人口预测

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人口预测
1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）

- ^- B) V8 u) X$ O人口（百万）        1790
$ _8 l, ?4 g: f* J4 x: ^8 ^1 k  o
: N. W' S/ J' K9 |3.9        1800
  H, y' g/ L9 S. S5 G* N" H. T
5.3        1810

7.2        1820

1 i# W0 f+ k. ]- }1 r' u9.6        1830

12.9        1840
# a3 {* D2 m0 V8 D! R
17.1        1850

! n$ g" }3 l4 a$ C# T+ F0 r23.2
, o7 Y' W! S/ q% ~9 i4 G年（公元）

人口（百万）        1860

31.4        1870
( s6 O4 V! M4 t6 m2 I* |8 E. r
. r% A1 d0 F/ _% j. I& O38.6        1880

) F4 O) p& @+ b% k/ ?& d50.2        1890
, p( M: B: ]0 E2 v% F
# F7 d# I% `/ Z/ b' ^6 g62.9        1900
3 R7 Z5 n" m+ Z1 G
# z( [$ f8 q4 ?76.0        1910
+ `# S/ C. _4 O" m0 i
92.0        1920
" D4 y# [/ H2 Z
106.5
/ E4 U, m2 E. e/ R; K; H年（公元）

$ P% Q  B5 A) ]* }人口（百万）        1930
( [+ k" X2 U2 Y/ r5 l" a( y
123.2        1940

131.7        1950

150.7        1960

  z* O' p2 c! G% Y179.3        1970
; J" L6 B2 H. q$ W. ]
204.0        1980
( h- v5 `* l4 F$ U2 c' T8 A* k! [7 {
226.5        1990

251.4
+ D4 J0 S' v2 E- \' P3 J' u+ R
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
! r5 {$ H& n  Y[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
! L7 U% F; T+ E. B# s[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
0 B5 n: d# i- k" o
+ O* i3 ]! p/ a* l8 J, I( V6 I于是 满足微分方程：
  ~9 a( q* r% S2 [) F                       （1）
. k# p, ^+ B! h4 a% ?0 }: V[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
. U; F1 g! `% {) @表明： 时， （ >0）.
" A! d. m! k* J  d/ ~2 Z[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
# J" H" o/ r5 l+ Z8 d; c通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
% z0 s* d! a2 {5 b" ^[5] 模型检验：
3 v* g5 ~, I& N# N& X. v   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
. D# u, r+ [2 _3 i$ X4 E（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
* b& }" g* O- O  d1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
! h$ K5 H7 |2 T& s# b; J1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
. E# b5 x/ v7 S/ w2 K1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
8 ?3 B5 M- `5 J" h7 w4 O1920        106.5        229.3        115.3
) M+ V2 F- u* Y  Z  Y; k  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
& ?. ~. k# m6 i5 q, I/ t6 i3 G  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
+ _9 Y7 g' O0 _9 E. P/ I（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
) q" G+ G9 }9 C3 R（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
: D0 M5 @$ {7 n' I1 _% O                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
1 L  r2 `8 T( q2 N8 C; w模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
% x! e( O9 U. ?$ ]5 L2 _    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
3 n3 D4 |% S5 _+ m* r

, y$ P+ u6 }3 b$ w# r1 Q) |& Y

, k4 j& v( u8 Y4 L3 [9 a. n: {
2 I, X$ A7 A0 s2 @
: b7 g  y8 \* W. W

6 x. ^% S6 Z8 D: W' x+ l

; \5 v4 C! r9 v% q[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
, g/ B! i* W8 q5 r: |1 T2 [* v将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
& j$ m/ [% q+ ]" N4 s4 e" B# r; @4 ]也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
, J, Q  ^! y* p# s
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
- C1 f0 Q% W! e( m
) c( d  V4 l" ^' F1 H, b" Q7 o年
$ ?+ v! K" S6 w7 F        实际
人口
( `) Z5 \# q; u5 Z. X5 x1 I* W(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
  y. @3 A* E8 T5 R                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
4 D" a0 x9 [* f3 a4 [4 E1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
  w% J) o( v& x4 C1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
& W, ^( [# x( w1 ]! i1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
* q) M6 B6 v, F+ s) r1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
$ K- M  N1 F6 ]! N) q" Q1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
( M' j* B& N8 n' l( w1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
8 W2 X2 _( d( v# Y! M1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
: f+ F$ v9 Y, X8 A1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
$ d& F. `) x& N& i/ I8 @1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
! Z/ O/ ^# i0 K4 _; f1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
, Y1 I# t# y3 D0 S[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
, P4 y9 I& ^2 Gx(2000)=275; x(2010)=297.9.
9 `  p7 V9 S, t+ M) ?& \4 I5 q8 T也可用公式（5）进行预测.

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