谁能教我宋健人口模型用MATLAB求解

文哥

宋健人口模型

一．      基本假设

宋健的人口模型基于以下三项基本假设：

1.    把研究的社会人口当作一个整体，当作一个系统考虑；

2.    所有表征和影响人口变化的因素都是整个社会人口平均意义下确定的；

3.    把时间的流逝、婴儿的出生、人口的死亡和居民的迁移看成是人口状态变化的全部因素。

二．      变量函数的定义

N（t）     t时刻该地区人口的总数

           人的最高寿命

F（r，t）    人口函数

r表示年龄，t表示时间

                  该函数表示在t时刻该地区一切年龄小于r的人数

                  显然有，当 时，F（ >F( )

      人口年龄分布密度函数

                  P（r，t）=   该函数表示在t时刻，年龄为r的人数

                 显然有：P（r，t） 0   P（ =0

                              F（r，t）=

M(r,t)           人口死亡分布函数

                     表示在t时刻该地区年龄为r的人的死亡数

      相对死亡率

                          

三．      模型的建立

t时刻年龄在[r,r+ 的人数为P（r,t）

过了 t时间后，死亡人数为

另一部分没有死，他们活到了t+ 时刻，此时他们的年龄处于区间

[r+ ,r+ + 显然有

即在t+ 时刻，年龄在[r+ ,r+ + 中的人口数为：

         P（r+ ，t+ ）

于是下式显然成立：

  P（r,t） -P(r+ ，t+ ) =

可写成：

  P(r+ ，t+ ) -P(r,t+ ) + P(r,t+ ) - P（r,t） =-

两边同除以 ：

+ =-

取极限：

-

初始条件：

P（r,0）= (r)               (r)为初始时刻的人口密度

边界条件：

P(0,t)= =u(t)N(t)              u(t)为相对出生率

综上便得到了人口模型的微分方程模型

当 （r,t）不依赖于t，仅依赖于r时，可解得：

P（r,t）=

四．      移民问题

m(r,t) 表示年龄在[r ,r+ ]中的人，在[t ,t+ ]得移入数，则：

+ =- + m(r,t)

五．      人口的平均寿命

假设在t时刻，出生了s个婴儿，我们来计算t时刻的人口寿命；

             死亡人数                                            年龄

              s                                                 0

       [s- s ]                                          1

[s- s -[s- s ]                        2

                                                                        

以年龄作为权值进行加权求和，便可得到人口的平均年龄D（t）

六．      老龄化问题

社会人口的平均年龄：A（t）=

定义老龄化指数：

七．      性别比例问题

两个事实：

1.    出生男婴的比例为51.5%，出生女婴的比例为48.5%

2.    男性的平均寿命<女性的平均寿命

所以平均下来，社会中男女的比例几乎为1:1

八．      生育模式问题

为了研究生育模式问题，我们来定义几个函数；

k(r,t)——女性在人口中所占的比例

b(r,t)——t时刻平均每个r岁的女性的生育数

[    ]——育龄区

那么在t时刻，出生的婴儿总数为：

f(t)=

令：b(r,t)=        ①

其中，            

那么将①式两边积分：

=

的意义：一个女性一生的生育数

h(r,t)的意义：一个女性在r岁时的生育概率

如果 ，h(r,t)都与时间无关，则：

f(t) =

再结合死亡率，便可算出人口的增长率

结合我国的情况，我们将人口的数量随生育模式变化的趋势做成下图，从而直观的反映生育模式对人口数量的影响：

九．      模型的检验

运用该模型对我国的人口进行预测，下图为预测结果和实际的对比：

十．      模型分析

该模型考虑了诸多因素，对人口模型进行了详尽的描述，因此对人口的预测也很精细，从上图看出，其对人口的统计与实际相比误差只有1%，鉴于人口普查的误差也在1%左右，因此，该模型是相当准确的。

阿远2014

怎么会没有人回答了