 |* k. b3 u% _超穷数理论的建立
《一般集合论基础》在数学上的主要成果是引进超穷数，在具体展开这一理论的过程中，康托尔应用了以下几条原则：
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第一生成原则：从任一给点的数出发，通过相继加1（个单位）可得到它的后继数。
3 N: Y9 q+ U. b% ^, r7 J& F3 P
: J: H: k" `* U7 t! ^& X- F第二生成原则：任给一个其中无最大数的序列，可产生一个作为该序列极限的新数，它定义为大于此序列中所有数的后继数。

3 \8 l! d, U% ~! c7 {) d5 M第三（限制）原则：保证在上述超穷序列中产生一种自然中断，使第二数类有一个确定极限，从而形成更大数类。
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' e5 j/ d# |4 U5 w. g) _反复应用三个原则，得到超穷数的序列
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ω，ω1，ω2，…

利用先前引入的集合的势的概念，康托尔指出，第一数类（Ⅰ）和第二数类（Ⅱ）的重要区别在于（Ⅱ）的势大于（Ⅰ）的势。在《基础》的第十三章，康托尔第一次指出，数类（Ⅱ）的势是紧跟在数类（Ⅰ）的势之后的势。
* s& C5 v- S( {( a
5 P) }) @1 v  l' e, `( d- L在《基础》中，康托尔还给出了良序集和无穷良序集编号的概念，指出整个超穷数的集合是良序的，而且任何无穷良序集，都存在唯一的一个第二数类中的数作为表示它的顺序特性的编号。康托尔还借助良序集定义了超穷数的加法、乘法及其逆运算。

《对超穷数论基础的献文》是康托尔最后一部重要的数学著作，经历了20年之久的艰苦探索，康托尓希望系统地总结一下超穷数理论严格的数学基础。《献文》分两部分，第一部分是“全序集合的研究”，于1895年5月在《数学年鉴》上发表。第二部分于1897年5月在《数学年鉴》上发表，是关于“良序集的研究”。《献文》的发表标志集合论已从点集论过渡到抽象集合论。但是，由于它还不是公理化的，而且它的某些逻辑前提和某些证明方法如不给予适当的限制便会导出悖论，所以康托尔的集合论通常成为古典集合论或朴素集合论。

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