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冯康独辟蹊径创始辛几何算法

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mengqj

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发表于 2009-8-16 21:53 |只看该作者 |倒序浏览

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20世纪60年代，数学家、我国计算数学事业的主要奠基人和开拓者、中国科学院院士冯康，独立于西方创始了有限元方法。20世纪80年代，他在花甲之年毅然进入一个应用前景广阔的全新研究领域——哈密尔顿系统的辛几何算法。是什么促使他作出这一决定呢？
在1991年中国物理学会年会上，冯康提出了一些关于动力系统的科学问题：在遥远的未来，太阳系呈现什么景象？地球会与其他星球相撞吗？他说，也许有人认为，只要利用牛顿定律，按现有的计算方法编个程序，用超级计算机进行计算，花费足够的时间，总能得到结果。但结果可信吗？实际上，对这样复杂的计算，计算机或者根本得不出结果，或者得出一个错误的结果。这是计算方法问题，机器性能再好也无济于事，编程技巧再高也是无能为力的。

动力系统问题不同于椭圆边值问题，有限元方法已不能很好地解决此类问题。应该用什么样的计算方法来计算动力系统问题呢？冯康在创始有限元方法的过程中已体会到，同一物理过程的各种等价的数学表述可能导致不等效的计算方法。有限元对椭圆边值问题的成功是因为选择了适当的力学体系和数学形式。有限元不能很好地解决动态问题则是由于拉格朗日力学体系不能很好地反映其本质特征。

于是，冯康又回到了物理原理。在数学物理方程中列于首位的经典力学方程，有三种等价的数学形式体系：牛顿力学体系、拉格朗日力学体系和哈密尔顿力学体系。其中，哈密尔顿体系一直是物理学理论研究的出发点，其应用涉及物理、力学和工程的众多领域。

冯康发现唯有哈密尔顿力学体系才是可供选择的研究动态问题的最适当的力学体系。辛几何是哈密尔顿体系的数学基础，冯康抓住了设计哈密尔顿系统数值方法的突破口——辛几何方法。他组织研究队伍对哈密尔顿系统的辛几何算法进行系统的理论研究和广泛的数值实验，经过十余年的努力，成果丰硕。

现在已知，传统的算法除了少数例外，几乎都不是辛几何算法，因此不可避免地带有人为耗散性等歪曲体系特征的缺陷。而冯康等人提出的辛几何算法却保持了体系结构，特别是在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优点，已在我国的动力天文、大气海洋、分子动力学等领域的计算中成功应用。深入的理论分析和大量的数值实验表明，辛几何算法解决了久悬未决的动力学长期预测计算问题。

1997年，哈密尔顿系统的辛几何算法获得国家自然科学一等奖。

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