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TA的每日心情 | 奋斗 2014-12-7 07:58 |
|---|
签到天数: 22 天 [LV.4]偶尔看看III 宣传员
 群组: 2014年网络挑战赛交流 群组: 国赛讨论 群组: 2014美赛讨论 群组: 第三届数模基础实训 |
人口预测
% Z- V( n) x5 E1 G$ c1.问题
, I' S- s/ m7 X) @) t+ ~人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律,作出较准确的预报,是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型,并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据,对模型做出检验,最后用它预报2000年、2010年美国人口./ D( ^! M: g8 Y' q/ l% [0 \0 R
表1 美国人口统计数据: g# h6 u5 G" H+ P$ H* R, {+ @
年(公元)/ O8 G/ C" e" [" X* }- ?" ?# {. E
) ^5 p/ p& ]7 Q0 d l- F1 K8 q7 n
人口(百万) 1790) d' V% j, `. F: o
( V0 B6 W6 a/ _) \/ X4 @4 |
3.9 1800. j8 q, Z( l0 S& L7 u" ?# Q
a* g6 v. P8 L! F. O! s3 e' k
5.3 1810" o9 B( [9 D" ]0 n @. |
4 l! Y3 m! T+ m X' e7.2 1820
4 r. I( }4 r' V4 J& y( l7 S$ K- a- B% v. h+ D! u7 G2 D
9.6 1830: N+ Q* t) p. d
2 O; v) p8 F3 m; v$ I/ m
12.9 1840
+ p0 T$ [8 f/ K/ m5 ^
' |! c2 \* z; D- g7 Y5 K17.1 1850
, L e" {! r: D( _# K
_. h( v8 q. y( j: x/ e, B23.2
# S) n1 ^- o5 W1 f1 E年(公元)# {' ?% K+ g. a
% V) _' |; y, a" s
人口(百万) 1860
( C" R# g8 r3 ~7 J; [0 V/ Y
& Q+ j/ k- {; M# x+ o31.4 18707 f8 }8 `! k5 F( l) R
2 d8 C$ G7 f1 d: z; X/ v6 q38.6 1880
k1 m5 p) S2 j2 x6 | U1 t8 Z3 q
50.2 1890) E6 b/ z1 t% I& U4 P) f& i4 J" U
4 A4 i4 e& I" { B d
62.9 19004 Q3 ^2 D% h. ^. I+ ^, ]! Q7 C2 S
1 Y: B: w1 B1 l6 ?* |3 b76.0 1910
% X9 p9 d5 t* h" G! l0 O1 H4 \$ P( x
92.0 1920% M. m% v! B" z8 W+ w; k
9 d- j7 M3 \8 ^7 _8 g106.5
7 n* q# H5 n3 f年(公元)
; Q* {3 z$ l* y' N# k5 |! T" m. l
7 Q! c4 a& q6 \/ T! \人口(百万) 1930
, y3 i: q, U* w' n
8 Z, }3 C# k& k: g- ~123.2 1940
% `" p R& z+ [
% t- w" j/ r0 G5 c1 @3 G2 O8 N131.7 1950. T& K0 ]; ?; \( c
( ^0 \+ C/ `2 \0 U- F$ t150.7 1960
: J8 |: v, V6 c! w* m* J( ~! P# X4 L3 F
179.3 1970
$ Y+ d2 W, A- y6 `% E/ b- O
; O2 K' N& `8 O m' D, |3 w2 p204.0 1980
% S1 X- x# z: N) G. O7 p, Y' r8 C# X7 i ~' M9 {, F* h5 u7 Y
226.5 1990
+ a6 k9 q5 H( S# B/ T- f2 m8 w- ~( q; E) C
251.4
4 I( M% U2 V0 ^) C5 Q8 R% R5 ^) T- B- U' l* F
2.指数增长模型(马尔萨斯人口模型)( B( e* m% p3 Z2 K# V
此模型由英国人口学家马尔萨斯(Malthus1766—1834)于1798年提出. ~2 j- U E) a6 L5 m" `1 L* I2 E
[1] 假设:人口增长率 是常数(或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比).+ {+ g; T+ {9 ]: L3 e; {: V6 A
[2] 建立模型: 记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ,由于量大, 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为:' v# j" l' y7 j4 Q1 f; b" g
: T" C+ b# g9 i$ q于是 满足微分方程:
- ?: K6 ?1 y9 Z5 z( B' G (1)
5 I+ A4 m0 K- [; }/ d1 t[3] 模型求解: 解微分方程(1)得- h4 I$ [' z2 X8 y. W
(2); n+ s- s3 g+ l- D. ` s
表明: 时, ( >0).0 a1 S9 _4 X8 C l0 X; c: Y
[4] 模型的参数估计:8 v2 Q/ I- X3 L: {- V' I5 n
要用模型的结果(2)来预报人口,必须对其中的参数r进行估计,这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.5 Y5 o' r9 {' H. M- y
通过表中1790—1980的数据拟合得: =0.307.
' ~) E5 { [4 M2 ~[5] 模型检验:' |7 e$ y" d& X) T0 k
将x0=3.9, =0.307 代入公式(2),求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数,见表2./ E; W/ O, h. n. d* {* {
表2 美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较 f& ?. Z3 N$ o7 q$ M
年7 G& ?5 j( `) ?
(公元) 实际人口
3 h0 F6 x% p# P) A' U# A9 r, t(百万) 指数增长模型
8 F0 |! h$ w& E6 ?3 C: L4 f 预测人口(百万) 误差(%)- E" v/ ? T2 k" @8 k# }- ]
1790 3.9
0 y/ ~2 Z R$ Y8 G" s1800 5.3 ! H) n( n* I/ W" |' _ S" S
1810 7.2 7.3 1.4
3 u0 g1 j( a& `" d! [+ l1820 9.6 10.0 4.2
) e$ T- T x( D/ d! A8 h% M* _1830 12.9 13.7 6.2
, [3 U3 w9 _3 d1840 17.1 18.7 9.4
# {( c2 ?$ z8 r. g# e$ w m1850 23.2 25.6 10.3; c. N/ d$ @; t( K- z1 |
1860 31.4 35.0 10.8
5 O+ O- s% O: W; f" C( X0 {/ m, o1870 38.6 47.8 23.8) ~% U8 n. n T/ _% |. Q
1880 50.2 65.5 30.5) |6 P9 W' q9 y; y. b& `: z
1890 62.9 89.6 42.4
# b* u: ~2 ?2 p3 W' v1900 76.0 122.5 61.22 c2 E3 B; F$ s! _2 T3 I# R3 y
1910 92.0 167.6 82.15 Z9 C% S, K0 X! g# \
1920 106.5 229.3 115.33 ^+ H) l& H. K# C k8 y! F
从表2可看出,1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好,但1880年以后的误差越来越大.( R) u. h5 G+ n8 c2 q' y! _ P3 E
分析原因,该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上,随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
1 l, Y1 k7 n! G1 J/ s. o) O4 F( }3. 阻滞增长模型(logistic模型)# o- R$ @/ U$ f5 C1 N4 n; U
[1]假设:' ^8 z1 F2 T1 x% j' i
(a)人口增长率 为人口 的函数 (减函数),最简单假定 (线性函数), 叫做固有增长率." z- v7 s+ @, W T
(b)自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 . V9 M3 @2 \9 g" \
[2]建立模型:
5 ^$ q: S' j) U: ~2 v0 B 当 时,增长率应为0,即 =0,于是 ,代入 得:
. U: m% C: W2 S' O (3)
6 B" p Q. @( n2 H; O. t* n" x' ~% h将(3)式代入(1)得:. a' r8 G3 u5 n( |! t4 S
模型: (4)
7 x; l1 m' |: y[3] 模型的求解: 解方程组(4)得 (5)( @. g6 F: k0 A3 F$ o
根据方程(4)作出 曲线图,见图1,由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果(5)作出x-t曲线,见图2,由该图可看出人口数随时间的变化规律. ( r( ^: g# q' v& g0 i4 T6 C: Y
1 Q1 b3 x5 P6 g- g
+ }& @6 C( @+ ?. p ` k. |
0 W+ }. `0 r M9 |2 p6 v
; E5 e- f5 p* U, b% V9 w
$ H0 A! d% y4 q4 z% R- T5 M. w6 N
! v- A! b' f/ I4 c" v
, Y9 {5 D( h& A+ a/ v* s7 \5 k; }) i3 x+ v
! r/ i, i- o! C2 }* Z5 h" D
7 H3 Y1 ]. d$ G7 w. I2 L[4] 模型的参数估计:
, x, t* r5 V' P* n, u" M9 l利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得: =0.2072, =464.) A# a' g3 s/ s0 Q
[5] 模型检验:7 u7 K4 v; p0 s k2 k9 d
将 =0.2072, =464代入公式(5),求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数,见表3第3、4列.
7 P4 I, b( w8 U* z* k; ^: |- _+ i也可将方程(4)离散化,得& X/ L. V5 G) f' g4 Y
t=0,1,2,…, (6)
) U0 c4 y a, ~) L6 J& y, y用公式(6)预测1800—1990的人口数,结果见表3第5、6列.& _. D. R% A; I
7 |. C0 {2 X; i' {# n4 ]3 ]& F
表3 美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
5 `# W- B8 {$ `5 C) L6 r& N! ^* W' _0 w6 j! }6 P$ d
年! U& H# q4 f+ a
实际+ F9 a- s4 ]2 j6 n2 ^: z
人口- c3 ]8 I: S* u7 l
(百万) 阻滞增长模型- _3 { E/ a& C
公式(5) 公式(6)
( z$ U. l' C8 f% W! Q, B z 预测人口(百万) 误差(%) 预测人口(百万) 误差(%)8 F7 B" ^. D4 {9 s
1790 3.9
6 d& v; c& E9 k4 o# A1800 5.3 5.9025 0.1137 3.9000 0.26427 _2 ~: ~( s0 R" G. j% x1 O$ _# c
1810 7.2 7.2614 0.0085 6.5074 0.0962
( ^/ }: a' B/ N3 |3 t% ]1820 9.6 8.9332 0.0695 8.6810 0.0957% e6 w8 P# J: ^( W' k* _
1830 12.9 10.9899 0.1481 11.4153 0.1151
{. P* P: E- x9 K1840 17.1 13.5201 0.2094 15.1232 0.1156
& S( E% s# {1 h1 t1 l1850 23.2 16.6328 0.2831 19.8197 0.1457
- T0 |* |# W1 l; s( J2 X; r1860 31.4 20.4621 0.3483 26.5228 0.1553) U3 J7 {0 R) m+ s' O$ T
1870 38.6 25.1731 0.3478 35.4528 0.0815
3 ] J, r) N. ~# k# p1 b+ M1880 50.2 30.9687 0.3831 43.5329 0.13285 R1 B! x* V0 q3 |
1890 62.9 38.0986 0.3943 56.1884 0.1067
5 G* c! y9 ]. t! o& I7 B1900 76.0 46.8699 0.3833 70.1459 0.0770& q& C5 p% B7 u4 M! d# `2 p
1910 92.0 57.6607 0.3733 84.7305 0.0790
) P" h" w; P2 d3 D+ T9 R1920 106.5 70.9359 0.3339 102.4626 0.03799 P& J! E) z; r- f' P- i
1930 123.2 87.2674 0.2917 118.9509 0.0345
, e% G6 x, O/ f- | o1940 131.7 107.3588 0.1848 137.8810 0.0469' @3 j5 B/ Y* m$ R. V$ r5 y1 @" ?0 w
1950 150.7 132.0759 0.1236 148.7978 0.0126
! r7 i9 q7 W3 I, k4 D# y1960 179.3 162.4835 0.0938 170.2765 0.05035 Q6 Q% c# d; }! [ C
1970 204.0 199.8919 0.0201 201.1772 0.0138
5 u, Z2 P3 G; e1980 226.5 245.9127 0.0857 227.5748 0.0047
, {, C2 W: o, E, w* W8 S- o1990 251.4 302.5288 0.2034 250.4488 0.0038& I2 N6 A$ y1 q2 a; _
[6] 模型应用:2 e4 D6 y1 @6 T
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数,可得 =0.2083, =457.6. 用公式(6)作预测得:# z" F i8 c, `3 f4 k
x(2000)=275; x(2010)=297.9.8 u9 `4 o, U# B$ D+ C0 \+ P1 A
也可用公式(5)进行预测.
( J! F# p! N' {2 k* o0 P0 h- w' v' W, b& h
f+ ]/ a1 t1 ~& t. u3 X9 U |
zan
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