人口预测

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人口预测
1 i8 N& \% ^4 v9 J4 |+ V1.问题
6 U# w  }: e9 ~. r1 k人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
5 R* L) A" \  g) W+ v  q, O表1  美国人口统计数据
5 J% V4 \# O! s, q  D/ h年（公元）

人口（百万）        1790

3.9        1800
* j2 s  d+ Y0 ?1 t, e/ w* [6 H5 b3 D, i
5.3        1810
- |" m2 W* D* Z" t# @
0 p' d. e: c! t( f7 x* R) U7.2        1820

9.6        1830
# N  |" {- \* y/ Y+ s) q4 Q3 ^
; {) N1 w7 z: g0 L! J' t12.9        1840
4 n- {6 R: q7 @$ _" p7 ]! Y- k
17.1        1850
7 H$ a) o! q8 E% \" L
6 z6 R* ?7 _7 r1 n; T23.2
) k3 M' U6 h) C5 G年（公元）
+ q; f4 X/ [) Q1 h* s
人口（百万）        1860

31.4        1870

38.6        1880

0 i7 h% X8 ~8 k' b, y50.2        1890

62.9        1900
% X4 l) m) y) C; h2 Q4 D2 ?
5 w3 m0 F4 ]' v76.0        1910

92.0        1920

106.5
$ w5 J* f! t( `8 i  c  m年（公元）
0 W2 M- T$ F4 l: |* l0 A2 b' k& F1 _
' x! `/ P% K* `人口（百万）        1930

123.2        1940
  B2 D  c9 R! t8 z* r! ^
131.7        1950

150.7        1960
! Z  i' o& O0 ~6 ?
179.3        1970

204.0        1980
# j5 c; L' ~$ E7 ^  T; N. y
( L* t; O& a0 Q5 {" a226.5        1990

# C" u5 |7 T3 ?! J; m# b4 p! S1 I& y251.4
- S) C3 A9 D8 J
+ Q" H* c  J  r, h* h7 a+ M9 y2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
1 Y/ u2 w4 c7 n1 v; t                              （2）
5 g3 c9 O5 D4 o3 s表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
7 w! x. e- _8 @/ P1 E! x& Y5 [6 X- `通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
+ R; v9 k% X1 t8 i; M（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
, _% A: P, q+ R1 x2 k1790        3.9               
! }. M7 D# F* j9 `# ]9 n# l% H" e1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
; {  e2 Y4 G  T! _1840        17.1        18.7        9.4
1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
# ~" l: A& n+ n( s1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
9 {* s& i1 W3 S* e& L' g# d  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
4 R" S% J; R7 D0 Q7 S! R4 c  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
' i: J$ o6 S- j[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
* r2 m' D- j" o% v: X% u将（3）式代入（1）得：
5 S' ?# V, S( [9 ?  B模型：                          （4）
[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

% k5 v6 f! k4 z  q
) m7 |$ F5 y8 m! J; f3 S

2 L2 v( `+ g) |. G# I
; |- i. B& X' H. J

: j) ~9 X) Z& d! G
- N: n! E/ B* W0 ?6 R6 f/ _7 G; o
+ g% W& F, y. y) `: u
[4] 模型的参数估计：
" h- b, x' s) O利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
. X# j7 Z% H6 F- O  d& [' ?也可将方程（4）离散化，得
# l7 a" {, q6 J; w# @" g      t=0,1,2,…,     (6)
. a% a4 F+ |' q用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

3 v: A  {6 O5 i0 u# z( i表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

# J0 N$ {) q: z$ [9 y  u0 x/ q& H0 O年
% |% W' L6 Z6 \' t        实际
人口
0 w" q3 x/ u: F/ V(百万)        阻滞增长模型
9 o* d: k0 u$ n0 j4 L  `                公式（5）        公式（6）
$ |% |5 J9 D# N                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
& R2 e& S0 ]9 a! ~$ L+ J1790        3.9                               
; M( q0 T2 Y) p) f+ Z# h1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
" `6 d: f, l! N' m  l; t1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
0 _( H+ R. f$ j  F1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
- t' \+ M6 S+ a9 H( w( H! q- }8 d1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
" A( p0 D  }; ], e1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
6 d5 Y  @* w4 \1 y. z1 |% |8 _+ U1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
  I5 V  k% @# v0 n" K( E% z1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
9 H, _: Q( h+ k1 {* R7 @- S' g1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
9 E1 e( ]5 N* F  {8 F3 D- f1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
, b6 R. C4 H" H1 u/ y9 s+ |* n1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
+ C/ s+ E( C: P5 Q4 P0 U. m1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
9 C) Z8 V0 C( O1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
4 U9 M. l- V0 j1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
& {+ ^' V- M  a" i& C1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
: D6 `  J+ _1 _1 e" i1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
/ v0 L& \4 q, n& o% ?  }[6] 模型应用：
" S1 E. ]- A& H: I( r# | 现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
% `7 Q, |; ~& a1 Zx(2000)=275; x(2010)=297.9.
5 j/ E1 Y' V, D& I# O! e也可用公式（5）进行预测.
6 m' j" D4 c/ E9 B1 X. c. [

& `# e% l7 q2 B! z8 @& `: y, }5 W

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