人口预测

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人口预测
1.问题
% {; a# l) v) h. k$ i9 T/ `: \人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
) F4 Y: `4 D$ v! d年（公元）
+ A5 K9 M, J/ h; h& K3 @* f* Z
& p9 b' u( }' }5 E- h人口（百万）        1790

3.9        1800
4 I; b4 A7 o% l! O/ Q9 c3 c( Y
( V5 K4 A  y! f) q; q  Y; D3 L5.3        1810
$ ]9 N5 m* |4 k/ [0 n" I
7.2        1820
- Q$ u% M( k; b4 B7 ]* m
9.6        1830

12.9        1840

17.1        1850

23.2
/ [+ b. c0 q- H3 E9 H年（公元）

人口（百万）        1860

1 F& Y! a2 r, p" I) |; t: H( t31.4        1870
0 o0 x0 @; [& v" }' a$ R
& E; P9 I' G4 r38.6        1880

50.2        1890
% d; S1 o9 L, q6 {. d& |% p0 `
62.9        1900

% Q3 t( d; Z* C$ q- z76.0        1910

& I/ m) S* I) I+ T* c+ t2 z92.0        1920
# o) n, Q7 P0 f" ?" n6 j& I
8 s; o( n! B1 n% i+ ]  j$ h106.5
2 X! j# E+ `8 {年（公元）
$ v4 @; @* c9 w% u3 v7 j
人口（百万）        1930

123.2        1940
* [  W$ V5 z5 B# v: F4 N
  r4 g# ]# C# z3 ~0 T- l) k131.7        1950
' U6 W" C! r/ A4 p9 E% G$ }
150.7        1960

# v6 X) I. m; O6 P179.3        1970
: u* T- H6 X5 \; e7 ~9 e. J6 R* L
. u9 g4 H; Z6 G$ |- |204.0        1980
% X% V3 O2 @# _( e9 R7 X5 H- Y
, S" L) i- |( x" p226.5        1990

251.4
( O# ~3 E9 P: j1 C7 Z9 B
  U/ ^$ I9 t! Z2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
4 d3 U% B) [" _  L. K7 z5 V9 a此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
" @' p+ V5 Q' ?/ n% q  f. E[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
$ V( X+ {) u2 J1 q
于是 满足微分方程：
                       （1）
2 A: j) j) L: o! J- r8 h! s[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
$ v! U  g, ]: j8 v. T8 f$ [4 l$ x                              （2）
0 F1 X. @1 f6 U5 E4 M8 b/ W表明： 时， （ >0）.
* k) ^; ]2 D$ t) [2 ?* q2 P2 L[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
1 Q- G5 R/ x( u: I0 k通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
# q  F% v7 Y& S- f: J) E   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
/ ~; x  \( d8 w" J) ^                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
. c  O, w! r" e, u8 r1820        9.6        10.0        4.2
. m1 y  |2 r: [0 \1830        12.9        13.7        6.2
) C# g# x( s* s2 z1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
" E; _0 Q8 C6 S  ?1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
9 w3 j& r* i3 a5 Y! H2 @" d1880        50.2        65.5        30.5
2 L  t0 b3 l. k  E. J/ o1890        62.9        89.6        42.4
3 F) o& p# z5 I# [1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
& H3 {$ I) ^3 Q6 w  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
( J  h; M+ J0 p! W0 X1 ]& Y; U) I[1]假设：
3 H3 s; t9 E% T3 P4 m3 Y（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
$ Q8 v, ]2 h- q（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
8 C5 W* M+ v; P& a[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
2 ?; V0 m6 E* X" C$ y+ D将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
5 g  L' S* [6 o6 e! L[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
  h2 ?, G4 q: [1 c    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  



; F& P: g+ _# S$ B9 f* X

1 J) G: R+ ^  s0 x% b4 P2 s

! D  ~$ q- X: ?( _


/ u5 a9 q6 E) ~- z$ z[4] 模型的参数估计：
" R7 k+ V* x. P# F利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
, U: _3 A# X: X2 z& `4 c将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
% e( N  W- p2 ]. r9 \+ L也可将方程（4）离散化，得
7 w: U1 P" l1 j+ L" X! n      t=0,1,2,…,     (6)
9 n$ ]4 M0 g5 U1 I9 V1 y' p  {+ D用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

" m; d6 C) c' t# m. b- [3 O表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
- e  k) `: [3 `  L7 Y" z, ^
年
        实际
' J# a" T4 t8 P5 m人口
$ @( v! J( @& s% \7 V(百万)        阻滞增长模型
/ x) q4 }" f' d9 C* U; @                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
) t* z6 I8 b' ]4 J$ x- s' k1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
+ W6 g" z8 ]5 g; h3 _# v/ r3 R' w  E' p1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
  W% C# ]2 B6 b' e1 `1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
. e! M0 r' v4 P1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
  n) G$ x- q0 U9 i) J8 T1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
, C+ {( f# e! U1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
! x# b2 @* @$ N1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
9 T* s6 `2 Z+ ?$ p1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
$ ?$ j' {% x9 O5 J" k: t; V% @* q1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
; V) F2 Y+ `. ?' w( ]+ x) U1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
; A6 j/ Y/ \0 W1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
4 H5 w6 `4 W- u1 b2 f& O' ]1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
3 J  Q# F% r' t% a

- `( R( I& U6 i5 I! W+ n

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