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[问题求助] 如何构建一个表面积无限而体积有限的模型？

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发表于 2015-6-23 10:54 |只看该作者 |倒序浏览

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如何构建一个表面积无限而体积有限的模型？

zan

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发表于 2015-6-23 11:02 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

我这里列举的是一个其他形式的。
Gabriel's Horn是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所产生的的旋转体。

使用高数中常见的旋转体体积与面积公式，可以得到：

so~~~~~~面积无限，体积有限。
这个图形经常被看做是一个悖论，从内部灌满只需要有限的油漆，而在外表面刷一层无论多薄的油漆层都需要无限多的油漆才能完成。

点评

大微微---0170 是旋转体表面积公式~~~~可以查查高数书。详情回复发表于 2015-6-23 11:24

收起(4)

别提最初 :数学渣能不能弱弱地问下面积的积分里的根号那部分是怎么来的…我以为A直接等于“≥”右边的式子呢…

2015-06-23 11:10 回复

大微微---0170 :是旋转体表面积公式~~~~可以查查高数书。

2015-06-23 11:27 回复

别提最初 :我是认为它直接等于右边的式子来着，就是对每圈周长积分，跟V的积分一样= =所以没明白那个根号的因子是什么意义…

2015-06-23 11:28 回复

大微微---0170 :。。。。。。

2015-06-23 11:29 回复

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发表于 2015-6-23 11:08 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

其实现在出现的两种思路一种是有限区域，无限细节。分形是良好的例子。不过只是特例。 @MathiQ galory 的答案说的很好，非绝对连续的连续函数就能胜任，不一定要分形（但是分形好描述啊~~~~不是学数学的谁知道绝对连续啊。。。）
另一种是无限区域利用面积和体积不同的收敛性~~~~~就像我这个答案啦~~~~~这种例子好举而且也很多，不过加百利号角比较有名，就直接拿上来啊~~~~~~~~~~~~

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发表于 2015-6-23 11:24 |只看该作者 |招呼Ta 关注Ta

ゞ_轻描丶幸福的发表于 2015-6-23 11:02
我这里列举的是一个其他形式的。
Gabriel's Horn是y=1/x在[1,+∞)上的图象沿x轴旋转一周所产生的的旋转体。 ...

是旋转体表面积公式~~~~可以查查高数书。

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我这里列举的是一个其他形式的。
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是旋转体表面积公式~~~~可以查查高数书。

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