关于神奇数字142857新的发现，不知发在这里是否合适，请大家拍砖

qianzc2015

神奇数字“142857”新的发现与解读
钱忠淳 新疆富蕴县前可可托海一中（836300）
0 Y2 N& E- i+ o+ y
' z+ \5 A* @. p
; a7 z* a, s8 ?# K# u内容提要：多年来在国内外互联网上流传着一个“世界最神奇数字”142857，引起了各国青少年网民的浓厚兴趣。围绕这个神奇数字，人们津津乐道，网民跟帖连篇，惊奇赞叹不已。2012年底，有人提出计算公式，对它的神奇性质进行论证，才撩开了它的神奇面纱。。近两年来在神奇数字142857的乘方运算以及它的n次幂众数和的规律方面，又有了新的探索和发现。
, x6 n) [% S8 d3 S5 M. V+ a/ R+ V关键词：神奇数字142857  142857的乘方 众数和

一、“142857”的神奇性质
$ r  {& R( V' a$ ~0 q5 b" J, c现将142857这个数字 的神奇性质列表如下：
3 X) l0 @" o9 h7 m/ t7 z. T表1. 神奇数字142857的性质列表
8 [: a+ X7 R/ y5 f/ c142857×1=142857        142857×15=2142855        1+4+2+8+5+7=27
2+7=9
. c+ a4 F! s, y- _9 K* Q$ U: [14+28+57=99
$ y# T8 ]3 r: }0 X* y142+857=999
; V0 S4 ^9 ]3 m% _/ m. A142857×2=285714        142857×23=3285711       
6 J; M+ l/ G) m4 d7 Y142857×3=428571        142857×31=4428567       
142857×4=571428        142857×39=5571423       
5 K. [! P6 |% G% j  K142857×5=714285        142857×47=6714279        1428572=20408122449
; n2 S, w, X5 L1 d! u% S142857×6=857142        142857×55=7857135        20408+122449
=142857
142857×7=999999        142857×63=8999991       
1 c! |' F1 C! i( a4 Q" \- e* E1428573=2915443148696793.
        2915+443148+696793=1142856=8×142857
1428574=416401461893377757601
; s9 c% P% p  ]7 F: V        416+401461+893377+757601=2142855=15×142857
. M) |: }$ d# @' c) C1428578=173465137830082936774412507899619681846631.
" e( p, ?4 }" D; S  J% U, T, y173465+137830+082936+774412++507899+619681+846631
=3142854=22×142857
' ^: m* w* Z# d# T+ B4 a142857n+1=(142857n-1)/7(106-1)+142857

这个数字应该是在计算“7”的倒数时受到启发而提出的：
1/7=0.1428571…，142857==999999/7 = (106-1)/7
2 L9 H+ L5 s( p8 A% t142857这个数能被"9"整除（142857=15873×9），因此，它的各位数字之和应等于9：
142857=15873×9，
* o. O: h, @3 ]3 J9 ~2 j* F- w, C$ W1×(105-1)+1+4×(104-1)+4+2(103-1)+2+8(102-1)+8+5(10-1)+5+7=15873×9.
令1×(105-1)+4×(104-1)+2(103-1)+8(102-1)+5(10-1)=9R, 1+4+2+8+5+7=9(15873-R)=9S.
! K, Q2 {0 m% b27=9S, 2× (10-1) +2+7=9S.  2+7=9.  (R, S 皆为自然数)
! _! p" c+ |* N0 ~4 z这表明，重复进行以上运算，最终将得到“9”。由此可见，将六位数142857 拆分为6个个位数相加，或3个二位数相加，或2个三位数相加，最终将得到“9”。
二、神奇数字142857的计算规律
以下就神奇数字142857的整数倍计算，它的n次幂计算以及n次幂“众数和”的规律，分别予以讨论。
（一）142857的简单整数倍（n<7）计算
为计算n×142857，笔者曾提出过表达系数n的不定方程[ ]
) y! V3 \* M" B  sn=(10b-7a)，
n=1, 2, 3, 4, 5, 6.    a,b  为待定系数
; v6 a9 Y' E. q/ G解此不定方程，得到
% T/ p& `7 G6 R& _& Q                  表2 不定方程的解
- J& h0 g9 ^' `9 D( ]. wn        1        2        3        4        5        6
a        142857        14        1        1428        14285        142
  z/ n& B, c  p' r3 p' @8 A0 gb        6        2        1        4        5        3
& ^+ O: }& Y3 E# S% b4 B+ u  v由此得到142857的简单整数倍的计算式
nA=(10b-7a)A=10bA-106a+a（令 А =142857= (106-1)/7）    (1)
式 (1) 明确直观地表明了神奇数字142857简单整数倍(n<7)的变化规律，即 nA仍由这六个数字所组成，只是排列顺序发生了有规律的变化。以5 A为例：
5A=105A-14285×106+14285=14285700000-14285000000+14285=714285
在式 (1)中，等号后前面两项相减的结果是在“142857”中位于“7”（即5 A的首位数字）前的14285的消失，而加上第三项“+a”,14285 又出现了。
0 {, _2 ~* t" V' A- W1 @9 O由上表可知，在以上142857的简单整数倍的计算过程中，消失而后复出的，总是在“142857”中该 nA首位数之前的数a，这个“ nA首位数”就是乘积1.4 n（取整数，1.4为142857的前两位）。如 n=2，3,4,5,6时， nA的首位数分别为2,4,5,7,8，在“142857”中它们前面的数a则分别为14,1,1428,14285,142. b表示a的位数。
其实不用专门设立和求解不定方程（1），只要细心分析求“7”的倒数的运算过程，就能一目了然。求出1,4,2,8,5,7这六个数字经历了六步，即
101-7×1=3，102-7×14=2，103-7×142=6，104-7×1428=4，105-7×14285=5，106-7×142857=1。
归纳这六步就能得到表达这些简单整数的不定方程：
2 W5 z3 u( d( x4 Zn=(10b-7a)，
/ r) R* ]6 R" E1 S. `待定系数也一目了然了。
当计算142857的任意正整数倍（7m+n）A时，式（1）可变化为
A=m×106+nA-m                          ( 2 )
& Z, |7 Z/ j" b因为 (7 m+n) A =7m A+ n A=7m (106-1)/7+ n A
比如,求 13 A =？
   m=1，n=6，
* T  Q' Z, u) v' Q2 U. H' i13 A=（7+6 ) A=7 A+6 A= 1 × (106-1) +857142=1857141.  (6 A=857142).
/ O5 T; N& |* w2 `$ A# ?" C% l（二）142857的n次幂的计算
3 b4 Z- t, P& c# J& [4 s0 M: k结合二项式定理，将式（2）用于142857的n次幂的计算，可使运算过程更为简便。
5 k8 F' l2 }/ O4 f由于 A=7m+1.(m=20408), 在(7m+1)n 的展开式中，末项为1，其余各项均含有7m的因子，
由此
' ~2 O, E$ g) d) ~(7m+1)n= (7p+1)，7p=An-1，    An+1=An × A=(7p+1) (106-1)/7,
0 |. T$ v' |+ M( ^最终得到
An+1=（An-1）/7(106-1)+A                    （3）
现运用式（3）计算1428572，研究A2与 A之间的关系：
1428572=（A-1）/7 (106-1) +A =20408 ×106+142857-20408=20408122449,
142857=20408+122449.
这就是将1428572（20408122449）拆分为20408和122449，这两数之和正好等于142857的奥秘所在。
运用式（3）依次计算142857的高次幂，优越性尤为明显，如
+ v! ?* n/ p, c: D5 {) AA3=（A2-1）/7 (106-1) +A =2915443148696793
% `9 t  T9 I: W! _A4=（A3-1）/7 (106-1) +A  =416491461893377757601.
试想，如果已知A3=2915443148696793，要用常规方法计算：
( D; \% J) q- T; M2 [# X2915443148696793×142857=？
被乘数与乘数分别为16位数和6位数，需通过多少次的乘法运算，又需通过多少次的加法运算！
3 @& V: h: E2 Y  d1 m（三）142857的n次幂An的“众数和”
在142857的n次幂An的运算中，142857是个六位数的底数，将An数值的多位数划分为若干个六位数（最后一个可能不够六位），再将这些六位数相加，就得到它的“众数和”（用A1，A2，A3……表示）。例如：
A3=2915443148696793，                           
1 y$ Q; E, ~1 \+ `0 c  q A3=2915+443148+696793=1142856=8 A
' Q$ h* ?* W9 O/ F3 Q% N- o7 k现将142857的9次幂以内的数值及其众数和计算结果列举如下：
$ }3 k) H6 `2 F6 ~2 d7 pA1 =142857，                   A1 =142857= A
8 a! ^2 N3 ^0 P) ~A2 =20408122449，                               A2=142857= A
/ \; {( O1 Z: ]# NA3=2915443148696793，                           A3=1142856=8 A
A4=416491461893377757601.                        A4=2142855=15 A
# k# d! {- {1 c8 h& k3 `$ Y8 G; CA5=59498720771702266317606057，                  A5=2142855=15 A
A6=8499808753283070659334248484849，             A6=2142855=15 A
A7=1214257179067759625180512735810073583，            A7=2142855=15 A
A8=173465137830082936774412507899619681846631，      A8=3142854=22A
8 Z- P; h& _# J' j( @A9=24780709194992158098782247641015968889564164767，    A9=3142854=22 A
显然，构成An 众数和的规律是An=(7R+1)A.                  （4）
/ O) I8 h. b# t, h# `$ }而数字142857的n次幂An则构成等比数列。
现以A3为例，验证如下：
已知：
A3=2915443148696793（令a=2915，b=443148，c=696793）
1 E3 ^" a7 e! O4 ^8 {' OA3=2915+443148+696793=1142856=8 A
; d( s# k9 {5 q* G证明：
A3= a×1012 +b×106+c
  = a×（106-1+1）2+b×（106-1+1）+c
  = a×（106-1）2+2 a（106-1）+a +b×(106-1）+b +c
2 y2 h! l" Q8 h" z! ^4 N  = a×（7A）2+2 a（7A）+a +b×(7A）+b +c.
7 ]+ e7 D8 R$ U, f7 E, J# K$ H! @又： A3=7A×(A2-1)/7+A. 因此，
a+b+c= A3-[ a×(7A）2+2 a（7A） +b×(7A)]
  |, R* E4 I1 P, Z       =7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A
=7A(P-Q)+A
= (7R+1)A.                                                
1 i, W$ M$ D0 y以上P,Q,R 均为自然数。
2 e% y9 b4 a) F. V对A3
a+b+c=7 A[(A2-1)/7- a×(7A)-2a-b]+A =7A(P-Q)+A =7A(2915446064-2915446063)+A=8 A.
三 、总结
以上就是对神奇数字142857各种奥秘的发现和解读。

# D2 i& {2 `- \4 N! B6 r8 Y7 o# ~参考文献：
( O2 x; g; Y. ^" l) w# |( A9 G0 z/ V[1] 钱忠淳,“Раскрытие секретов магического числа 142857”(破解神奇数字 142857)[J]，俄罗斯《МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ》（中学数学），2012，（10）.

) P5 s8 y; }( m5 R7 Z