关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
1 J8 _6 H' h! ?* M# e  Q7 q钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）

+ \) N" F7 H; \$ ~
+ d" [5 f( `% H0 D2 z! o$ Q- f内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

一、“142857”的神奇性质
4 q3 o( {) n( S' r0 v/ B' q现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
表1. 神奇数字142857的性质列表
142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
14+28+57=99
142+857=999
1 I/ m4 v$ |. c5 x142857×2=285714        142857×23=3285711       
" ]4 M( r: t; q. N. S142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
$ Y9 v% k( F; [142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
+ L+ p+ m4 G/ j3 }1 J5 B' z# L142857×7=999999        142857×63=8999991       
1428573=2915443148696793.
1 f: f9 F9 W7 K6 B- R) {        2915+443148+696793=1142856=8×142857
2 Q8 \5 U- ?) u* z1428574=416401461893377757601
/ A% d5 C/ ], N        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
; N4 W4 O% V" h. [2 L2 V& P, o" r1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
0 i1 \# J8 D' Y. D( |4 {  F) U173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

( n. M  _& B3 m8 O* ? 这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
9 R$ I3 G- W; Y" s" r- E# P! s9 m 1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
$ d" j" c# [7 b3 ]142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
5 j( e' x2 d/ [' {! l0 w142857=15873×9，
3 {! N% M/ @6 K1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
* b' N5 ~- j! P; z. p27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
/ B5 v* u* B$ _* T5 y) }7 J二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
6 e. J( T; X/ o' U4 I( r（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
( p6 w/ o! }" `为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
n=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
解此不定方程，得到
3 Z2 \+ Q& L* }' l9 F2 Y) g                  表2 不定方程的解
n        1        2        3        4        5        6
4 o' A' v$ [( ]" t5 Aa        142857        14        1        1428        14285        142
b        6        2        1        4        5        3
! i: A5 ?1 g( ^7 }, d' B1 M由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
1 \: h$ Q; H7 ^9 o" p( B( Y在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
' L: K5 `" `+ Z  C7 C4 m9 o2 _6 z其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
n=(10b-7a)，
待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
( w$ Y. Y* F& v$ N. N* G$ \因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
& D! B! c' _& a* B/ c: k. ~  |  T0 d 比如,求 13 A =？
* ~" W* `- H6 S+ O   m=1，n=6，
* ]5 g: {1 w0 ~, u1 B. U6 X13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
5 I* L4 K$ I9 ~. C（二）142857的n次幂的计算
结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
' L9 G  z( \" N, u由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
1 r8 A2 X2 l' g' [由此
(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
- p3 e) b5 z, z/ M3 u1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
9 H& d5 @' D/ [% ]" D, R 142857=20408+122449.
* j# _- j; k* W0 S这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
) ^  H# v/ `- T; ~4 c, s9 e* P9 z# D运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
4 ]2 M; e" G0 f& O- \* P( n/ W8 v4 HA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
/ `. v& [% ~# V/ }! hA4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
: }" c& `8 r4 }7 S6 S（三）142857的n次幂An的“众数和”
$ B0 E  q* t! n1 i0 \; o1 D在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
; W8 i) i& g( K; U( YA3=2915443148696793，                           
A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
" e; O9 e$ R% l3 DA1 =142857，                   A1 =142857= A
; R+ N  D' V& d# \8 R# k( PA2 =20408122449，                               A2=142857= A
) L1 U; t. d' W( [& lA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
& R+ c1 D% I' t( w0 u5 T9 ~A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
. Q) @0 O$ p/ Z8 F9 yA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
( Z$ r  V, }0 Z, X3 N, QA6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
0 u" b( M+ t  xA8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
' k9 r. e- u" `' BA9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
1 }1 P! f" l( F7 ]! F- j  S已知：
( k  n' I( W& G9 x; o+ IA3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
6 ]( U4 \/ i; B* y- e. \3 c+ b5 xA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
5 ?- o: Y( \) t; U证明：
! c, M  M+ }6 T) M: v4 uA3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  @, O. G9 J" `7 S5 W  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
2 @' T5 d6 p4 ~0 F9 R6 ?  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
* c; x2 r8 R) v! _6 [* a  v) \       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
以上P,Q,R 均为自然数。
( C- L8 m- }3 i- V* B8 j% N对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
' ^( C* B- @' \. z, x5 P三 、总结
. P6 A8 Y1 ?- @. u0 \/ [9 Z以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。
1 _  G" H* Y# f% B) D; {
参考文献：
[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.
& x! r; p! f+ j6 a4 e