QQ登录

只需要一步,快速开始

 注册地址  找回密码
查看: 5049|回复: 1
打印 上一主题 下一主题

[个人总经验] 人口预测

[复制链接]
字体大小: 正常 放大
longde        

30

主题

8

听众

106

积分

  • TA的每日心情
    奋斗
    2014-12-7 07:58
  • 签到天数: 22 天

    [LV.4]偶尔看看III

    宣传员

    群组2014年网络挑战赛交流

    群组国赛讨论

    群组2014美赛讨论

    群组第三届数模基础实训

    跳转到指定楼层
    1#
    发表于 2015-8-17 22:44 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    人口预测
    1 i8 N& \% ^4 v9 J4 |+ V1.问题
    6 U# w  }: e9 ~. r1 k人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口.
    5 R* L) A" \  g) W+ v  q, O表1  美国人口统计数据
    5 J% V4 \# O! s, q  D/ h年(公元)' @+ L& z* w$ J) \
    5 b; z3 o, V% x4 y
    人口(百万)        1790" {5 V0 F8 Z6 T) g
    1 k5 r- j6 T2 W
    3.9        1800
    * j2 s  d+ Y0 ?1 t, e/ w* [6 H5 b3 D, i0 P& G: _2 z- _8 n( y. q
    5.3        1810
    - |" m2 W* D* Z" t# @
    0 p' d. e: c! t( f7 x* R) U7.2        18200 k; a$ _7 q6 l1 j' A4 D8 f8 @
    ) Y' d4 a7 L" e, W! r0 g
    9.6        1830
    # N  |" {- \* y/ Y+ s) q4 Q3 ^
    ; {) N1 w7 z: g0 L! J' t12.9        1840
    4 n- {6 R: q7 @$ _" p7 ]! Y- k: ?& F# e& H! w
    17.1        1850
    7 H$ a) o! q8 E% \" L
    6 z6 R* ?7 _7 r1 n; T23.2
    ) k3 M' U6 h) C5 G年(公元)
    + q; f4 X/ [) Q1 h* s) c! ^' q2 H) D% F0 ]6 c: [
    人口(百万)        1860! L, o: |+ R4 c/ p, _
    , R4 m( e( d1 u7 A* o% X, ]  A+ {
    31.4        1870! D5 s3 }7 R. g. A( F
    2 Z' i" a/ o2 w" M, M' c* Q
    38.6        1880; `9 `' k' t9 |# i6 P

    0 i7 h% X8 ~8 k' b, y50.2        1890: I3 ]1 U! q. z  d
    % A$ b8 q8 P! H$ m" @
    62.9        1900
    % X4 l) m) y) C; h2 Q4 D2 ?
    5 w3 m0 F4 ]' v76.0        1910  K* M# k! H3 u! f; D9 }
    9 C* {" {3 S. A$ s2 S: T9 ?7 R, D
    92.0        19201 m6 u3 x3 L8 F+ ?' h% x3 m5 I, g/ ~
    4 r! ~9 a: z' C2 p6 w. o; F% l
    106.5
    $ w5 J* f! t( `8 i  c  m年(公元)
    0 W2 M- T$ F4 l: |* l0 A2 b' k& F1 _
    ' x! `/ P% K* `人口(百万)        1930. G/ k. m) U( q9 {! g0 T/ R5 R7 E( z
    ' w/ f: a& ?5 l: z) Y; @, o" `
    123.2        1940
      B2 D  c9 R! t8 z* r! ^3 U& C  r+ `9 [8 W% L
    131.7        1950, u! r2 F# ~5 N; r  B3 ?* I
    5 ]0 @* E# G" h! x2 L6 o
    150.7        1960
    ! Z  i' o& O0 ~6 ?0 n" i2 J- M+ @3 b1 S. d- [
    179.3        1970* a) s& y% ]* n! u$ s7 @
    % O" o  X8 g! G! D/ T' m. n- ?
    204.0        1980
    # j5 c; L' ~$ E7 ^  T; N. y
    ( L* t; O& a0 Q5 {" a226.5        19908 P7 h2 W) J' w9 C' r' `. q

    # C" u5 |7 T3 ?! J; m# b4 p! S1 I& y251.4
    - S) C3 A9 D8 J
    + Q" H* c  J  r, h* h7 a+ M9 y2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)3 ]7 i' L* P1 V  Z8 _7 c$ E  q
    此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出./ A6 m, }  Q& V( {1 Z4 E& t
    [1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).) H% b1 S1 ^2 T/ O1 L
    [2] 建立模型:  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:5 s8 b* |$ g' \1 Y; w7 ]
    ( u" T8 m! C2 i
    于是 满足微分方程:) b* s1 S) j) U. M, ]" \
                           (1)) E% Q1 t) ~6 t/ q9 H
    [3] 模型求解: 解微分方程(1)得
    1 Y/ u2 w4 c7 n1 v; t                              (2)
    5 g3 c9 O5 D4 o3 s表明: 时, ( >0).4 j) J) ~+ _) I3 u# ?5 W5 W% m4 ?
    [4] 模型的参数估计:8 U7 J' y6 _3 ^9 v  R7 w  p; z
    要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
    7 w! x. e- _8 @/ P1 E! x& Y5 [6 X- `通过表中1790—1980的数据拟合得:  =0.307. + V8 X$ }& L6 t; E( u5 x
    [5] 模型检验:# h; n" q( X* x' L5 ]
       将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2./ o& m6 U  w# S& q
    表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较9 a" H7 w, K" N. O4 |6 U/ Q* |
    & d4 }4 X7 h! P/ S# o+ y
    (公元)        实际人口
    + R; v9 k% X1 t8 i; M(百万)        指数增长模型% y3 a+ j% r6 b4 I
                    预测人口(百万)        误差(%)
    , _% A: P, q+ R1 x2 k1790        3.9               
    ! }. M7 D# F* j9 `# ]9 n# l% H" e1800        5.3                $ O2 N! {, t) D: B( P. o( @( q) y
    1810        7.2        7.3        1.4/ x/ S, I4 |* c
    1820        9.6        10.0        4.2$ j! n  ?6 X( W9 v/ J- M
    1830        12.9        13.7        6.2
    ; {  e2 Y4 G  T! _1840        17.1        18.7        9.40 ]' D( \8 c6 |# G4 i
    1850        23.2        25.6        10.3! Z8 R8 g1 F% g$ {
    1860        31.4        35.0        10.89 ~7 w$ }, c6 M+ g! x
    1870        38.6        47.8        23.8& }% U, C, {0 F7 k5 Z; U
    1880        50.2        65.5        30.5
    # ~" l: A& n+ n( s1890        62.9        89.6        42.4! O, P  S' g4 K( ]
    1900        76.0        122.5        61.2% M. j/ V5 k' E& a( B/ W
    1910        92.0        167.6        82.18 d6 O( y* u% m% v6 m7 z
    1920        106.5        229.3        115.3
    9 {* s& i1 W3 S* e& L' g# d  从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.
    4 R" S% J; R7 D0 Q7 S! R4 c  分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的1 v6 B) O, ~' R% M7 k4 t5 n
    3. 阻滞增长模型(logistic模型)
    ' i: J$ o6 S- j[1]假设:! i# T4 e( Y/ o3 u
    (a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率.2 T3 i$ ]7 h* o6 s6 W
    (b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .8 |9 w- y* s. T7 F& I
    [2]建立模型:2 U9 x1 b. y4 H0 F1 S
       当  时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:; |! p& B# G; q) w( p" p
                                       (3)
    * r2 m' D- j" o% v: X% u将(3)式代入(1)得:
    5 S' ?# V, S( [9 ?  B模型:                          (4) & d& r' e: D/ f  |
    [3] 模型的求解:  解方程组(4)得             (5)6 w( Y+ j/ C" X/ @
        根据方程(4)作出  曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律.  / s0 n' j  }" G: p% A; L; s) Y

    % k5 v6 f! k4 z  q
    ) m7 |$ F5 y8 m! J; f3 S  v/ J2 J. C: w1 M, @

    2 L2 v( `+ g) |. G# I
    ; |- i. B& X' H. J! w$ x- |# b* a5 `, y$ @/ D3 y

    : j) ~9 X) Z& d! G
    - N: n! E/ B* W0 ?6 R6 f/ _7 G; o
    + g% W& F, y. y) `: u2 z9 {% y. C; ?
    [4] 模型的参数估计:
    " h- b, x' s) O利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072,  =464.) L' p# C1 Q) s  n, v! \# `
    [5] 模型检验:* M( a3 r( T* ]9 \
    将 =0.2072,  =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
    . X# j7 Z% H6 F- O  d& [' ?也可将方程(4)离散化,得
    # l7 a" {, q6 J; w# @" g      t=0,1,2,…,     (6)
    . a% a4 F+ |' q用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.5 z9 {. S/ j  h% m

    3 v: A  {6 O5 i0 u# z( i表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较& u6 h$ V# D7 W! k& K3 ~* b

    # J0 N$ {) q: z$ [9 y  u0 x/ q& H0 O
    % |% W' L6 Z6 \' t        实际. j* T* i; u0 M9 b$ @- w; B9 l0 S* X
    人口
    0 w" q3 x/ u: F/ V(百万)        阻滞增长模型
    9 o* d: k0 u$ n0 j4 L  `                公式(5)        公式(6)
    $ |% |5 J9 D# N                预测人口(百万)        误差(%)        预测人口(百万)        误差(%)
    & R2 e& S0 ]9 a! ~$ L+ J1790        3.9                               
    ; M( q0 T2 Y) p) f+ Z# h1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
    " `6 d: f, l! N' m  l; t1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962: g# b# [2 c( {% R' t
    1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
    0 _( H+ R. f$ j  F1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
    - t' \+ M6 S+ a9 H( w( H! q- }8 d1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
    " A( p0 D  }; ], e1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457+ @2 U) X4 J  X9 n/ ^, W: n& p
    1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.15532 K+ i# V5 D( A8 Z" }! L
    1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
    6 d5 Y  @* w4 \1 y. z1 |% |8 _+ U1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
      I5 V  k% @# v0 n" K( E% z1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
    9 H, _: Q( h+ k1 {* R7 @- S' g1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
    9 E1 e( ]5 N* F  {8 F3 D- f1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790) D1 Y& y, V9 Z! `5 y$ I" l1 o
    1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
    , b6 R. C4 H" H1 u/ y9 s+ |* n1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
    + C/ s+ E( C: P5 Q4 P0 U. m1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
    9 C) Z8 V0 C( O1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.01269 y9 M/ _: M; V0 I
    1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
    4 U9 M. l- V0 j1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
    & {+ ^' V- M  a" i& C1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
    : D6 `  J+ _1 _1 e" i1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
    / v0 L& \4 q, n& o% ?  }[6] 模型应用:
    " S1 E. ]- A& H: I( r# | 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083,  =457.6. 用公式(6)作预测得:
    % `7 Q, |; ~& a1 Zx(2000)=275; x(2010)=297.9.
    5 j/ E1 Y' V, D& I# O! e也可用公式(5)进行预测.
    6 m' j" D4 c/ E9 B1 X. c. [: {! a8 b% M. G

    & `# e% l7 q2 B! z8 @& `: y, }5 W
    zan
    转播转播0 分享淘帖0 分享分享0 收藏收藏0 支持支持0 反对反对0 微信微信

    0

    主题

    2

    听众

    206

    积分

    升级  53%

  • TA的每日心情
    奋斗
    2022-2-9 16:16
  • 签到天数: 25 天

    [LV.4]偶尔看看III

    回复

    使用道具 举报

    您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册地址

    qq
    收缩
    • 电话咨询

    • 04714969085
    fastpost

    关于我们| 联系我们| 诚征英才| 对外合作| 产品服务| QQ

    手机版|Archiver| |繁體中文 手机客户端  

    蒙公网安备 15010502000194号

    Powered by Discuz! X2.5   © 2001-2013 数学建模网-数学中国 ( 蒙ICP备14002410号-3 蒙BBS备-0002号 )     论坛法律顾问:王兆丰

    GMT+8, 2026-6-22 14:58 , Processed in 0.597654 second(s), 60 queries .

    回顶部