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2015 CUMCM 思路解析与要点点评

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发表于 2015-9-14 19:34 |显示全部楼层

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A题 太阳影子定位（bk1）

by magic2728

如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，太阳影子定位技术就是通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。（bk1’，imp1）

1.建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应用你们建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。（spm1，f1，定关系）

2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点。（spm2，f1，参数估计，对损失函数的优化问题）

3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地点与日期。（spm3，f1，增加一个带估参数）

4．附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直杆的高度为2米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个可能的拍摄地点。（spm4，f2，多一层函数关系）

如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？（spm4’，参数变变量，推广为多变量方程）

思路点评：

纯物理机理建模，辅助数据分析帮助确定参数，甚至一定程度取代机理推导。此题重点在于对于函数关系的形式建立以及参数估计，用到的方法是基本的机理建模和数据参数估计方法，只要清晰分析每一个步骤，应该能清晰漂亮地解决上述问题。

1. 影子成因的因果关系为：l = f（经纬度位置p，杆子高度h，太阳高度角a），故l = fp，h（a（t））。其中太阳高度角是时间t的函数，前两个为给定参数（题目中有给），t可以理解为唯一的变量；f应该只要一些基本的几何知识就能解决了。注意一些诸如杆子和地球表面垂直，地球是严格球体，运动轨迹等等方面的简化假设，方便问题处理，同时抓住关键；

2. 数据格式是l，t两个变量的列表，未知参数为p，h，如果数据与函数关系f严格准确，按理来说应该只需要两组l，t即可解方程得到，但是二者都是有误差的，我们的目标是:

min（p， h）sum(（l – f（p，h，t）） ^ 2)；

用的标准的平方损失函数，f由于可能不是线性的，p，h不像线性最小二乘那么方便解，故可以最速梯度下降，Monte Carlo 模拟，或者综合的只能算法解决。

题目既然提到了多个可能的位置，明显的多个局部最优解，都列出来就好。

3. 稍微复杂一点，t没有完全给出，而是t = 日期d + t0，则t0已经给出而多了d这个待估参数后才能带回原函数中使得其可解：

min（p， h， d）sum(（l – f（p，h，d + t0）） ^ 2)；

多了一个维度的优化问题。

4. 又改变了一下函数形式，h已知了，p，t未知（前一小问还知道日期），同时还增加了一个对应关系ls = g（l， ps），影子长度和视频拍摄相对位置共同决定了视频中的影子长度（本质是同一摄影垂直面上任一物体实际长度和拍摄出来的长度成正比），而拍摄地点和杆子地点近似相同，故，优化问题变为：

min（p, (d)）int(（ls – g(f（p，2，d + t0）, ps)） ^ 2);

其中，d要第二小问才需要估计，而t0为已知参数，ps可以参考已知的2m杆子得到（正比关系解出来），剩下的一切就水到渠成了。

（4.可能略有出入，还没看到具体视频，不过大同小异啦）

综合来看，这是一道物理背景的优化问题，而且存在从求解目标值到损失函数优化问题的转化，其中函数的精确建立（关系函数f和损失函数）以及优化的求解时两个重点，选其一作为论文的亮点，就是一篇好论文。