数学建模

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数学建模

数学建模的基本概念

目前,数学模型己经广泛应用于社会的各个领域,例如大型企业集团的技术人员研究用于生产过程自动控制的数学模型,经济学家经常研究一个国家宏观经济运行模型或某一经济行为的微观数学模型,在军事、生物、医药、环境和人口等领域,人们追求定量分析和优化决策,这都离不开数学模型。在本节中,首走介绍模型和数学模型的基本概念。模型是人们所研究客观事物相关属性的模拟。在日常生活和工作中,经常会遇到各式各样的模型。例如,飞机模型、火箭模型、坦克模型、水坝模型等各种实物模型,以及用文字、符号、图标、公式等描述的模型,如模拟的模型、数学模型等抽象模型。什么事数学模型数学模型的含义很广,提法也不一。一般来说,按照广义方程、函数方程、微分方程、差分方程、积分方程等以及由公式系列构成的算法系统等都被称为数学模型。按照狭义的解释,凡是将具体现象、事物的特征和性质给以数学表达的数学结构,如各种等式、不等式、图、表或框图等,也叫数学模型。在这篇文章里,数学模型作狭义的解释。即以解决某个现实问题为目的,从该问题中抽象、归纳出来的数学问题就称为数学模型。更简洁地,也可以认为数学模型就是用数学术语对现实问题的具体描述。从以上的定义可以看出,既然数学模型是为了解决现实问题而建立起来的,那么它必须能够反映现实,也就是能够反映现实的内在规律和数量关系。但是由于能用数学表示的事物是有限的,因此在许多情况下,与现象完全吻合的数学表示是不可能的。数学模型作为一种模型,必须对现象做出一些必要的简化和假设,首先要忽略现实问题中许多与数量无关的因素。其次还要忽略一些次要的数量因素,从而在本质上更能集中反映现实问题的数量规律。数学建模就是数学模型建立的过程。然而想建立这个过程并非易事,通常需要经过多次反复,即通过对现实问题的探求,经化简、抽象、建立初步的数学模型,再通过各种检验和评价,发现模型的不足之处,然后作出改进,得到新的模型。通常这样的过程需要反复多次才能得到理想的数学模型。由于建立数学模型可以使用所有的数学工具,现实问题又是多种多样的,所以造成数学模型的种类繁多,使用不同的分类标准可以获得不同的分类结果,按

照目前常用的分类标准数学模型可以分为如下几类

1、按变量性质

根据变量是确定的还是随机的可分为确定性模型和随机性变量模型根据变

量是连续还是离散的可分为连续模型和离散模型。

2、按时间关系

考虑模型是否随时间而变化可分为静态模型和动态模型。

3、按研究工具

可分为初等模型、几何模型、微分方程模型、运筹学模型、概率模型、统计

模型、图论与网络模型、层次分析模型、系统动力学模型、灰色系统模型等。

4、按研究对象

可分为经济模型、生态模型、人口模型、交通模型、战争模型、资源模型、环境模型等。

5、按建模目的

可分为分析模型、预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。

6、按内部结构

可分为白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。

白箱—把研究对象看作一只箱子,结构和机理都比较清楚。例如,己经建立的

力学模型、电学模型等。

灰箱—如果对所研究对象的内部结构和性能中,既有已知的又有未知的,非确

定的信息,就称其为灰箱,如经济、生态、气象、管理、社会、生命等系统中的

许多问题。

黑箱—对所研究对象的内部结构和性能的信息完全不知或知之甚少,就称其为

黑箱。

学建模的方法与步骤

数学模型就是针对或参照某种问题事件或系统的特征和数量相依关系,采用形式化语言,概括或近似地表达出来的一种数学结构。数学模型因问题不同而异,建立数学模型也没有固定的格式和标准,甚至对同一个问题,不同角度,不同要求出发,可以建立起不同的数学模型,因此,与其说数学建模是一门技术,不如说是一门艺术。它需要熟练地数学技巧,丰富的想象力和敏锐的洞察力,需要大量阅读,思考别人做的模型,尤其要自己动手,亲身体验。数学建模注重的是建模的方法和过程,一般的建模方法和步骤如下

模型准备

如果想对某个实际问题进行数学建模,通常要先了解该问题的实际背景和建

模目的,尽量弄清楚要建模的问题属于哪类学科,然后通过互联网或图书馆查找,

搜集与建模要求相关的资料和信息,对该问题进行全面的,深入细致的调查和研

究。

模型假设

一个实际问题往往会涉及很多因素,如果把涉及的所有因素都考虑到,既不

可能也没必要,而且还会使问题复杂化导致建模失败。要想把实际问题变为数学

问题,需要抓住主要因素,暂不考虑或忽略次要因素,对其进行必要的、合理的

简化和假设。一般的,所得建模的结果依赖于对应模型的假设,模型假设到何种

程度取决于经验和具体问题。在整个建模过程中,模型假设可以通过模型的不断

修改得到逐步完善。

模型建立

有了模型假设,就可以选择适当的数学工具并根据已有的知识和搜集的信息

来描述变量之间的关系或其他数学结构。在建模时有几点是需要注意的：

1、分清变量类型,恰当使用数学工具

如果实际问题中的变量时确定性变量,建模时数学工具多用微积分、微分方程、线性规划、非线性规划、图论与网络、投入产出、插值与拟合等。如果是随机变量,建模时数学工具多用概率、统计、随机性存贮论、排队论、对策论、决策论、随机微分方程等。由于数学分支很多,又加之互相交叉渗透,派生出许多分支。建模时具体用什么分支好,一是因问题而异,,二是因人而异,应看自己对哪门学科比较熟悉精通,尽量发挥自己的特长。

2、抓住问题的本质,简化变量之间的关系

模型尽可能简单、明了、思路清晰,能不采用尽量不用高深的数学知识,不

要追求模型技术的完美,要侧重于实际应用。

3、建模要有严密的推理

在己定的假设下,建模过程中推理一定要严密,以保证模型的正确性,否则

会造成模型错误,前功尽弃。

建模要有足够的精确度

所建的模型应能够满足实际问题对精度的具体要求

模型检验

在求得模型的解之后,需要对模型进行分析和检验。模型分析主要包括误差

分析、模型对数据的稳定性分析和灵敏度分析等。模型检验是将所得结果的理论

数值与实际数值相比较,如果两者相符,则说明所建模型是成功的否则需要对

所建模型进行修改。因为所建模型是在一定假设条件下所得的,理想化的产物,

可能与实际问题有较大出入,这时需要反过来仔细检查简化与假设是否合理。如

果不合理则进行修改同时根据新的简化与假设建立数学模型。这个过程需要反复

循环进行,直到满足要求为止。

模型应用

利用建模中获得的正确模型对研究的实际问题给出预报或对类似实际问题

进行分析、解释和预报供决策者参考,这一过程称为模型应用。一般来说,建模

是预测的基础,而预测又是决策与控制的前提。

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