有限元分析的一般步骤

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有限元分析的一般步骤

有限单元法的基本分析过程，概括起来可以分为以下六个主要步骤:

（1）结构离散化

结构离散化简要地解释，就是把所分析的结构物离散为有限数目单元体，把节点设置在单元体的指定点，单元的集合体就是由相邻单元体在节点处连接起来组成，用来替代原来的结构。有限元分析第一步就是结构离散化，也就是通常说的网格划分，有限元计算结果的准确度和计算时间的长短都会受到它的影响，主要包括以下两个方面内容：

①选择单元类型。通常依据所要解决问题类型，结合分析单元节点数、单元形状和节点自由度等三部分内容，来达到选定单元类型。

②划分单元。划分单元需要注意以下几点：a.单元的形状应该尽可能是相对规则的正多面体或正多边形，比如矩阵的单元长度应该相近，三角形单元的三边尽可能要相等，而且三个内角没有钝角；b. 计算结果如果要越精确，网格划分就需要越细，但是同时节点数目也就越多，而且当网格细化到一定的程度后，计算结果精度的提高就不那么明显了，所以一味地细化只会增加计算的时间，计算的一些次要部位无需细化网格；c.单元的节点应该与它相邻单元节点互相连接，不应该落在单元边上。  

（2）选择位移模式

对于连续体问题，为了能用节点位移表示单元体的位移、应力和应变，必须假设位移是坐标的某一种简单函数，这种函数称为位移函数或者位移模式。通过位移函数以及节点位移可以推导出单元内任何一点位移，有限元接触计算方法主要有三种：拉格朗日算法、罚函数算法和增广拉格朗日算法，正确使用这些算法可以帮助我们有效的解决各种接触问题分析。①拉格朗日算法能自动实现零穿透的真实接触条件，但需要了解接触的准确位置，并且对两个接触面间的直接相对运动有限制。②罚函数算法需定义一个法向接触刚度因子，允许接触面之间有初始渗透量，但选取法向接触刚度因子难度大，选不当会导致计算出错。③增广拉格朗日算法具有前面二者的优点，是先确定法向刚度因子一个初值，然后通过迭代求解，直接求出符合渗透值小于最大允许渗透值的法向接触刚度因子，最后进行接触应力求解。基于齿轮实际接触情况，本文选择常用的增广朗格朗日算法进行接触分析，可以满足实际的接触分析计算要求。

（4）计算等效节点力

作为实际的连续体，力是从单元的公共边界传递到另一个单元的，但是在弹性体被离散化后，假定力是通过节点从一个单元传递到另一个单元。所以需要将作用于单元边界的表面力及作用于单元的体积力、集中力等效转移到节点上。转移的方法是按虚功等效原则进行的。

（5）集合所有的单元刚度方程，获得整个结构平衡方程

集合过程包含两个方面内容：一方面把作用在每个单元的等效节点力的列阵集合组成总的载荷列阵；另一方面利用每个单元的刚度矩阵的集合组成整个物体的整个刚度矩阵。通常集合依据的理由就是需要每个相邻单元在它们公共节点处具有相等位移。

（6）求解未知节点的位移及计算单元的应力

根据集合得到的整个结构的平衡方程组，求解得到未知位移。对于线性平衡问题，可以根据方程组的具体特点选择恰当的计算方法。在非线性问题中，则要通过一系列的步骤，并逐步修正载荷列阵或者刚度矩阵，才可以获得求解。最终，就能通过公式和已经求出的节点位移来计算各个单元的应力，并加以整理得出所要求的结果。

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