关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）

9 G" X& l- ~, _' V; X+ S- N! ^
1 J% M9 |4 y; k3 m0 f3 X内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
6 b: Z1 X% K" @" t. p/ z关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
! X( j" b& `6 S+ J+ j, z1 e
一、“142857”的神奇性质
现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
) ^! U, f) P( ?2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
142857×2=285714        142857×23=3285711       
: B5 V' E+ B5 Z) |! k) V142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
: C+ V& n' B0 q$ e/ V/ E142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
# ?1 G3 R& A, o4 m! m1 T1428573=2915443148696793.
% D& I  P/ B1 ?  p, _0 f" i6 q* C9 X        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
1 z1 ]; w; f, o9 _=3142854=22×142857
+ I4 A6 E% J6 T5 g5 f142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
& P, g+ K7 z$ s% a  }  g
7 ~7 R  s1 `9 Y( W) q4 ? 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
8 Q7 v  G/ Z' V! H& ? 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
" s) O# x/ J0 R142857=15873×9，
1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
) z* }2 S4 [3 x! H  D6 q5 }: E27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
7 [! _0 \2 t% I7 k) f/ K5 w% @7 Z这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
5 H5 ]( @7 s1 l, Z以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
( b( }6 Z& l3 u8 N: n6 Z为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
4 K5 z/ k2 L7 v7 `. D2 ^n=(10b-7a)，
& Q2 c' w% a  C: P) O* kn=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
8 i% A5 B+ B  }. m由此得到142857的简单整数倍的计算式
$ C9 L: i# U4 T6 q, n+ O8 |5 Y+ J nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
, n, R. n9 O/ e  i( m" G3 K式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
! G* M! [$ c  |1 ~5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
( u( D4 C+ e% h7 i0 Q在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
% O/ s: q" Q/ K+ Q; ^9 ^: }6 j9 S% l4 o由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
# U& Q- z8 x/ H! Z; Q% B& F/ V待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
" k# c0 T3 }: XA=m×106+nA-m                          ( 2 )
  N5 `. L: ^. J, ~6 _2 M1 P' z因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
- c6 U, y& X' w4 W% V: Q 比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
- K4 M# ]3 `( Q  N4 i13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
（二）142857的n次幂的计算
- T' `$ H- s9 P* ~- k) w( ~结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
# u: l/ u1 [/ `, q" y; f. I8 Y现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
0 f6 ?* t3 P" s  n这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
! A* I) i, }# r+ j: _& K运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
* L8 B' ]9 H- I" i+ DA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
, Y+ R, E, ]3 R+ s: ~6 P' t9 E9 sA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
" O! l2 J4 y& Z, C% K3 V- |试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
8 W) |" W) E2 M2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
0 X$ B! V2 x0 L# HA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
- ^& Q! z( Y& P1 |9 e6 O& |  mA1 =142857，                   A1 =142857= A
A2 =20408122449，                               A2=142857= A
5 U' b2 [4 M, M7 A+ t2 C7 S  ]9 pA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
7 o4 A5 E/ B" N6 p1 I3 DA4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
' `# q9 b. x) o- m, B4 TA7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
3 n- L' s+ ^8 c* mA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
6 L0 f. n% H1 W6 e, rA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
+ M- Z( `% }/ W1 e: j2 P显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
( L6 j- X, P1 a( M) M& z0 e已知：
" X* I3 z/ u# R6 k/ dA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
" ]0 X; a7 ]! ~# t# b. _) W9 I证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
+ p$ n5 N9 O" ^( {/ l  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
8 W1 R8 k% \( R& x/ ~又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
1 L4 a* S5 i; K! N$ F! {a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
1 M- c% H8 y( Y8 `6 R       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
& u( H0 |) [' u  T4 Z=7A(P-Q)+A
- ~. Q. T3 e6 s! g" c7 z. m= (7R+1)A.                                                
  X2 C' x7 X) G% r( {+ r/ @4 s以上P,Q,R 均为自然数。
  [2 N: y+ v& W* n! I8 e对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

参考文献：
' w0 v6 l+ I6 m1 D+ m; [- r[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.