z-变换简介

森之张卫东

命令5  Riemann ζ-函数
函数  zeta
格式  Y = zeta(X)   %计算数值矩阵、或符号矩阵参量x中每一元素的ζ-函数值。ζ-函数定义为：
      Y = zeta(n, X)   %返回ζ(X)函数的n阶导数
例3-43
>>syms x y
>>Y1 = zeta(1.5)
>>Y2 = zeta(1.2:0.1:2.1)
>>Y3 = zeta([x 2;4 x+y])
>>DZ = diff(zeta(x),x,3)
计算结果为：
Y1 =
     2.6124
Y2 =
    Columns 1 through 7
      5.5916    3.9319    3.1055    2.6124    2.2858    2.0543    1.8822
    Columns 8 through 10
      1.7497    1.6449    1.5602
Y3 =
     [   zeta(x,2),   zeta(2,2)]
     [   zeta(4,2), zeta(x+y,2)]
DZ =
     zeta(3,x)
命令6  z-变换
函数  ztrans
格式  F = ztrans(f)   %对缺省自变量为n（就像由命令findsym确定的一样）的单值函数f计算z-变换。输出参量F为变量z的函数：f = f(n) → F = F(z)。函数f的z-变换定义为：
若函数f = f (z)，则ztrans(f)返回一变量为w的函数：f = f(z) → F = F(w)
      F = ztrans(f,w)  %用符号变量w代替缺省的z作为函数F的自变量

F = ztrans(f,k,w)  %对函数f中指定的符号变量k计算z-变换：
例3-44
>>syms a k w x n z
>>f1 = n^4;  
>>ZF1 = ztrans(f)
>>f2 = a^z;
>>ZF2 = ztrans(g)
>>f3 = sin(a*n);
>>ZF3 = ztrans(f,w)
>>f4 = exp(k*n^2)*cos(k*n);
>>ZF4 = ztrans(f,k,x)
计算结果为：
   ZF1 =
         z*(z^3+11*z^2+11*z+1)/(z-1)^5
   ZF2 =
         w/a/(w/a-1)
   ZF3 =
        -w*sin(a)/(-w^2+2*w*cos(a)-1)
   ZF5 =
        (x/exp(n^2)-cos(n))*x/exp(n^2)/(x^2/exp(n^2)^2-2*x/exp(n^2)*cos(n)+1)
命令7  逆z-变换
函数  iztrans
格式  f = iztrans(F)
说明  输出参量f = f(n)为有缺省变量z的单值符号函数F的逆z-变换。即：F = F(z) → f = f(n)。若F = F(n)，则iztrans(F)返回变量为k的函数f(k)。
即：F = F(n) → f = f(k)。逆z-变换定义为： ，n =1,2,3,…
其中R为一正实数，它使函数F(z)在圆域之外 |z|≥R是解析的。
f = iztrans(F,k)   使函数f为变量k（k为标量符号对象）的函数f(k)： ，k=1,2,3,…
f = iztrans(F,w,k)   使函数F为变量w的函数，f为变量k的函数： ，k=1,2,3,…
例3-45
>>syms a n k x z
>>f1= 2*z/(z^2+2)^2;
>>IZ1 = iztrans(f1)
>>f2 = n/(n+1);
>>IZ2 = iztrans(f2)
>>f3 = z/sqrt(z-a);
>>IZ3 = iztrans(f3,k)
>>f4 = exp(z)/(x^2-2*x*exp(z));
>>IZ4 = iztrans(f4,x,k)
计算结果为：
     IZ1 =
           -1/8*sum(1/_alpha*(1/_alpha)^n,_alpha
     IZ2 =
           (-1)^k
     IZ3 =
           iztrans(z/(z-a)^(1/2),z,k)
     IZ4 =
           1/4*(-charfcn[0](k)-2*charfcn[1](k)*exp(z)+2^k*exp(z)^k)/exp(z)