积分变换—Fourier积分变换和逆Fourier积分变换

森之张卫东

积分变换

命令1  Fourier积分变换

函数  fourier

格式  F = fourier(f)   

说明  对符号单值函数f中的缺省变量x（由命令findsym确定）计算Fourier变换形式。

缺省的输出结果F是变量w的函数：

若f = f(w)，则fourier(f)返回变量为t的函数：F= F(t)。

F = fourier(f,v) 对符号单值函数f中的指定变量v计算Fourier变换形式：

F = fourier(f,u,v) 令符号函数f为变量u的函数，而F为变量v的函数：

例3-39

>>syms x w u v

>>f = sin(x)*exp(-x^2); F1 = fourier(f)

>>g = log(abs(w)); F2 = fourier(g)

>>h = x*exp(-abs(x)); F3 = fourier(h,u)

>>syms x real

>>k = cosh(-x^2*abs(v))*sinh(u)/v

>>F4 = fourier(k,v,u)

计算结果为：

F1 =

     -1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w-1)^2)+1/2*i*pi^(1/2)*exp(-1/4*(w+1)^2)

F2 =

     fourier(log(abs(w)),w,t)

F3 =

    -4*i/(1+u^2)^2*u

F4 =

     sinh(u)*(1/2*fourier(1/v*exp(x^2*abs(v)),v,u)-i*atan(u/x^2))

命令2  逆Fourier积分变换

函数  ifourier

格式  f = ifourier(F)  

说明  输出参量f = f(x)为缺省变量w的标量符号对象F的逆Fourier积分变换。

即：F = F(w) → f = f(x)。若F = F(x)，ifourier(F)返回变量t的函数：

即：F = F(x) → f = f(t)。逆Fourier积分变换定义为：

f = ifourier(F,u) 使函数f为变量u（u为标量符号对象）的函数：

f = ifourier(F,v,u) 使F为变量v的函数，f为变量u的函数：

例3-40

>>syms w v x t

>>syms a real

>>f = sqrt(exp(-w^2/(4*a^2)));

>>IF1 = ifourier(f)

>>g = exp(-abs(x));

>>IF2 = ifourier(g)

>>h = sinh(-abs(w)) – 1;

>>IF3 = simple(ifourier(h,t))

>>syms w real

>>k = exp(-w^2*abs(v))*sin(v)/v;

>>IF4 = ifourier(k,v,t)

计算结果为：

IF1 =

     ifourier(exp(-1/4*w^2/a^2)^(1/2),w,x)

IF2 =

     1/(1+t^2)/pi

IF3 =

    -1/2*(pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)+pi*ifourier(exp(abs(w)),w,t)*t^2-

…  1+2*pi*Dirac(t))/(1+t^2)/pi

IF4 =

     1/2*(atan((t+1)/w^2)-atan((t-1)/w^2))/pi