人口预测

longde

人口预测
1.问题
3 r. d2 Z- }$ e人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
表1  美国人口统计数据
年（公元）
. t" g( |: _) N5 |
人口（百万）        1790
' X2 L7 C2 ]0 T" L6 l7 {# I
3.9        1800

5.3        1810
6 e6 Y) S1 h  r
7.2        1820
0 u& o0 z; _2 }
9.6        1830

12.9        1840
) F4 _' x$ z1 e; z! U  z' x
17.1        1850

" i. |4 n5 [% Q& J3 f& S23.2
1 f- G$ h$ c; f% U, `, M) R年（公元）
' R$ S# F4 m! r  E7 ~, J
人口（百万）        1860
* q3 r# Y( Q: m9 E! q' p/ R$ `
' k6 m7 r+ Y. m$ Y, A31.4        1870

38.6        1880

: v. T4 n3 p* `# [50.2        1890
' t: m, {1 n# p# v/ ~+ [4 h" H8 d
62.9        1900

* k* G" d7 G5 R# B76.0        1910

92.0        1920

0 h" ^0 X0 f; J* V" W% g4 ]106.5
, w$ C+ G7 C' z4 r8 K/ J( r年（公元）
  b5 i% `6 D" b. J' X: U. w2 T
人口（百万）        1930

123.2        1940

131.7        1950

; S( Y; d2 F/ y8 w& h1 S" W150.7        1960
! m/ L, Y# ^& y0 X
4 i9 Y6 g6 o( A0 u& [( i  A) A179.3        1970
# D. a* ]- k, g8 a5 a9 N2 w. y
204.0        1980

226.5        1990
2 u6 F) [1 B9 p& f) ?6 ]) {
1 a8 r" }/ p( q, J3 I+ e251.4
- f' x; m3 l! m* h; G
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
7 Z( H; U7 L0 B此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：

于是 满足微分方程：
                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
: }) X* X$ T$ u7 x; H2 g/ p2 ?/ s                              （2）
# {" q% e) U4 E/ i# E表明： 时， （ >0）.
; i- [6 k2 e3 _$ p; ]5 ]4 t  X% x[4] 模型的参数估计：
$ H) a4 d. P" N3 r5 U要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
; h( ]0 R8 ]& C4 ^/ k) Y通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
[5] 模型检验：
   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
(公元)        实际人口
3 ?  a) M0 Q4 Z( k7 V+ l! s（百万）        指数增长模型
                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
1840        17.1        18.7        9.4
& `# w$ ?% ]! d9 s! R, d2 j1 r1850        23.2        25.6        10.3
- y) k2 ~* X( \1 \4 H# N1860        31.4        35.0        10.8
1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
7 F9 V8 v- q+ d% ~( k. ]+ h1910        92.0        167.6        82.1
1920        106.5        229.3        115.3
! H( Q2 D% R, }/ R- ~# D/ l' [" J  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
3. 阻滞增长模型（logistic模型）
/ F0 e$ [4 i9 G! d: U: R$ _[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
* M+ t+ l$ S7 X2 o7 n（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
) S( R/ i3 ]* `& G+ M[2]建立模型：
   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
$ H+ R4 _# O5 `2 Z# Z7 ?$ ?( @将（3）式代入（1）得：
8 \2 m0 P# o0 R) c( N$ P模型：                          （4）
3 B) G3 m1 Y' ?" {0 r& u[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
2 {- }$ m1 e) D9 G# {. b    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  

3 _- j$ o7 [+ m" i; I( H! @, c






# w& A9 U# s/ @7 ?% ~4 F$ s5 }4 G

7 O" S7 `( t6 e+ B: i; w& \[4] 模型的参数估计：
" V7 k" R5 B4 b利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
7 C' Y8 q! I+ Z: F将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
" M( a7 j5 L  e: v, N; k
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

. n3 Z! \# q  l3 Y& E0 c年
        实际
人口
5 i! V, y6 w" y2 w" v, U: {. \7 A(百万)        阻滞增长模型
                公式（5）        公式（6）
                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1790        3.9                               
4 y6 `# @; i& `6 i' L+ o1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
4 n9 Q* d9 Q" p( _1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
' n' z1 f6 j4 W# _" h1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
0 S, z. f* u5 }# Q0 Q, G1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
" h, ]2 l: q" Z8 F: O/ ~- i1 @  O* y1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
0 q- X7 v7 k; q6 f: W) @1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
4 o, M, P7 k( a0 S( |& o1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
4 i& P6 D+ i" p, g- ^. w. o: K" ?[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.

6 Y" c: R6 h5 C7 G2 C

2923153768

很好的帖子，支持一下。