数模方法

风靡全球

一阶非线性常微分方程模型

最速降线

问题提出:

意大利科学家伽利略在年提出一个分析学的基本问题—“一个质点

在重力作用下,从一个给定点到不在它垂直下方的另一点,如果不计摩擦力,问沿着什么曲线滑下所需时间最短。”。他说这曲线是圆,可是这是一个错误的答案。瑞士数学家约翰伯努利在年再提出这个最速降线的问题,征求解答。次年己有多位数学家得到正确答案,其中包括牛

顿、莱布尼兹、洛必达和伯努利家族的成员。这问题的正确答案是连接两个点上凹的唯一一段旋轮线旋轮线与年荷兰科学家惠更斯讨论的摆线相同。因为钟表摆锤作一次完全摆动所用的时间相等,所以摆线旋轮线又称等时曲线。现在我们就来建立最速降线的数学模型。

为使问题简化我们提出这样的问题一枚小球沿着某一轨道从点滑到点,问这个轨道应取什么形状,才能使滑行时间最短?

模型假设:

1、假设该小球很小可以看做一质点,质量为m,重力加速度为g;

2、假设小球在下滑的过程中不计空气对它的阻力,不计轨道的摩擦力

3、假设小球的初速度为0, 即file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image002.gif;

4、假设小球沿着file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image004.gif这条曲线下滑时用时最少;

模型建立:

根据能量守恒定理,质点在一高度处的动能等于势能,则

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif

则在file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif,的速度可以由势能决定,

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image010.gif

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image012.gif

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image014.gif

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image016.gif

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image018.gif

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image020.gif

将以上几个式子结合起来就可以得到:

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image022.gif

记file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image024.gif则

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image026.gif

这样最速降线的微分方程模型为

file:///C:/Users/lenovo/AppData/Local/Temp/msohtml1/01/clip_image028.gif

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