微分方程模型

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微分方程模型

# [6 M1 j: T# p9 [& c2 r! R5.1 传染病模型7 |1 W  ]' W: ^- X5 _$ n. Y
9 f% V5 ~2 H) S( U5 H3 B/ \    本节是解决“传播”、“蔓延”微分方程问题的典例，模型分三部分层层递进：SI（只分为易感染着、已感染者），SIS（已感染者可以被治愈，重新变为易感染者），SIR（治愈后具免疫力，即增加了“移出者”）。可以说从基础模型到一步步递进，是对实际传染病情况的逐渐深入、全面的考虑，而其中的分析十分重要，也是本章分析得最细的章节。其中引入了“相轨线”分析法，是很有力的工具，后面多次用到，这一节有很详细的介绍。
: }8 f/ I; Y0 z6 O1 [2 s8 c! ^    模型改进、建模目的性、方法三者配合，是本节亮点。
5.2 经济增长模型: t0 I* T  t( c# L3 ]- ]1 v
. Z  B3 _8 u3 a% B    通过建立产值与1）资金；2）劳动力之间的关系，来研究1）资金与劳动力的最佳分配，使效益最大；2）如何调节资金、劳动力增长率，使劳动生产率有效增长。5 n8 L. i, \& h" l$ [" {6 w
' G8 _+ O: n. T" |5 y    本模型虽然不长，但推导出计量经济学一重要模型——Douglas生产函数。本节给出的模型推导稍繁，但结果简明，有合理解释。9 D4 @: u- p2 K) S- F$ c( r3 S* d
5.3 正规战与游击战
. V, C: k+ `& Z- y; D& {    这一节介绍了历史上用过的、经典的预测战争结局的数学模型，有传统正规战争、稍复杂的游击战，以及混合战。重点在于建模过程：如何描述战争双方的特性，如何作假设。然后用来分析硫磺岛战役。这节很好地体现了微分方程的强大。0 g6 ~% u+ }5 T5 ]% S
5 q/ I  B$ ^" {& Z+ x: A5.4 药物在体内的分布与排除  s  f; G) N5 V7 h1 t1 G
* Q! b/ P7 L! N1 m    本节建立了房室模型，研究血药浓度的变化过程，为制订给药方案、剂量大小提供数量依据。重点在于1）模型的假设：尽管是简化，但由临床试验证明是正确的，可以接受；2）对参数的估计。( C# c! @( h5 T; t! j0 _" c% g
* g  b* ^/ D. s$ y先由机理分析确定方程形式，再由测试数据估计参数。
8 d& P0 D8 q( L5 ]# k5.5 香烟过滤嘴的作用6 C& h7 Q+ q" O
5 [3 R) l4 y7 I* L4 n* X( c    看起来不易下手的一个问题，用恰当的假设，引入两个基本函数q,w,及物理学常用的守恒定律，建立出微分方程模型，从而构造动态模型。本例是经典的建模案例。
1 B4 k1 W  h8 q# e6 o5 \1 a5.6 人口的预测和控制- |* {, ?, r3 R" }& @: g
    本节模型与之前的区别在于：考虑年龄的分布，即除了时间外，年龄是另一个自变量。过程中重要的是数学公式中，系数、因子的实际含义要解释。) Q6 ^  p. B; J  O$ |
; V, v% d5 p0 Z% X% F0 Z8 g5.7 烟雾的扩散与消失
    这个模型巧妙地引入了“仪器灵敏度”指标，不仅帮助建模，而且该指标本身是客观存在的，并非虚构，这样更加有说服力。
# e4 _2 Y8 X; G. ^# M& s8 d+ t5.8 万有引力定律的发现& {) k9 k- J0 k/ N4 j
    十分有意义的一节。我们初中就熟悉的牛顿万有引力定律，是由开普勒第三定律和牛顿第二定律一同推导出的，这一节再现了这个推导过程。这个模型告诉我们：正确假设+用数学演绎建模=对自然科学研究的巨大作用。我们要学习科学家前辈们如何创造性地运用数学方法，来提升我们解决实际问题的能力。0 v