人口预测

longde

人口预测
1.问题
人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一.认识人口数量的变化规律，作出较准确的预报，是有效控制人口增长的前提.下面介绍两个最基本的人口模型，并利用表1给出的近两百年的美国人口统计数据，对模型做出检验，最后用它预报2000年、2010年美国人口.
% d. b" O4 |6 b表1  美国人口统计数据
年（公元）

人口（百万）        1790
; B1 p+ R+ d2 R% @& f
3.9        1800
6 b3 c% f# `) T+ Y1 ]' C: ^
5.3        1810
/ u, K& t! B% v$ o
7.2        1820

- z2 j, x3 f; I8 d; N6 h$ a) h9.6        1830

12.9        1840

! O) j) O, x( L9 d+ H8 A8 y17.1        1850
2 D3 V+ G  {+ C7 i" _
; N5 X3 ~6 O3 R0 B23.2
年（公元）
0 n) F, t% }# N( O0 d: z8 S; `
, ]8 a. S9 E9 A) R6 W  n人口（百万）        1860

# ^# x, A. P* m$ |9 e$ n( R$ N31.4        1870
$ T  Q4 ^8 R! l: |) p
& V3 f4 T' s; b$ S3 @38.6        1880
; g6 r8 I- [% W% P" r$ {4 M5 T4 z
50.2        1890

62.9        1900

76.0        1910

92.0        1920

( C6 U8 }. e% q106.5
. N' o4 L" w6 G; `年（公元）

8 o, H; G6 R$ `# d8 a! v人口（百万）        1930

2 n' Z9 O- k3 t+ ~) ~: r" r: m123.2        1940
! l" E4 V; ]7 o! M
131.7        1950
9 d! b: g! G0 H  S/ M' w
150.7        1960
5 e- |3 Q2 Z% c7 }' ]2 X
179.3        1970
" z5 C1 z# _- Q7 |( ~& k
3 K% c( h- o# ?$ t) R204.0        1980
/ @7 o" ]  m& P+ p2 o( J
( z  u/ c, [: c/ z3 `) e226.5        1990
( ^; V, W# v" F
251.4
. c( m# C8 u, x; ~9 }0 [4 ?
2.指数增长模型（马尔萨斯人口模型）
3 k/ h. j4 o5 w& D: a7 o! c, ^此模型由英国人口学家马尔萨斯（Malthus1766—1834）于1798年提出.
[1] 假设：人口增长率 是常数（或单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比）.
  b: G+ x2 \( {1 a[2] 建立模型：  记时刻t=0时人口数为x0, 时刻t的人口为 ，由于量大， 可视为连续、可微函数.t到 时间内人口的增量为：
5 ]8 L# P: S  w0 x! \2 e" K
# ?1 S% ]0 I" c  H: }2 ?6 K于是 满足微分方程：
! y4 l. h+ C4 H* \0 s6 x                       （1）
[3] 模型求解： 解微分方程（1）得
                              （2）
; r: I$ h7 g2 c; N6 K# R表明： 时， （ >0）.
[4] 模型的参数估计：
要用模型的结果（2）来预报人口，必须对其中的参数r进行估计，这可以用表1-1的数据通过拟合得到.拟合的具体方法见本书第16章或第18章.
通过表中1790—1980的数据拟合得：  =0.307.
0 D! G+ Q: G/ L  O' U( Z[5] 模型检验：
$ }. K# K4 h- l  e# ]" r( O   将x0=3.9， =0.307 代入公式（2），求出用指数增长模型预测的1810—1920的人口数，见表2.
表2  美国实际人口与按指数增长模型计算的人口比较
年
: L3 h$ a  l) N' i(公元)        实际人口
（百万）        指数增长模型
3 X; [& |% n9 E& O3 m                预测人口（百万）        误差（%）
1790        3.9               
+ s# [4 x, N8 z1800        5.3               
1810        7.2        7.3        1.4
8 ~3 c7 k8 n- ~4 S1820        9.6        10.0        4.2
1830        12.9        13.7        6.2
+ B1 [/ Z! N6 X3 X: ~5 D1840        17.1        18.7        9.4
( ?9 u  B6 z9 ~1850        23.2        25.6        10.3
/ I0 T9 O- M2 O) Y: Z1 v$ w1 {8 v9 c1860        31.4        35.0        10.8
9 l) a1 T0 C- d1 j: q/ u1870        38.6        47.8        23.8
1880        50.2        65.5        30.5
7 ?( K* u$ {' L% t# |5 R' U3 Y1890        62.9        89.6        42.4
1900        76.0        122.5        61.2
1910        92.0        167.6        82.1
$ {+ i. p% z1 t! N  ]4 \' j. i- ~1920        106.5        229.3        115.3
: x- |, F9 k, H! z' B, R5 X  从表2可看出，1810—1870间的预测人口数与实际人口数吻合较好，但1880年以后的误差越来越大.
  分析原因，该模型的结果说明人口将以指数规律无限增长.而事实上，随着人口的增加，自然资源、环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著.如果当人口较少时人口的自然增长率可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量以后，这个增长率就要随着人口增加而减少.于是应该对指数增长模型关于人口净增长率是常数的假设进行修改.下面的模型是在修改的
# r* b! s- A4 G0 {$ y7 |) e7 Q3. 阻滞增长模型（logistic模型）
[1]假设：
（a）人口增长率 为人口 的函数 （减函数），最简单假定 （线性函数）， 叫做固有增长率.
: n- t0 [# _* t% U（b）自然资源和环境条件年容纳的最大人口容量 .
[2]建立模型：
+ i6 |" m# @; Y8 j# k   当  时，增长率应为0，即 =0，于是 ，代入 得：
                                   （3）
将（3）式代入（1）得：
模型：                          （4）
6 W. O" {% w; v! u# D[3] 模型的求解：  解方程组（4）得             （5）
    根据方程（4）作出  曲线图，见图1，由该图可看出人口增长率随人口数的变化规律.根据结果（5）作出x-t曲线，见图2，由该图可看出人口数随时间的变化规律.  


2 R; i/ J. L# V' ?5 Y) j" u% Y8 O$ o


# Y# d2 Q2 n  ^

0 u: p  x. v, H7 r, R& l& w
9 R. {( I! T' W2 I
  g, c1 e/ ?/ n
' m( F! ~- C: K/ y5 z6 k  G[4] 模型的参数估计：
  A5 A& x# H0 |利用表1中1790—1980的数据对 和 拟合得： =0.2072,  =464.
[5] 模型检验：
- o5 d+ w- R9 H% B/ e将 =0.2072,  =464代入公式（5），求出用指数增长模型预测的1800—1990的人口数，见表3第3、4列.
: G6 c" s* ?+ i7 O9 C$ e" u! T5 P2 m也可将方程（4）离散化，得
      t=0,1,2,…,     (6)
, n" C7 E: d. h5 I! a/ v/ L. v  _用公式（6）预测1800—1990的人口数，结果见表3第5、6列.
9 ]2 V" ^& {0 A. m* B" u% f
表3  美国实际人口与按阻滞增长模型计算的人口比较

0 w8 Y# W! [' ?. z- {& o年
        实际
5 i7 ]! w! n9 z) O2 ^人口
(百万)        阻滞增长模型
8 O. {* U  q6 V, C                公式（5）        公式（6）
# Q* u5 n+ O& r7 D# N! Z                预测人口(百万)        误差（%）        预测人口(百万)        误差（%）
1 ~5 W2 V" v7 T) U5 t2 P1790        3.9                               
: l0 Y1 k3 u5 @1800        5.3        5.9025        0.1137        3.9000        0.2642
1810        7.2        7.2614          0.0085           6.5074        0.0962
1820        9.6        8.9332        0.0695        8.6810        0.0957
1830        12.9        10.9899        0.1481        11.4153        0.1151
# n1 q- ?; t: j" W/ j1840        17.1        13.5201        0.2094        15.1232        0.1156
* {$ ?; W! j$ L; N* c1850        23.2        16.6328        0.2831        19.8197        0.1457
/ d- a' f& V: m9 W1860        31.4        20.4621        0.3483        26.5228        0.1553
& A: d' @2 q6 U7 o1870        38.6        25.1731        0.3478        35.4528        0.0815
. S& T$ W: p- E' y0 g" U1880        50.2        30.9687          0.3831        43.5329        0.1328
1890        62.9        38.0986        0.3943        56.1884          0.1067
# C9 {6 y: ~0 Z5 T" W6 R: d) |1900        76.0        46.8699        0.3833        70.1459        0.0770
+ v5 w. H: Z2 B- P5 u1910        92.0        57.6607        0.3733        84.7305        0.0790
! V# Z1 Z( k+ q2 K: D1920        106.5        70.9359        0.3339        102.4626        0.0379
1930        123.2          87.2674        0.2917        118.9509          0.0345
1940        131.7        107.3588        0.1848        137.8810        0.0469
1950        150.7        132.0759        0.1236        148.7978          0.0126
8 f2 Y0 a3 e" T6 T1960        179.3        162.4835          0.0938        170.2765        0.0503
) {" j* {9 h& X! K- H( f  \  H' f1970        204.0        199.8919          0.0201        201.1772        0.0138
1980        226.5        245.9127        0.0857        227.5748        0.0047
1990        251.4        302.5288        0.2034        250.4488        0.0038
+ S9 A9 y* A* S8 u[6] 模型应用：
现应用该模型预测人口.用表1中1790—1990年的全部数据重新估计参数，可得 =0.2083,  =457.6. 用公式（6）作预测得：
x(2000)=275; x(2010)=297.9.
也可用公式（5）进行预测.

8 f7 Q: R. T+ }: t

2923153768

很好的帖子，支持一下。