人口预测

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人口预测
# f4 V/ U5 m# ]# g1 x" |8 M6 t* X1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
& z' h% H6 s4 W1 [6 q
! d% @1 T2 D$ `2 d# s人口（百万）        1790
! O( W  C  p' Q4 n/ U) l6 N) U
3.9        1800
& N% m- ^+ B3 s+ _, a9 t
5.3        1810

3 G1 v0 R$ @! s. {" ?; c7 }7.2        1820
8 Y: \5 E# k' K
9.6        1830
/ d  r( Z7 A  D
0 t! _( h5 u: V/ ]2 F& _12.9        1840

# D+ S( z; l! a" |3 \17.1        1850

23.2
( V: D( `0 T# u$ m) Y' [% p. m# w年（公元）
6 |: }# n! J( V# m& Z
人口（百万）        1860
5 O3 W0 ]% r9 q0 U8 ~) D
! Y2 S7 ?/ ]3 f; q0 y31.4        1870

38.6        1880

9 G& E' h9 M0 C0 {50.2        1890

62.9        1900
) |5 T9 K' |# T$ ]* k% O* X
76.0        1910

92.0        1920
% w7 _$ S( N" S& f# ?! W6 `1 `
106.5
年（公元）
- X  G9 L' x0 g3 o
2 b5 _2 P4 G% s- G人口（百万）        1930
2 ^5 @3 |% |/ C( e. v7 z
123.2        1940

5 Y+ S( G/ \7 ^9 c1 U3 ?9 j131.7        1950
$ x1 l- i" R( u1 J' s3 \
' K: V- n1 d3 w' ~" g150.7        1960

) J& v* b7 x5 e/ [1 s4 L179.3        1970

204.0        1980
# q0 o/ i; L# l8 G% K
226.5        1990

) k* V! t) Z; Q3 `8 E; k251.4
% \' H8 [* O  x6 |& r: `4 p; K
1 t3 L/ O) _2 ]) Z2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
7 v3 [9 z, l1 ^, A+ R9 H/ v+ G' D此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
  Q8 M1 A/ r9 \# [% s9 S' M0 m' Q[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

3 a( y4 u( B3 Z2 r4 e; p7 S于是 满足微分方程：
5 |. ^& h) i- k0 Y  g# i! i% _1 ]! Q                       （1）
2 |, s; I( R- P' a[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
) j( b6 \  S; R! J% m                              （2）
3 A% F! h4 O' Q# A' C$ |表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
5 J3 d2 h* `5 l( ~) T6 s6 U$ K通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
! U5 r4 U( ^3 V- q4 |[5] 模型检验：
& R2 S9 z% z( q   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
6 x! f1 T& c! b5 r1 U4 @' ?年
(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
! s4 v% X& U# I$ ^9 ^                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
9 c, t5 I: e; J, Z. A1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
" j2 R0 d9 k1 d2 r0 `# ^& e. O1830        12.9        13.7        6.2
- |" n+ `  h, E: \" y6 {1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
/ [! L) V  h5 d5 y1890        62.9        89.6        42.4
0 E* z# v6 P# j1900        76.0        122.5        61.2
3 y! n& `- b+ P; n1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  v0 Y1 y8 S! J1 r  o3 W0 T  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
1 Y1 b0 o( @( O4 x) |  P& f（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
& |& }' S' u, j（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
. J! ^8 ^7 k0 R9 r                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
9 [. m. g/ b: v, I2 p[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  
4 p/ i  F3 D1 A4 V1 u

0 b0 h' w0 H4 @: u$ H1 N
1 e: c- X3 x5 `) G* ]

. h. B% n5 R, I6 q5 G
; f4 c6 q8 I; Q) d+ s# x

: f5 e( _% m9 @" u4 x6 ]
* n5 ]: t. D9 c4 _2 e" \8 R
[4] 模型的参数估计：
利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
; ]. ]9 m  a) S/ G3 s [5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
( o( o% I  h1 q9 @2 Z# m
& E  B+ m7 P1 Z. @年
  b1 j0 y1 k& U4 X  u0 D2 {+ W6 `        实际
人口
: E+ L6 X+ H/ p1 P: i" F2 V  Q(百万)        阻滞增长模型
+ x7 e' K; i) P                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1 c- x' I1 I2 G3 R1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
: y1 i# R% ~# {- b) a# |$ [1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1 ~+ k' S6 C1 \1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
, \6 [/ f( l" w/ |1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
3 {* r& j$ G3 }0 u0 j1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
" F' P* u, r; @- r; z, W1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
' `, J- o* \3 i  L( }, o1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
4 b/ {% F- h: }5 T" T+ R* X7 S5 P1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
$ R  v# k' c" }) a! k1 s7 o. S1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
3 ^) {: m2 o: T* ^1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
+ l5 ~) J5 `( E- W0 w, }8 |1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
8 J$ x( X* Z' c9 D9 S+ y1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.


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很好的帖子，支持一下。