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常微分方程建模

在数学建模的过程中,数学模型的建立尤为重要,只有建立了模型,才能进行其他工作。常微分方程作为数学科学的中心学科,已经有三百多年的发展历史,其解法和理论己日臻完善,可以为分析和求得方程的解或数值解提供足够的方法,使得常微分方程模型具有极大地普遍性、有效性和非常丰富的数学内涵。在这一章中我们将先介绍常微分方程建模的概念,然后列举几类常微分方程在数学建模中的应用,从中我们可以感受到常微分方程理论和方法解决实际问题的魅力。

常微分方程建模概述及建模方法:

常微分方程建模概述

对于现实世界的变化,人们关注的往往是其变化速度、加速度、以及所处位置随时间的发展规律,其规律一般可以用常微分方程或方程组表示,微分方程中的等式关系是微观的,瞬时的关系。微分方程建模适用的领域比较广,利用它可建立纯数学模型、一环境模型、物理学模型、航空航天模型、生态模型、资源利用模型、生物学模型、医学模型、经济模型、战争模型等。其中的连续模型适用于常微分方程和偏微分方程建模,离散模型适用于差分方程建模。

常微分方程建模的主要几种方法:

我们在研究较复杂事物的变化过程中,往往不能直接得出变量之间的函数关系,但是可以找到问题中的一些变量及其导数之间的关系,从而建立方程。凡是包含未知函数的导数及其自变量的方程,即微分方程,其中自变量只有一个的微分方程称为常微分方程。通过求解得到未知函数的解析式,最后利用求解的结果,或者通过对常微分方程渐近性态的研究,来了解事物的发展变化情况。其中列常微分方程常见的有这几种方法:

1、根据实际问题本身给出的或隐含的条件建立常微分方程模型

这就需要我们仔细分析问题,寻找其中给出或隐含的等量关系,建立常微分方程模型。例如在气象学、天文学实际问题中。,我们常会遇到等角轨线,所谓等角轨线就是和己知曲线或曲线族相交成给定角度的一条曲线。即等角轨线的切线与曲线或曲线族的切线相交成给定的角度。利用这样的一个条件就可以列出一常微分方程。再利用问题中隐含的等角轨线与相交,即相交处的函数值相等的条件,可以建立一个关于等角轨线的柯西问题。

2、运用已知的基本定律或基本公式建立常微分方程模型

此法主要利用各学科中己知的定理或定律来建立的如力学中的牛顿第二运动定律,万有引力定律,傅里叶传热定律,弹性形变中的虎克定律,流体力学中的托里拆里定律,阿基米德原理,电学中的基尔霍夫定律,放射性问题中的衰变率,生物学、经济学、人口问题中的增长率等。

3、利用导数的定义建立微分方程模型

在微积分中导数是一个重要概念,其定义为

如果函数是可微的，那么就可以解释为相对于在该点的瞬时变化率。把导数解释为瞬时变化率在很多建模应用问题中都有用。如在生物学以及人口问题研究中出现的“速率”、“增长”在放射问题中出现的“衰变”,在经济学中出现的“边际的”等,这些词的出现就是一个信号,这个时候要注意哪些研究对象在变化,这些变化规律也许可以用在微分方程的表示尚。例如在考古学中,经常需要测定某种文物的绝对年龄,这时我们可以考察其中的放射性物质,由裂变规律放射性物质已的裂变速度与其存余量成正比。我们假设时刻时该放射性物质的存余量是的函数,则我们可以建立常微分方程模型

" k+ M% g2 P1 _8 D6 n! U

其中k>0是衰变系数,与放射性物质本身有关。求解该模型,我们解得

: ,其中是待定系数,它可以由初始条件确定。这样我们就可以测定这种文物的绝对年龄。