三次样条数据插值——spline

森之张卫东

命令4  interpft

功能  用快速Fourier算法作一维插值

格式  y = interpft(x,n)   %返回包含周期函数x在重采样的n个等距的点的插值y。若length(x)=m，且x有采样间隔dx，则新的y的采样间隔dy=dx*m/n。注意的是必须n≥m。若x为一矩阵，则按x的列进行计算。返回的矩阵y有与x相同的列数，但有n行。

y = interpft(x,n,dim)     %沿着指定的方向dim进行计算

命令5  griddata

功能  数据格点

格式  ZI =griddata(x,y,z,XI,YI)   %用二元函数z=f(x,y)的曲面拟合有不规则的数据向量x,y,z。griddata将返回曲面z在点（XI,YI）处的插值。曲面总是经过这些数据点（x,y,z）的。输入参量（XI,YI）通常是规则的格点（像用命令meshgrid生成的一样）。XI可以是一行向量，这时XI指定一有常数列向量的矩阵。类似地，YI可以是一列向量，它指定一有常数行向量的矩阵。

[XI,YI,ZI] =griddata(x,y,z,xi,yi)   %返回的矩阵ZI含义同上，同时，返回的矩阵XI,YI是由行向量xi与列向量yi用命令meshgrid生成的。

[…] = griddata(…,method)         %用指定的算法method计算：

                  ‘linear’：基于三角形的线性插值（缺省算法）；

                  ‘cubic’：基于三角形的三次插值；

                  ‘nearest’：最邻近插值法；

                  ‘v4’：MATLAB 4中的griddata算法。

命令6  spline

功能 三次样条数据插值

格式 yy =spline(x,y,xx)   %对于给定的离散的测量数据x,y（称为断点），要寻找一个三项多项式file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image002.png，以逼近每对数据(x,y)点间的曲线。过两点file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png和file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png只能确定一条直线，而通过一点的三次多项式曲线有无穷多条。为使通过中间断点的三次多项式曲线具有唯一性，要增加两个条件（因为三次多项式有4个系数）：

1．三次多项式在点file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png处有： file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image009.png；

2．三次多项式在点file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image006.png处有：file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image012.png；

3．p(x)在点file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png处的斜率是连续的（为了使三次多项式具有良好的解析性，加上的条件）；

4．p(x)在点file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image004.png处的曲率是连续的；

对于第一个和最后一个多项式，人为地规定如下条件：

                  ①．file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image015.png

                  ②．file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image017.png

                上述两个条件称为非结点(not-a-knot)条件。综合上述内容，可知对数据拟合的三次样条函数p(x)是一个分段的三次多项式：

                ，其中每段file:///C:/Users/lx/AppData/Local/Temp/msohtmlclip1/01/clip_image021.png都是三次多项式。

                该命令用三次样条插值计算出由向量x与y确定的一元函数y=f(x)在点xx处的值。若参量y是一矩阵，则以y的每一列和x配对，再分别计算由它们确定的函数在点xx处的值。则yy是一阶数为length(xx)*size(y,2)的矩阵。

pp =spline(x,y)   %返回由向量x与y确定的分段样条多项式的系数矩阵pp，它可用于命令ppval、unmkpp的计算。

例2-36

对离散地分布在y=exp(x)sin(x)函数曲线上的数据点进行样条插值计算：

    >>x= [0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20];  y = exp(x).*sin(x);

    >>xx= 0:.25:20;

    >>yy= spline(x,y,xx);

    >>plot(x,y,'o',xx,yy)

插值图形结果为图2-19。