人口预测

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人口预测
" ^: u, {+ x; O* k' J1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
# s* m1 E2 L3 r$ E+ T% p/ e年（公元）

& ]( U( N, ^" {. B3 N人口（百万）        1790

3.9        1800

5.3        1810
9 g  G( ^* {! S, O% P+ o7 ?
7.2        1820

! U. v' U% s  K, U% x& J" ?9.6        1830

12.9        1840
5 X/ |: X' @5 P3 n
17.1        1850

: M- x5 I5 L8 Z7 f$ ]7 q23.2
& v. a6 G1 p7 k- Z+ [2 u年（公元）
" u; A( g0 B, O' t' c* e! i! V) I
人口（百万）        1860
0 H8 T  h8 ^5 W) [2 M( V
31.4        1870
* t) Z7 F! v; K3 @
8 I3 i( J7 x7 h4 B2 z38.6        1880
, h9 h+ A2 A2 a4 v# M
9 e7 H: K2 f) a; T' M50.2        1890

62.9        1900

! Y/ B* ^2 i$ y  k76.0        1910

92.0        1920

106.5
  V9 V2 P4 b2 R年（公元）

8 ?& ^1 p+ V* {% g" Q  v- h1 D4 G人口（百万）        1930
% o7 K# n, l5 D! |. B
* l' k6 t4 `% Z# d- B2 a123.2        1940

7 E& O. r) i1 s: e* E" V131.7        1950
$ {7 {4 h# I# i  ~
( u5 @2 P) l* O7 q0 d150.7        1960

179.3        1970

204.0        1980

/ g$ b8 ~: w0 b8 f+ r, m0 o3 G7 j226.5        1990

251.4

2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
* U2 H+ ?" Z4 G, q此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
; z  N9 Q. u2 g$ E& {) h
  Z6 X  l' g# S+ m于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
' r5 o' U' h5 Y( f                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
' j" f. n# N3 X' D要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
+ F) P, e9 m) U6 ^1 ]% N9 ]( v通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
& m+ ]+ ]+ R& m, I2 D[5] 模型检验：
+ S- J  c+ c7 \9 W  i   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
( x. J/ {8 Y! o+ D（百万）        指数增长模型
( Z$ [. p6 j! f7 E, N                预测人口（百万）        误差（%）
  a6 S- k' f0 a- _1790        3.9               
) h# v: y4 c5 b: q( J5 w# I1800        5.3               
" y$ V/ N9 ~) Q# j6 S- X1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
9 f! K9 {, |8 j, M7 C" _, ?1840        17.1        18.7        9.4
- P- d2 s  f5 \1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
9 @  g2 V) H4 N/ ]1890        62.9        89.6        42.4
1 b  ?- ?6 m; s" @2 Z) n/ L1900        76.0        122.5        61.2
' V" H* }! L* ]1910        92.0        167.6        82.1
5 \; O0 ]# m2 u, n/ ]. g1920        106.5        229.3        115.3
' p& H/ b; U8 S2 f  L! t- V, |  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
6 ]; r) k; o. M' U0 y  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
2 g/ M. h) i* R  u/ O[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
9 r. n6 f- M/ U2 M（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
& L! W0 b1 T1 A1 X" K/ s3 \                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
) b: R+ r) m7 e3 N    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
+ F' M7 `" N4 k4 N( p9 F- ^6 g4 p







; R9 z: _: A9 x( K6 _1 |
' L+ d/ [9 O+ J) f
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
* N- u- C: J3 D: q  t3 L: \7 n [5] 模型检验：
6 K+ K& A) ^* q( q$ Q  O) b. C) ?将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
" y2 O5 a6 N9 g3 |# G9 ?9 G      t=0,1,2,…,     (6)
$ U# C; B0 O& `  D: `4 U用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
2 w: l9 a* _2 b% k
. h' D9 U5 T/ Y$ K. ]表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
" M$ \  \' ~0 i* n7 N" h: P
年
        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
1 o% B; s* `! F                公式（5）        公式（6）
: q1 \0 z# x2 |7 h- B; h                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
/ j5 }  J: S9 Y; \% t8 J4 f; e$ c1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1 h2 {8 ~5 \4 L; T9 D1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
* f' r7 T+ a  r: }1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
* R) B. x' W5 h# m: ^1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
- q) W2 Q& y7 w* I. e3 y1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
0 u& C9 a  H. b. A; `- D0 H( A1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
: U# S' w5 Q" A- A0 S2 q/ }6 z+ c0 g1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
$ s( X) S0 \% T/ H2 S, b1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
" ?6 W1 W* ?) c& G8 K) s& ^[6] 模型应用：
+ l1 e2 y8 j3 Y! n, w4 b# n 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
  l4 C7 R. S% g1 A也可用公式（5）进行预测.
$ M$ m' T6 r- k* L( v

2 x+ i- L' |- E( J: ^. H; s3 H5 H

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