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[其他经验] 三级倒立摆系统微分方程

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三级倒立摆系统微分方程

本文采用分析力学中的Lagrange 方程建立三级倒立摆系统的微分方程。首先，对系统作如下假设：

1) 小车、一级摆杆、二级摆杆和三级摆杆及各摆杆间的质量块都是刚体。

2) 皮带轮与皮带间无相对滑动，皮带不能拉伸变长。

3) 小车与导轨之间的摩擦力与小车速度成正比。

4) 各级摆杆与转轴间的转动摩擦力矩与摆杆的角速度成正比。

在建立被控对象的数学模型时，一般采用牛顿力学的方法，采用牛顿力学定律来推导三级倒立摆系统的数学模型，首先分析小车和各个摆体的受力情况，然后列出小车和各个摆体在X方向和Y方向的运动方程，以及各摆体相对各个转轴处的转动力矩平衡式，再通过求解各摆体运动方程和各个转轴处的转动力矩平衡方程，得到倒立摆系统的数学模型。不难看出，此法分析复杂，而且要计算大量的微分方程组。

本文采用分析力学中的Lagrange方程来建立倒立摆系统的数学模型。其基本假设为:一、二、三级摆体视为刚体。各部分的摩擦力(力矩)与相对速度(角速度)成正比。施加在小车上的驱动力与加在功率放大器上的输入电压成正比,并且无延时地施加到小车上。皮带轮与传送带之间无滑动,转送带无伸长现象。于是对于同时受到保守力和耗散力作用的倒立摆系统，应用欧拉－拉格朗日原理。

利用倒立摆系统在平衡位置的线性状态方程，分析了倒立摆系统的能控性、能观性和相对能控度。一般情况下，倒立摆系统均是能控的。相对能控性与系统本身的特性有关，主要是倒立摆摆杆的长度及其相对比例，转动惯量的大小及其相对比例，其相互之间的关系需要加以进一步的研究。

线性二次型调节器(LinearQuadratic Regulator —LQR) 问题在现代控制理论中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重视，应用十分广泛，是现代控制理论的中最重要的成果之一。线性二次型(LQ) 性能指标易于分析、处理和计算,而且通过线性二次型最优设计方法得到的倒立摆系统控制方法,具有较的鲁棒性与动态特性以及能够获得线性反馈结构等优点,因而在实际的倒立摆控制系统设计中,得到了广泛的应用。如果该系统受到外界干扰而偏离零状态，应施加怎样的控制U ，才能使得系统回到零状态附近并同时满足J达到最小，那么这时的U 就称之为最优控制。

zan

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