人口预测

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人口预测
% Z- V( n) x5 E1 G$ c1.问题
, I' S- s/ m7 X) @) t+ ~人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）

人口（百万）        1790

3.9        1800

5.3        1810

4 l! Y3 m! T+ m  X' e7.2        1820
4 r. I( }4 r' V4 J& y( l7 S$ K
9.6        1830

12.9        1840
+ p0 T$ [8 f/ K/ m5 ^
' |! c2 \* z; D- g7 Y5 K17.1        1850
, L  e" {! r: D( _# K
  _. h( v8 q. y( j: x/ e, B23.2
# S) n1 ^- o5 W1 f1 E年（公元）

人口（百万）        1860
( C" R# g8 r3 ~7 J; [0 V/ Y
& Q+ j/ k- {; M# x+ o31.4        1870

2 d8 C$ G7 f1 d: z; X/ v6 q38.6        1880
  k1 m5 p) S2 j
50.2        1890

62.9        1900

1 Y: B: w1 B1 l6 ?* |3 b76.0        1910
% X9 p9 d5 t* h" G
92.0        1920

9 d- j7 M3 \8 ^7 _8 g106.5
7 n* q# H5 n3 f年（公元）
; Q* {3 z$ l* y' N# k5 |! T" m. l
7 Q! c4 a& q6 \/ T! \人口（百万）        1930
, y3 i: q, U* w' n
8 Z, }3 C# k& k: g- ~123.2        1940
% `" p  R& z+ [
% t- w" j/ r0 G5 c1 @3 G2 O8 N131.7        1950

( ^0 \+ C/ `2 \0 U- F$ t150.7        1960
: J8 |: v, V6 c! w* m* J
179.3        1970
$ Y+ d2 W, A- y6 `% E/ b- O
; O2 K' N& `8 O  m' D, |3 w2 p204.0        1980
% S1 X- x# z: N) G. O7 p, Y' r
226.5        1990
+ a6 k9 q5 H( S# B/ T- f
251.4
4 I( M% U2 V0 ^) C5 Q8 R
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

: T" C+ b# g9 i$ q于是 满足微分方程：
- ?: K6 ?1 y9 Z5 z( B' G                       （1）
5 I+ A4 m0 K- [; }/ d1 t[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
' ~) E5 {  [4 M2 ~[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
3 h0 F6 x% p# P) A' U# A9 r, t（百万）        指数增长模型
8 F0 |! h$ w& E6 ?3 C: L4 f                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
0 y/ ~2 Z  R$ Y8 G" s1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
3 u0 g1 j( a& `" d! [+ l1820        9.6        10.0        4.2
) e$ T- T  x( D/ d! A8 h% M* _1830        12.9        13.7        6.2
, [3 U3 w9 _3 d1840        17.1        18.7        9.4
# {( c2 ?$ z8 r. g# e$ w  m1850        23.2        25.6        10.3
1860        31.4        35.0        10.8
5 O+ O- s% O: W; f" C( X0 {/ m, o1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
# b* u: ~2 ?2 p3 W' v1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
1 l, Y1 k7 n! G1 J/ s. o) O4 F( }3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
5 ^$ q: S' j) U: ~2 v0 B   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
. U: m% C: W2 S' O                                   （3）
6 B" p  Q. @( n2 H; O. t* n" x' ~% h将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
7 x; l1 m' |: y[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  



0 W+ }. `0 r  M9 |2 p6 v
; E5 e- f5 p* U, b% V9 w
$ H0 A! d% y4 q4 z% R- T5 M. w6 N
! v- A! b' f/ I4 c" v
, Y9 {5 D( h& A+ a

! r/ i, i- o! C2 }* Z5 h" D
7 H3 Y1 ]. d$ G7 w. I2 L[4] 模型的参数估计：
, x, t* r5 V' P* n, u" M9 l利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
7 P4 I, b( w8 U* z* k; ^: |- _+ i也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
) U0 c4 y  a, ~) L6 J& y, y用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.

表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较
5 `# W- B8 {$ `
年
        实际
人口
(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
( z$ U. l' C8 f% W! Q, B  z                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
6 d& v; c& E9 k4 o# A1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
( ^/ }: a' B/ N3 |3 t% ]1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
  {. P* P: E- x9 K1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
& S( E% s# {1 h1 t1 l1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
- T0 |* |# W1 l; s( J2 X; r1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
3 ]  J, r) N. ~# k# p1 b+ M1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
5 G* c! y9 ]. t! o& I7 B1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
) P" h" w; P2 d3 D+ T9 R1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
, e% G6 x, O/ f- |  o1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
! r7 i9 q7 W3 I, k4 D# y1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
5 u, Z2 P3 G; e1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
, {, C2 W: o, E, w* W8 S- o1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.
( J! F# p! N' {2 k* o

  f+ ]/ a1 t1 ~& t. u3 X9 U

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很好的帖子，支持一下。