[转]模拟退火算法-TSP问题

我要吃章鱼丸子

模拟退火算法-TSP问题作者coder


# ]( u$ P$ }  H& U2 B) @% r
( k" ?! M6 Z0 g1 c. b# r
0 B# y0 j9 x1 I: |. C# S

0 K+ P( F9 u0 G, {% j; C) y

求某些最优化问题的最优解是一个极其困难的任务。这是因为当一个问题变得足够大时，我们需要搜索一个巨大数量的可能解，从而找到最优的解决方案。在这种情况下，就不能指望找到一个最优函数在一个合理的时间内解决问题，应该尝试找到一个近似解。

一个经典的案例是：旅行商问题( TSP , Traveling Salesman Problem ) ：有N个城市，要求从其中某个问题出发，唯一遍历所有城市，再回到出发的城市，求最短的路线。使用模拟退火算法可以比较快的求出TSP的一条近似最优路径。（和遗传算法求解TSP类似，前面的文章已做介绍）。

模拟退火是什么?
; x2 C6 }8 T1 T" k9 L( ?! }7 o首先,让我们看看模拟退火是如何工作的,以及为什么它是善于解决旅行商问题。模拟退火（Simulated Annealing，简称SA）是一种通用概率算法，用来在一个大的搜寻空间内找寻命题的最优解。该算法是源于对热力学中退火过程的模拟，在某一给定初温下，通过缓慢下降温度参数，使算法能够在多项式时间内给出一个近似最优解。退火与冶金学上的‘退火’相似，而与冶金学的淬火有很大区别，前者是温度缓慢下降，后者是温度迅速下降。我们将热力学的理论套用到统计学上，将搜寻空间内每一点想像成空气内的分子；分子的能量，就是它本身的动能；而搜寻空间内的每一点，也像空气分子一样带有“能量”，以表示该点对命题的合适程度。算法先以搜寻空间内一个任意点作起始：每一步先选择一个“邻居”，然后再计算从现有位置到达“邻居”的概率。

模拟退火的优点
+ B$ _& N) c1 H/ N" r9 Y" }先来说下爬山算法(以下参考：大白话解析模拟退火算法)：爬山算法是一种简单的贪心搜索算法，该算法每次从当前解的临近解空间中选择一个最优解作为当前解，直到达到一个局部最优解。爬山算法实现很简单，其主要缺点是会陷入局部最优解，而不一定能搜索到全局最优解。如图1所示：假设C点为当前解，爬山算法搜索到A点这个局部最优解就会停止搜索，因为在A点无论向那个方向小幅度移动都不能得到更优的解。爬山法是完完全全的贪心法，每次都鼠目寸光的选择一个当前最优解，因此只能搜索到局部的最优值。

) I& W  ~& f( q4 g+ c模拟退火其实也是一种贪心算法，但是它的搜索过程引入了随机因素。模拟退火算法以一定的概率来接受一个比当前解要差的解，因此有可能会跳出这个局部的最优解，达到全局的最优解。以图1为例，模拟退火算法在搜索到局部最优解A后，会以一定的概率接受到E的移动。
也许经过几次这样的不是局部最优的移动后会到达D点，于是就跳出了局部最大值A。
模拟退火算法描述：
( c& L4 Q1 ^  P若J( Y(i+1) )>= J( Y(i) )  (即移动后得到更优解)，则总是接受该移动
2 x: t9 G0 h8 m$ A! o- m" G) J若J( Y(i+1) )< J( Y(i) )  (即移动后的解比当前解要差)，则以一定的概率接受移动，而且这个概率随着时间推移逐渐降低（逐渐降低才能趋向稳定）
9 x; P) n' B& s( Z% I这里的“一定的概率”的计算参考了金属冶炼的退火过程，这也是模拟退火算法名称的由来。
( t5 O: `! F8 W3 \" f根据热力学的原理，在温度为T时，出现能量差为dE的降温的概率为P(dE)，表示为：
　P(dE) = exp( dE/(kT) )
* G$ P' @; |+ F( K其中k是一个常数，exp表示自然指数，且dE<0。这条公式说白了就是：温度越高，出现一次能量差为dE的降温的概率就越大；温度越低，则出现降温的概率就越小。
& N$ V, H1 j- @4 V9 O  J3 t又由于dE总是小于0（否则就不叫退火了），因此dE/kT < 0 ，所以P(dE)的函数取值范围是(0,1) 。
/ A8 y) r8 v- d! r- a随着温度T的降低，P(dE)会逐渐降低。我们将一次向较差解的移动看做一次温度跳变过程，我们以概率P(dE)来接受这样的移动。
7 `; s% r; q: n" P1 [4 X关于爬山算法与模拟退火，有一个有趣的比喻：
" S. M6 E% Y8 O9 h3 B& R. R爬山算法：兔子朝着比现在高的地方跳去。它找到了不远处的最高山峰。但是这座山不一定是珠穆朗玛峰。这就是爬山算法，它不能保证局部最优值就是全局最优值。
模拟退火：兔子喝醉了。它随机地跳了很长时间。这期间，它可能走向高处，也可能踏入平地。但是，它渐渐清醒了并朝最高方向跳去。这就是模拟退火。

接受函数
" C( M) [: r  U3 q: x6 r# q& s接受函数决定选择哪一个解决方案，从而可以避免掉一些局部最优解。
: T; s1 j: i3 q  Y( Y9 P) ~  W首先我们检查如果相邻的解决方案是比我们目前的解决方案好，如果是，我们接受它。否则的话，我们需要考虑的几个因素：
& o& S! |. B; H+ v. Q1) 相邻的解决方案有多不好; 2) 当前的温度有多高。在高温系统下更有可能接受较糟糕的解决方案。
这里是简单的数学公式：exp( (solutionEnergy – neighbourEnergy) / temperature )，即上面的　P(dE) = exp( dE/(kT) )
算法过程描述
1) 首先,需要设置初始温度和创建一个随机的初始解。
5 j4 l6 v4 M) I) ?6 m- B2) 然后开始循环,直到满足停止条件。通常系统充分冷却,或找到一个足够好的解决方案。
3) 把当前的解决方案做一些小的改变，然后选择一个新的相邻的方案。
2 P( v# d) _" I1 G) B3 I  o- k, _9 a4) 决定是否移动到相邻的解决方案。
5) 降低温度,继续循环
样例代码
7 k2 w0 T, p9 R) N& l  W以TSP问题为例，城市坐标的分布如下所示：

代码以用Java编写。首先创建一个城市类City.java

[size=1em][size=1em]

01	package sa;

0 q+ p, _- o8 k; w[size=1em]

02

[size=1em]

03	public class City {

[size=1em]

04

int x;

  U6 C' G2 C" h; D$ @[size=1em]

05

int y;

[size=1em]

06

[size=1em]

07	// 生成一个随机的城市

[size=1em]

08	public City(){

[size=1em]

09	this.x = (int)(Math.random()*200);

; U# Y. s  s3 B/ F# C- Y6 }7 [+ ~0 Z1 a[size=1em]

10	this.y = (int)(Math.random()*200);

[size=1em]

11

}

[size=1em]

12

" f6 N2 [5 u4 a- t: s[size=1em]

13	public City(int x, int y){

[size=1em]

14	this.x = x;

[size=1em]

15	this.y = y;

4 K: L# _* p( F* \# o: v[size=1em]

16

}

[size=1em]

17

[size=1em]

18	public int getX(){

[size=1em]

19	return this.x;

[size=1em]

20

}

[size=1em]

21

[size=1em]

22	public int getY(){

[size=1em]

23	return this.y;

6 [1 L3 {. N4 q8 M8 s! I3 p# O/ S[size=1em]

24

}

[size=1em]

25

[size=1em]

26	// 计算两个城市之间的距离

[size=1em]

27	public double distanceTo(City city){

[size=1em]

28	int xDistance = Math.abs(getX() - city.getX());

[size=1em]

29	int yDistance = Math.abs(getY() - city.getY());

4 d7 j' l1 L8 o0 w7 _[size=1em]

30	double distance = Math.sqrt( (xDistance*xDistance) + (yDistance*yDistance) );

' B1 R9 ^' z& D! f[size=1em]

31

[size=1em]

32	return distance;

[size=1em]

33

}

[size=1em]

34

[size=1em]

35

@Override

* P9 ?  \, c4 [4 ^  q, M* t, b" p. p8 _[size=1em]

36	public String toString(){

& |; U2 P# o$ a. x4 Q[size=1em]

37	return getX()+", "+getY();

9 B1 U8 A# s; [, p[size=1em]

38

}

5 {; {( [! I( T" v! V4 B3 s& t[size=1em]

39

}

- ?. c# v* `6 j( [) i5 G

' x/ @7 l; }. _) n% j2 U$ T

Tour类，代表一个解决方案，即旅行的路径。

[size=1em][size=1em]

01	package sa;

[size=1em]

02

[size=1em]

03	import java.util.ArrayList;

; |: h6 C3 T7 c: S* X[size=1em]

04	import java.util.Collections;

; Z6 h3 a3 w+ F% m5 E7 q[size=1em]

05

[size=1em]

06	public class Tour{

[size=1em]

07

* I1 W1 {2 e  r9 A' ~[size=1em]

08	// 保持城市的列表

. E. M. \0 J" k6 c% m: B[size=1em]

09	private ArrayList tour = new ArrayList<City>();

[size=1em]

10

// 缓存距离

[size=1em]

11	private int distance = 0;

9 }" M/ R: _8 m8 v- Q4 M! s  d' C[size=1em]

12

6 P* Q$ {: [$ s, h4 r! G[size=1em]

13	// 生成一个空的路径

1 B* }* Z: W5 n8 _[size=1em]

14	public Tour(){

[size=1em]

15	for (int i = 0; i < SimulatedAnnealing.allCitys.size(); i++) {

[size=1em]

16	tour.add(null);

/ y# C6 V2 ]2 j/ d3 j3 \/ @[size=1em]

17

}

[size=1em]

18

}

" X4 Q3 H+ t, J) s* l! Z6 ?8 ][size=1em]

19

[size=1em]

20

// 复杂路径

( T( n  e! P/ ]: w3 H' Q[size=1em]

21	public Tour(ArrayList tour){

# D% J3 y! Z. I+ G[size=1em]

22	this.tour = (ArrayList) tour.clone();

[size=1em]

23

}

[size=1em]

24

[size=1em]

25	public ArrayList getTour(){

$ f' Z/ s) ]1 S[size=1em]

26	return tour;

3 {  _, S6 x: i$ X[size=1em]

27

}

) |5 J' @" O$ B' }: g[size=1em]

28

. L% R  J* }. c- v& o[size=1em]

29	// Creates a random individual

[size=1em]

30	public void generateIndividual() {

! Y# F3 h$ p( f# m+ S! B[size=1em]

31	// Loop through all our destination cities and add them to our tour

[size=1em]

32	for (int cityIndex = 0; cityIndex < SimulatedAnnealing.allCitys.size(); cityIndex++) {

[size=1em]

33	setCity(cityIndex, SimulatedAnnealing.allCitys.get(cityIndex));

6 D2 M5 I# k: {[size=1em]

34

}

[size=1em]

35

// 随机的打乱

( R0 J; {8 t2 Z# E# r, l, G[size=1em]

36	Collections.shuffle(tour);

) T- a6 x) U3 d[size=1em]

37

}

[size=1em]

38

! q; @/ \+ H5 \. O' x7 f[size=1em]

39

// 获取一个城市

$ S% p1 H! C+ q+ X" B% G[size=1em]

40	public City getCity(int tourPosition) {

% ^4 i' y# Z5 e, p+ p0 Q* q[size=1em]

41	return (City)tour.get(tourPosition);

$ u- v% h$ P" }: L1 o- C. I[size=1em]

42

}

[size=1em]

43

% \. r0 l0 _, Z* f- g9 I[size=1em]

44	public void setCity(int tourPosition, City city) {

[size=1em]

45	tour.set(tourPosition, city);

[size=1em]

46

// 重新计算距离

[size=1em]

47	distance = 0;

[size=1em]

48

}

+ V/ B+ |9 G9 ~# Y. N[size=1em]

49

[size=1em]

50	// 获得当前距离的 总花费

9 \/ }1 [# N: X5 l5 M: N$ W" R[size=1em]

51	public int getDistance(){

[size=1em]

52	if (distance == 0) {

[size=1em]

53	int tourDistance = 0;

[size=1em]

54	for (int cityIndex=0; cityIndex < tourSize(); cityIndex++) {

0 l0 q. Q" b8 c* ?1 P0 h7 H7 o[size=1em]

55	City fromCity = getCity(cityIndex);

[size=1em]

56	City destinationCity;

[size=1em]

57	if(cityIndex+1 < tourSize()){

[size=1em]

58	destinationCity = getCity(cityIndex+1);

( S  _- J; l2 r  M+ A- t1 o3 k. V[size=1em]

59

}

' @4 r) g# U. p& B% o[size=1em]

60

else{

[size=1em]

61	destinationCity = getCity(0);

9 ^8 f1 |% t9 @; {( M8 F[size=1em]

62

}

+ |0 i- U% @" E6 k[size=1em]

63	tourDistance += fromCity.distanceTo(destinationCity);

  _- g$ I" S) n, t[size=1em]

64

}

[size=1em]

65	distance = tourDistance;

[size=1em]

66

}

[size=1em]

67	return distance;

$ a; q0 K1 @3 y- z- `$ m[size=1em]

68

}

3 Y( X) B7 S- v/ i[size=1em]

69

8 i9 w+ w/ o  y' M[size=1em]

70	// 获得当前路径中城市的数量

[size=1em]

71	public int tourSize() {

[size=1em]

72	return tour.size();

7 t+ G7 H; n' N( T* F/ l[size=1em]

73

}

5 c) b, r! l5 P$ _# R# t. Z1 N9 X( D[size=1em]

74

# G, d' X  o* T[size=1em]

75

@Override

( B7 |. E3 Y0 Z/ ^+ N3 }[size=1em]

76	public String toString() {

6 S4 C1 b8 w3 q+ \[size=1em]

77	String geneString = "|";

, ?" F3 u1 T  L/ O[size=1em]

78	for (int i = 0; i < tourSize(); i++) {

[size=1em]

79	geneString += getCity(i)+"|";

[size=1em]

80

}

6 K& X% e, c! t9 y* U[size=1em]

81	return geneString;

7 j7 _. ?* L/ N[size=1em]

82

}

/ O* r3 I& I' _; y[size=1em]

83

}

最后是算法的实现类，和相应的测试

[size=1em][size=1em]

001	package sa;

[size=1em]

002

, {* a3 _* P2 v6 Y2 T[size=1em]

003	import java.util.ArrayList;

! g5 V1 x- S8 `+ g; G1 `8 H- b[size=1em]

004	import java.util.List;

- k# {: W/ L, _# V[size=1em]

005

[size=1em]

006	public class SimulatedAnnealing {

4 Z' P/ [, p: ?- F& v: \% ?" C0 n[size=1em]

007

[size=1em]

008	public static List<City> allCitys = new ArrayList<City>();

[size=1em]

009

[size=1em]

010	//计算 接受的概率

[size=1em]

011	public static double acceptanceProbability(int energy, int newEnergy, double temperature) {

[size=1em]

012	// 如果新的解决方案较优，就接受

[size=1em]

013	if (newEnergy < energy) {

* o0 {6 ]7 ]. G! {; y6 _3 G( t4 C5 T[size=1em]

014	return 1.0;

/ A3 I9 w: o/ q0 w: I0 @4 l" n, U[size=1em]

015

}

9 j- v( M+ ]* H, |' U% L2 W$ p. \[size=1em]

016	return Math.exp((energy - newEnergy) / temperature);

0 \, e: b# q4 a8 E5 w/ m) e8 L[size=1em]

017

}

[size=1em]

018

7 D0 j- Z$ ^9 _) u1 Z1 g[size=1em]

019	public static void main(String[] args) {

' O+ U) H+ f& v1 g! x: z[size=1em]

020	// 创建所有的城市城市列表

[size=1em]

021

init();

6 z5 F& Q* P5 H9 \[size=1em]

022	Tour best = sa();

" J& P# I# h) Z) y7 C$ h+ a[size=1em]

023	System.out.println("Final solution distance: " + best.getDistance());

[size=1em]

024	System.out.println("Tour: " + best);

% T5 m; ^% e$ v- w; b) c- C/ V+ y[size=1em]

025

}

[size=1em]

026

) M. _/ N2 r+ K, p8 c& P$ I# [[size=1em]

027	//返回近似的 最佳旅行路径

# a3 A+ n- e. w4 }9 Q5 W; c[size=1em]

028	private static Tour sa() {

[size=1em]

029

// 初始化温度

[size=1em]

030	double temp = 10000;

[size=1em]

031

; {0 P1 M& _4 x( j[size=1em]

032

// 冷却概率

[size=1em]

033	double coolingRate = 0.003;

: J0 k' x) }! k+ F' y5 w[size=1em]

034

' z  o. {) h! X- r* L[size=1em]

035	// 初始化的解决方案

[size=1em]

036	Tour currentSolution = new Tour();

$ R7 W- c# I  D[size=1em]

037	currentSolution.generateIndividual();

[size=1em]

038

) r! a. E6 c  k8 _[size=1em]

039	System.out.println("Initial solution distance: " + currentSolution.getDistance());

[size=1em]

040

! w) {0 c1 i1 T5 a1 l[size=1em]

041	// 设置当前为最优的方案

1 V: Z4 R, [% e# l0 s: v  D. X[size=1em]

042	Tour best = new Tour(currentSolution.getTour());

0 h; t2 c: A$ {: Q2 Y[size=1em]

043

[size=1em]

044	// 循环知道系统冷却

[size=1em]

045	while (temp > 1) {

+ u# n8 w1 [7 s[size=1em]

046

// 生成一个邻居

[size=1em]

047	Tour newSolution = new Tour(currentSolution.getTour());

[size=1em]

048

[size=1em]

049

// 获取随机位置

[size=1em]

050	int tourPos1 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());

2 `, K& I' V* U, j[size=1em]

051	int tourPos2 = (int) (newSolution.tourSize() * Math.random());

7 \+ A; R: |, ~8 i0 H[size=1em]

052

[size=1em]

053	City citySwap1 = newSolution.getCity(tourPos1);

[size=1em]

054	City citySwap2 = newSolution.getCity(tourPos2);

[size=1em]

055

8 l* ~) y8 z- Z9 A[size=1em]

056

// 交换

) u' ^  y% @; e  U0 k1 G) t[size=1em]

057	newSolution.setCity(tourPos2, citySwap1);

[size=1em]

058	newSolution.setCity(tourPos1, citySwap2);

) _! c, w! [1 g& V$ U9 b& `[size=1em]

059

  f: c. l  [# ?  \9 y3 _[size=1em]

060	// 获得新的解决方案的花费

[size=1em]

061	int currentEnergy = currentSolution.getDistance();

/ u6 w4 t; F# W( N. l1 n[size=1em]

062	int neighbourEnergy = newSolution.getDistance();

! K; L1 i* Q. E* ~. K5 U- I[size=1em]

063

+ ~4 I/ q/ {2 P0 `2 Q: R[size=1em]

064	// 决定是否接受新的 方案

" Z( P" ^, Y4 U, M7 ?[size=1em]

065	if (acceptanceProbability(currentEnergy, neighbourEnergy, temp) > Math.random()) {

$ [9 o7 l5 z% K9 F" I[size=1em]

066	currentSolution = new Tour(newSolution.getTour());

[size=1em]

067

}

[size=1em]

068

' l$ A6 @( n% m- q- @# c; g0 }5 ?[size=1em]

069	// 记录找到的最优方案

[size=1em]

070	if (currentSolution.getDistance() < best.getDistance()) {

[size=1em]

071	best = new Tour(currentSolution.getTour());

[size=1em]

072

}

[size=1em]

073

2 T, _8 k' M0 j: z0 ~[size=1em]

074

// 冷却

% n: ~. f3 p" W! c- [( l% ?[size=1em]

075	temp *= 1-coolingRate;

[size=1em]

076

}

6 z4 l: ~: s8 Y0 @[size=1em]

077	return best;

1 m  ~# [( H5 N6 k" a( ~& j5 J1 D[size=1em]

078

}

[size=1em]

079

[size=1em]

080	private static void init() {

0 Z0 e1 s2 J! ?[size=1em]

081	City city = new City(60, 200);

[size=1em]

082	allCitys.add(city);

[size=1em]

083	City city2 = new City(180, 200);

[size=1em]

084	allCitys.add(city2);

$ a- B9 |5 ]) J, \1 Z[size=1em]

085	City city3 = new City(80, 180);

[size=1em]

086	allCitys.add(city3);

[size=1em]

087	City city4 = new City(140, 180);

[size=1em]

088	allCitys.add(city4);

7 k2 u# Z" U* t) b) b$ {[size=1em]

089	City city5 = new City(20, 160);

1 k# [/ @6 U7 q- F[size=1em]

090	allCitys.add(city5);

[size=1em]

091	City city6 = new City(100, 160);

[size=1em]

092	allCitys.add(city6);

: U! k; G" B! K$ j8 ~5 E[size=1em]

093	City city7 = new City(200, 160);

[size=1em]

094	allCitys.add(city7);

) s' E4 c4 M6 @* D) g; @/ Z[size=1em]

095	City city8 = new City(140, 140);

[size=1em]

096	allCitys.add(city8);

[size=1em]

097	City city9 = new City(40, 120);

& O! p) s( w+ A% A[size=1em]

098	allCitys.add(city9);

[size=1em]

099	City city10 = new City(100, 120);

$ m# y- A% N0 k) q[size=1em]

100	allCitys.add(city10);

+ x- U) P# f9 k, r6 g. S. F[size=1em]

101	City city11 = new City(180, 100);

6 _9 R+ B5 {+ h2 f7 k! e: r6 z6 S[size=1em]

102	allCitys.add(city11);

[size=1em]

103	City city12 = new City(60, 80);

[size=1em]

104	allCitys.add(city12);

8 {7 I2 T) `0 W. i5 ?) |9 n[size=1em]

105	City city13 = new City(120, 80);

[size=1em]

106	allCitys.add(city13);

: o9 k  ^# m+ g+ U0 u/ M[size=1em]

107	City city14 = new City(180, 60);

3 J1 v( v" p# }8 m1 U' p0 I[size=1em]

108	allCitys.add(city14);

[size=1em]

109	City city15 = new City(20, 40);

[size=1em]

110	allCitys.add(city15);

% s4 R; f' M% n* F  S3 o[size=1em]

111	City city16 = new City(100, 40);

% y# K( K% ?, l2 l$ L( E' W' o, e2 H[size=1em]

112	allCitys.add(city16);

: r. s$ {& l2 `% f( i& ][size=1em]

113	City city17 = new City(200, 40);

[size=1em]

114	allCitys.add(city17);

: e, o- N$ f, n5 ?: G: C[size=1em]

115	City city18 = new City(20, 20);

[size=1em]

116	allCitys.add(city18);

[size=1em]

117	City city19 = new City(60, 20);

0 t' Q% v. A6 ]3 W1 m, B/ P* @[size=1em]

118	allCitys.add(city19);

[size=1em]

119	City city20 = new City(160, 20);

# A! ?* K( ]# O+ x" J[size=1em]

120	allCitys.add(city20);

[size=1em]

121

}

: x4 q  N& F' _' G[size=1em]

122

}

9 P1 ]2 {( ]( v* n' g5 \4 N
% ~# I! S$ E9 ^; G. L& M( J

输出：

[size=1em][size=1em]

1	Initial solution distance: 2122

2 A9 D( Z  T% d# N[size=1em]

2	Final solution distance: 981

* ~% z0 ^/ n8 M" Q' d[size=1em]

3	Tour: |180, 100|180, 60|200, 40|160, 20|100, 40|60, 20|20, 20|20, 40|60, 80|100, 160|80, 180|60, 200|20, 160|40, 120|100, 120|120, 80|200, 160|180, 200|140, 180|140, 140|

3 F* ?. N; a4 i3 f# g
0 L( p* Q4 v- V/ P

和遗传算法类似，该算法也是概率算法，结果为近似和不确定的。

参考：http://www.theprojectspot.com/tu ... thm-for-beginners/6

http://www.cnblogs.com/heaad/archive/2010/12/20/1911614.html