懂点儿数学，排队更省时

ATLAS-CEPC

要是刘姥姥来到21世纪，把每一座大都市都逛上几圈，她一定会觉得都市人最喜欢的娱乐就是排队。早在1946年，匈牙利裔的作家乔治·米克斯（George Mikes）定居伦敦时，就在著作《如何当一个外星人 》（How To Be An Alien）中写下了一段经典名言：“到周末，英国人在公车站前排队到里士满公园（Richmond Park）玩。他们排队等游船，排队等喝茶，排队等吃冰淇淋。然后纯粹出于兴趣，再去排一些更奇怪的队伍。最后回到公车站前排队，花上他一辈子的时间……许多英国家庭喜欢晚上在家里排上好几个小时的队伍。当小孩子不玩了，准备排队去睡觉时，是父母们最难过的时刻了。”
这是旁观者兴灾乐祸的心态。对于身陷在队伍之中的人，或者商家来说，看到这么多等得不耐烦、随时要离开的客人，总归是一件不好的事。各位有没有想过，如果不考虑先来先到的公平性原则，想减少所有客人等候时间总和的话，该先服务哪些客人吗？

答案是，先服务很快就可以搞定的客人。
2 Q3 D4 A2 h0 j' V' W, Q. n% t
举例来说，大毛、二毛、小明三兄弟在柜台前排队，大毛买了全家的生活用品，得花100秒结帐；二毛拿了一堆零食，需要花50秒结帐；而小明只拿一罐奶茶，10秒就结完帐了。如果按照年龄从大到小的顺序结帐，大毛、二毛、小明各自会花上100秒、150秒、160秒的时间才能完成结帐，平均时间为136.7秒。但如果颠倒过来让结帐快的人先结帐，则小明、二毛、大毛仅需要10秒、60秒、160秒可以完成结帐，平均是76.7秒，缩短了60秒。

* r7 o5 o; i' a3 g用符号表式可以看得更清楚，当三人结帐时间各自为t1、t2、t3，并按照这样的顺序结帐时，每个人各自完成结帐的时间是t1、t1+ t2、t1+ t2+ t3，平均为t1+ 2t2/3+ t3/3。随着队伍的顺序，越后面的人对结帐时间影响越小，以N个人来说，第n位客人的排队时间是tn，平均时间即为：



因此，店家可以先处理那些不大需要花时间的客人，这样可以降低每人平均等待时间，提升顾客满意度；同样的道理，店家也可以反过来，先处理大客户的单，营造出门庭若市的热闹形象。所以如果你看到某间盐酥鸡摊位前排队的人特别多，说不定不一定是很好吃，只是老板数学很好，刻意延后那些只买豆干或甜不辣的点单。
4 j. J7 _$ ]2 s( a" u4 m# A+ P
然而，因为现实情况中需要考虑的地方太多，数学理论有时很难直接套用。在排队这个问题上，就算可以依照结帐时间排队，商家也不愿意真的这么做。因为要是真按照这个标准，等于变相鼓励大家买少一点，才能快点结帐。买了10万元的大客户永远得被排在最后面，等到铁卷门拉下来了才能结他的帐。
0 a* W4 q& ?1 L6 k
: ]7 {- h+ U1 n$ \' _1 P但这则理论并没有失效，商人们依然成功地将它转化为了一件我们都知道的东西——快速结帐柜台。借由快速结帐柜台设定的结帐门槛，将原本结帐时间短到长的排序，用二分法取代，低于门槛的人优先处理。如此一来，就能够大幅缩减整体的排队时间。
3 V( k) @5 I  k" i- g& R, b$ Z不过，快速结帐柜台还是有些缺点。要是大家都买太多，就没人可以去快速结账柜台；或刚好相反，大家都买很少，就会有一群人塞在快速结账柜台，让“快速”两个字变得很讽刺。因此，可以将快速结账柜台的件数限制改成用LED屏幕动态显示，即根据现在的顾客人数，搭配顾客结帐时间的统计分布图，实时估算出最佳的快速结帐柜台件数限制。甚至，可以设定好几个快速结帐的柜台，各自有不同的结帐门槛。

这样的想法很有效，但也很复杂。要是真的实践了，光应付搞不清楚状况的顾客，恐怕就会花上更多时间。拥有好几个结帐柜台的商家，因此又采用了一个更简单，且同样广为使用的策略：将排在多个柜台前的多条队伍整合成一条队伍，借此大幅提升排队效率。

两种主要的排队方式，右边的方法排队效率更高。图片来源：guokr.com

继续以刚才的大毛、二毛、小明例子来说，假设他们还有一位表弟三毛，购买的商品结帐时间为20秒。假设大毛、小明和二毛、三毛分别排两条队伍，四人结帐所需的时间各自为大毛100秒、小明110秒、二毛50秒、三毛70秒，平均是82.5秒。但如果四人排成一条线，顺序是大毛、二毛、三毛、小明，则两个柜台各自结帐的顺序分别是（大毛），（二毛，三毛，小明）。大毛、二毛、三毛所需的时间不变，但小明却可以在三毛结帐后，不用继续站在大毛后面空等，直接去另一个柜台结帐，最终只需要80秒，省下了20秒（原本排两列的状况，很可能小明在等大毛时，旁边的柜台又有新的人排队，让小明无法换柜台）。换句话说，将多条排队的人潮合并化成一条，可以避免因为某一个结账时间特别久的人，而延长该队伍客人的整体结帐时间。
5 L2 ~# x/ M: ~2 Y, h; N3 C
+ y4 T% j( q1 |7 s0 q因此，如今在银行、邮局、飞机登机柜台、政府机关，都采用了搭配电子叫号的单条排队制度。不仅让客人在等候时可以坐在沙发上看报纸，还能大幅缩短平均排队时间。大卖场不这么做的原因，一部分是因为柜台拉得太长，要是最远的柜台空了，恐怕客人也不愿意推着推车走过去；另一个原因是，实际在现场时，客人会去观察每个柜台的排队人数，甚至根据队伍中每位客人篮子里的物品项目，估算每条队伍的排队时间，再选择一条自己认为最快的队伍。在这样智慧的选择下，多条排队的效果将会大幅提升。

活出另一个我