最短路径算法的弗洛伊德算法的数学归纳法冥想证明 Version 1.0

释永思

最短路径算法的弗洛伊德算法的数学归纳法冥想证明 Version 1.0
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7 Q' M9 p: \3 f# S  z4 k. R0 |$ ?                                作者：李均宇（李恒星）  2015.09.07
+ j3 N  }) D+ M8 z
) \" S# v$ d, A3 M   我二十年前已了解迪杰斯特拉算法，最近忽有兴趣开发了一款最短路径算法小软件EXE，了却二十年前的心愿。余庆未了，网上了解了还有多种方法，如A-Star,johnson,bellman,SPFA等算法，其中最感兴趣的是弗洛伊德算法。百度了，看了很多源码，大同小异。但对弗洛伊德算法原理，网上讲的，我看后也觉似懂非懂。利用抗战70周年纪念日放假期间，我闭关冥想，想到了N步的方法，但冥想出来的源码，总比网上讲的多一层循环。于是继续冥想，想到了要用数学归纳法来证明弗洛伊德算法。百度下，好似网上暂没这方面资料，于是共享出来，与诸君分享，不知对错也，网上讲到的什么迭代法，总是不太对似的，弗法可能并没有这么简单的：
假设顶点数为N，
5 s. Y3 _" \7 B& t5 b7 F+ J% n% q    N=4，5，6时，具体的弗法正确性，我就不想验证了。
假设N<=n时，弗法是正确的，如何证明N=n+1时，弗法仍是正确的？
    先研究下N=n弗法正确时的特性。
8 {( P% {0 p6 PN=n时，所有的n个顶点两两组合的边D[i,j]，不论虚边实边（直接的称实边，要通过其他顶点的叫虚边，我如此定义先），全部有值，且为最小值最短路径。N<n时，也就是最外层循环，每到一个值K时，此值K的弗法全是正确。
2 ]% E& |0 N$ P$ W* T( X当N=n+1时，新加一点，称最后一点K。
令最后一点K总在循环中排在最后一位，三重循环中都是排在最后一位。
令最外层循环为k,中间层循环为j，最内层循环为i。
定理一：
   最后一点k若改变i与j之距D[i,j]，则所有经过i与j之最短路必同步更新且不分先后。
证明：
" m3 v9 P- {5 q) b, p  假设点x经过最短路径D[i,j]，D[i,x]=D[i,j]+D[j,x]或D[i,x]=D[i,j]-D[j,x]。
% V2 \- J! `) ~, X# aD[i,j]已被替换成为了D[i,k]+D[j,k]，而D[j,k]+D[j,x]>=D[k,x]或D[j,k]+D[j,x]>=D[k,x].
所以D[i,x]>=D[i,k]+D[k,x]，所以x点必被更新，也就是执行松驰操作。
) M) t3 N5 ~3 k. r# o$ F# o" S定理二：
1 x, m: k4 |6 o+ M' O   最后一点k若改变i与j之距D[i,j]，则经过i与j之最短路必不经过最后一点k。
证明：
   由定理一知，如果经过最后一点k，则D[i,k]本身要变，但正是用D[i,k]来执行松驰操作的，所以矛盾。
. f) C. E: W! i
定理四：
   最后一点k与任一点之连线D[i,k]或D[j,k]必非无穷大，即必已连接(不论虚边实边)。
证明：
   k为最内层循环点最后一位。取i,j最小者位于中间层循环，最大者位于最外层循环。
2 O1 U( z2 Q7 W4 d  e; h3 T此为max(i,j)<n之弗法，弗法已假设N<=n时全成立，现在求证N=n+1时情况。
可知i,j必连通,即D[i,j]必非无穷大。
D[i,k],D[j,k]两个不可能都是无穷大，这可以取min(i,j)来递归而知,min迭代到一条实边则可止，或本身数学归纳法内部要嵌套另一个数学归纳法来证明其中小引理。
即知D[i,k],D[j,k]必有一个是连通的，D[i,j]也是连通的，从而三点必全连通，必非无穷大。
定理五：
   与k相连已经全是最短路。
2 c/ @0 y' }' F, Q7 w" E7 ^* O; a9 d2 ?% f证明：
   因为与最后一点k相连的，全部没有变动，全部已非无穷大，所以经过k点的必是最短路。
! u' o& T/ V' h8 l2 R3 w
所以新增一点k，由定理五知，当最外层循环到最后一位k时，所有经过k点的已是最短路。
所有对原来N=n时的弗法最短路的调整松弛操作，全能同步更新经过相关点的最短路，也就是原来的n个点的弗法，后来仍是最短路。
则N=n+1时，全部三重循环后，全部仍是最短路。
由数学归纳法知，三重循环的弗洛伊德算法是正确的。
0 q& ~: i6 z, ?3 w1 u///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
关于弗洛伊德算法的新证明：2015.09.23
% N, V2 N3 u3 L/ p( K, W+ w
. d# q, ^6 R0 \% S6 h' ^* }经过弗法的三重循环后，任意两点之间的距离已是最短路。
2 C( b/ n, ^, D. V2 {仍用数学归纳法，假设N <= n时，弗法是正确的，要证明，N = n+1时，弗法仍是成立的。
9 `: P  `7 T: I! C设k = n+1是最后一点。
如果任意两点间的最短路径结过的顶点数是小于k的，那么根据假设知弗法正确是最短路的。
4 |/ K4 Y9 L% Y5 C0 A如果任意两点间的最短路径结过的顶点数是等于k的。那么知摘去最后3个顶点即只剩下(k-3)个点时，是N <= n的情形。
起点是a点,终点是b点,与k点直接相连的是c点,d点 。
8 I" U1 S3 g4 s2 D$ j& U# ]当最外层第三重循环循环到最后三点k,c,d时，ac,bd已经连通了是N <= n的弗法情形。
k,c,d三点，无论哪个是先是后的组合，都必定能够令ab连通且最短路。
' l9 j! p$ d& R# y: J  T+ z# B8 r例如k点连通cd，c点连通ad,d点连通ab。
3 K7 m" k" Z+ R, b又如c点连通ak（ck不用c点连通，因为原始边长早已有数值早已连通）,k点连通ad,d点连通ab。
8 u1 ~6 ^* N1 b6 l所以命题得证。



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我的头大啊

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