关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
' Y& q) T$ Y; j) r; b钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）

# Y+ @/ J' ?: {% x& @& o4 E3 M8 a" g
* G! K* I% `+ `" g- b2 l内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和
" Q0 V1 L% \* k: q1 x) ]
一、“142857”的神奇性质
6 O( i& e- ^0 n现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
5 ~4 L1 M9 P' o" e9 L表1. 神奇数字142857的性质列表
5 O8 J/ f0 ~# F5 Z142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
+ w6 W% \  l* P  X) k2+7=9
14+28+57=99
& s) [' K& J. C142+857=999
" T) c- N0 l* G' U142857×2=285714        142857×23=3285711       
142857×3=428571        142857×31=4428567       
/ {; {0 W/ x: s( |142857×4=571428        142857×39=5571423       
# i" @3 j- R  [* I0 d5 K# h" n2 h$ k142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
2 m) M- y1 B4 O! J5 z6 k( u142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
) j% |! C" N$ e- U! I1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
6 x1 F+ s7 g3 p* s$ ~2 T        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
* x5 G3 R3 d) Z173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
! J/ C) |- n6 @% ^. X& `" l0 c=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857
. ~' V" W6 a8 G4 m: i
! }" `! R3 S3 V& ? 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
" Q% {0 d# h. v, a! A142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
$ b7 n( k. }, P( u' E  c( R0 C142857=15873×9，
  b, `5 p3 L  W, z% B  h/ _1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
- m- M2 V: {# x- k& M二、神奇数字142857的计算规律
6 i0 ]; e* y+ ^& z7 e9 U9 i( j以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
: b0 i: e9 z0 N9 B" C解此不定方程，得到
# y; ?9 C! M9 D1 z. H                  表2 不定方程的解
6 @1 y6 {6 M$ ~' Cn        1        2        3        4        5        6
3 R. a& x0 \6 E) x4 K7 j/ a& |a        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
由此得到142857的简单整数倍的计算式
- }: ?7 {8 s# V. _9 q( F0 Z nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
. `9 [! H# k/ Z2 _+ u, K; ?6 u式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
* `* }2 L; K( x在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
# k% ]5 Z+ U0 T/ T101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
* ]5 i& j! B( I* E4 Y0 |$ |# _待定系数也一目了然了。
; a& Q4 [; T5 p6 j  L0 l0 B当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
! D1 }9 ^5 G% ^2 sA=m×106+nA-m                          ( 2 )
因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
) y& C  _% d, F- w（二）142857的n次幂的计算
0 L! j9 l4 i+ [8 G3 k1 H结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
3 f; g. v8 C# L: k& D" b  ^由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
; g$ e0 P; G+ E) {% A! t! ]9 C由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
' [! T! e$ K; a* `最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
6 s( ?3 r$ G( p- y# s- h现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
9 b* ~! O" H; w6 S" m/ U; T1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
9 Y0 E5 i( J" Y运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
5 `) |/ z% D- J$ S1 p  R, ~) @, BA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
& b! M; x/ l6 |9 g% _, J: ZA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
" k' v. C3 K1 U+ p1 z试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
6 E& k  ^/ u/ R: I% b! t$ m（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
& V& h0 {$ K; EA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
& }8 J2 H4 E" e' Z8 F, |A1 =142857，                   A1 =142857= A
! h' F4 c$ p" Q- VA2 =20408122449，                               A2=142857= A
A3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
5 w  z, Y1 h9 d" E- n9 N9 j; b1 ]A5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
4 n: g# x& ]9 S. v& q% j已知：
$ h. E" I) I$ f" G1 tA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
+ N$ O# g0 e# d/ J- G' A" }  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
* ^; X4 y9 ~7 h0 Za+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
  m. w9 o4 R) s* D, S8 ?/ q, D# C) O以上P,Q,R 均为自然数。
对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
$ }$ i0 }. l: D- @: g# Q三 、总结
+ T) t8 o: E8 r/ |' g9 P) @! m以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
' ~8 M: {3 C% X. y
/ p, z. j3 B# W% h  C* }参考文献：
; ^$ f4 P6 P& z; i; X( c! |[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

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