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巴黎环岛设计(本队拙见)

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    发表于 2009-8-17 16:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    巴黎环岛车流控制模型
    摘要

    " Q6 z0 G- T6 n9 l# Q0 j本文就巴黎凯旋门环岛的交通问题,建立了控制进入、环绕、流出此环岛车流量的红绿灯模型,目的是使环岛内交通顺畅,并且尽量让堵车时间短,堵车数量少。
    - S3 C7 V) E% H8 C9 ^9 H    通过分析,发现环岛内的最大车流量为1000,波动范围为+200,还可根据车道宽度计算出每个路口的最大车流量。这两个因素对环岛交通有着很大影响。因此,主要考虑车流量和环岛内的车辆数目的影响。并设定,在建立模型时,环内车辆总数最好不超过1000辆。
    5 a8 M( V& j: ?根据各时段车流量的多少,本文将车流分布为四种情况:高峰期、次高峰、一般情况、稀疏情况。再根据各时期的车流量,建立了环岛内车辆总数Q关于流入量与流出量的方程: 。通过随机模拟,得出环岛12个路口的车流量,并根据堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则,找出所有可能的红绿灯组合(前提是每个路口都有红绿灯),通过比较,得出最优化的组合(具体组合见模型建立与求解部分)。
    3 u1 M6 P/ x# S5 `  |通过随机模拟,对于不同时期,得到不同最佳方案:
    $ D) g; [- h. }  \9 V; O, L1 F! c# |1.对于高峰期,将红绿灯时间分为四个阶段:1.编号为1 3 5 7 9 11 (见图一)的红灯亮,其余的绿灯亮,持续时间T1=65秒;2.红灯灭,所有绿灯亮,持续时间T2=27秒;3.编号为2 4 6 8 10 12 的红灯亮,其余绿灯亮,持续时间T3=65秒;4.绿灯全亮,持续时间T4=27秒。之后重复上述循环。红绿灯总周期为T=184秒。% g1 Z7 b3 H- \9 \: }4 _
    2.对于次高峰的方案,红绿灯组合与开关顺序与高峰期完全相同只是各时段持续时间不同:T1=T3=35秒,T2=T4=23秒。7 r$ j! x8 J: k8 R' y
    3.对于一般情况和稀疏情况,红绿灯顺序为:在所有路口,先红灯亮,持续时间为T=30秒;之后绿灯亮,持续时间为T=50秒。之后,重复循环。7 W8 Y. k, w5 N* p* d$ r: P
    由以上方案来模拟计算一天内环岛内车流量Q,其值超过最大容量的平均概率不超过5.00%,较为理想科学,所以此方案可行性较高。
    % }3 |8 h5 [5 W' R2 N最后,对模型进行了改进与评价。
    6 i/ j# N' h1 e% s 4 |; Z) h- T1 t7 V! O
    5 a  M/ b2 ?  J
    关键词:环岛车流控制 红绿灯控制 排列组合 随机模拟 等待时间 4 J; J3 r" {" |8 O$ M) c
    " l3 `; t  G. e  l4 h% F# e

    ) s9 i* Q1 {7 ~4 I$ \" }
    6 C; n# W! O* b: O1 T! U3 k; U) H 5 n2 G9 s0 }* K4 z9 w
    2 f  n. S4 Q) G% v" w9 c0 U
    ; V5 w4 d0 O- u
    一.问题的提出
    巴黎凯旋门环岛有12个路口,其中有2条主道,10条支道。在进入该环岛的道路入口处可以设计有一些信号灯,或其他标志来控制车辆的流通。即为环岛制定车流控制模型,要综合考虑各时刻的车流量,环岛内最大车流量,天气情况,工作日与周末情况等因素。: Y# t$ E* c" t. Z0 d
        我们的目标是,根据已知的信息,建立控制环岛车流量的具体模型,并分析该模型的优劣与稳定情况。8 G4 _" F' L! h8 \( n# x- h
    . t, y7 F( m* |% y( u! K
    1 环岛平面图
    9 h7 d+ p2 E* u' H# P( _

    ' J7 ^0 }+ Q4 n) J7 u+ b" W2 E
    - L7 {$ ]& [) A9 ^4 l
    2 Q6 g) n# _  f# G3 W4 o 8 a6 X5 S! h; \- f+ u( c9 y) {

    # p: y& d$ V. F8 Y9 z  z# }
    二.模型假设
    1.假设每个路口的进入车辆服从均匀分布(具体的分布情况见问题分析)。- M  H2 C% d/ t1 Y% A( p2 Y$ D4 d& v2 z
    2.假设每个路口的离开车辆也服从均匀分布。$ T' M; K* M4 G8 m- R
    3.假设每个路口都配置有红绿灯装置。# _* y2 X, g, a
    4.假设环岛为单行道,只允许进入车辆沿着俯视逆时针方向行驶。
    7 ?/ p, N9 N  a7 T' d% e7 V5.假设进入环岛的车辆最多只在环内行驶一圈,不能多次在环内循环。
    - p$ K( J) Y7 ~1 O+ ?6.设环岛内与各路口处的车速为20km/h~ 30km/h5.6m/s~8.3m/s0 w. n& l  `5 }9 S, ~
    7.假设只考虑正常情况下的交通,不考虑发生车祸和路面维修等意外情况。
    % v2 c0 Y: D. ?- E. ^  W$ c, T/ O
    & k1 F& m$ s" M- G( m, x9 n" V: I8 T9 H

    5 h' w! o) h5 c
    三.变量说明
    :环岛内半径。# c$ ^& Q; {+ `
    :环岛外半径。: ^1 S0 }/ }- `8 G; ~
    :车底面积。
    9 X: A- o) Q7 E* m:环岛路面面积。其值应该为两圆面积之差, 0 j1 S4 a, t) g+ M  [
    :环岛可容最大车辆数。 取整。
    . }$ w' K  |+ W- j:环岛内车辆总数。; j$ d+ w( B7 G) D. ^  |
    :环岛内车辆总数的当前值。; Q! G& f2 i$ \! F, t: A
    :各路口进入的车流量。(1<i<12
    * `8 L5 C, x; E- a0 N) G7 _:各路口离开的车流量。(1<i<12
    , }. g  A( T! x8 J: x% G:逻辑控制变量,用于表示各路口的通堵情况。 =1表示通路,即绿灯亮; =0表示堵车,即红灯亮。(1<i<12
    & r% j0 ^( ?' w4 t$ i8 `+ w" ?
    ! n+ ^4 i6 ?% Z+ P2 F:表示所有路口的流出车流量。
    1 [0 @1 D- V. [) M 6 F& X/ P  @4 `2 B. c' |
    :表示红绿灯持续时间,具体是红灯或绿灯,模型中会具体说明。# I3 [5 ?$ c  m& g* U$ x! M. p1 E% U9 A

    $ K4 [/ y  J; V# X! e:为某种情况下的堵车数量,具体模型中会说明。- B9 H  ~. G) R5 `( {' c/ V- ~
    ( p6 ^% p$ |* e7 I9 a0 k1 N
    :车流密度,作为参考因素,将影响对车流量的模拟。
    0 r; B# Z: o( n0 v$ @# X % ?/ h! d' [; H6 `! A8 V% _

    : Z# Y+ H- D; t# n0 @( W" b 4 `9 {: G/ r9 d1 S; S' t
    四.问题分析
    此问题属于交通流问题,我们在初步考虑这个问题时,参考了交通流模型的结构方程。我们认为影响环岛车流量的因素有很多:红绿灯,时刻(高峰期,平时等),天气情况,游客人数(虽然凯旋门游客时从地下进入凯旋门的,但是每个路口还是设置了人行道,所以游客的多少也会影响到车流速度,因而影响到车流量)。正常情况下我们不再考虑路面维修和车祸的影响。2 I2 L$ T3 M: F; I
    由上分析,我们需要做的是通过对交通流情况的模拟,找到最优化的红绿灯控制情况,从而达到车辆最优化控制的目的。
    $ t! f( ?" w7 J1 t因此,我们将此问题归类为最优规划类问题。0 ~- x% ]3 @$ b6 F# W' W) r
    我们查找到了以下参数:
    , G& U! x$ g9 w0 m  i. p' g凯旋门环岛每天平均车流量:110/天。7 P: A7 p4 e. o' v
    环岛外半径:80m' ^  G8 @" E; _7 c4 K
    环岛内半径:53m
    ! {4 Z- J/ p* g' e/ D8 V& _& W) i一般中型车的底座面积:(7~10m2
    , r" n! H+ {2 a* a主道可以同时并行3~4辆车;支道可以同时并行1~2两车。6 F5 @1 P9 _# K0 \+ V, T4 D

    $ h3 y- ]( ]! O% H! j+ j0 \
    ; N8 f& G; G3 g" [8 S# T4.1 环岛最大车容量:
    0 f  @/ a2 Z' s6 h# K由上面搜集的数据,我们可以计算出环岛最大车容量。
    ' f+ L8 M1 [9 M$ P+ h环岛内半径为 ,外半径为 ,车底面积为 2 V; Z! E" w  W, n) o& C! T' Y
    则环岛路面面积应该为两圆面积之差:
    . j1 J0 L& |# ^& ?) Y! P1 i. l* N/ ?. S2 U/ l% k# K* o
    则环岛可容最大车辆数为:   (取整)7 {& h/ N3 E/ @8 g9 z# \
    可得环岛最大可容车辆数目为: =1327(辆)。8 T* Z( Y# h8 V4 H# u
    考虑到车之间应该有一定的间距,并且应保证环岛有一定的畅通,流畅性,我们设定环岛最大可容车辆数为N=1000(稍微超过1000也行,我们只要保证严格地不超过1200)8 ^- D. w$ r% r! f, g2 I

    ' H2 I, h" x1 e- {  \3 R+ J
    9 e/ ]) D0 e- G" K4.2 各时段的车流情况
    # v! _8 q7 y% e- V3 D1 e 3 t, m6 D$ u2 `: h, N, C/ U
    工作日; K% C' m7 \' G& p: U7 O" L
    时间分布8 ]0 v* H7 S" D$ }' c8 M
    时期分布
    ' X1 m( }( R+ U" {" j
    000~500
    $ D& u9 w: z) I# `3 k8 C- [  T
    稀疏情况
    3 N. y7 Y  T) \3 `; c7 Y
    500~600
    - ]! l+ ?; p# t2 O4 }
    一般情况$ Z4 V; V# \2 V
    600~730' |( @7 [" o3 Z) @" U
    次高峰
    # {6 ^" ^3 Z2 \. V3 v/ E- z: T/ l
    730~900, i7 @, v7 I- D. c" `( T- K* N
    高峰期
    - \- X7 Y# ^2 f. A
    900~1730
    + r, P" Z9 L' x' H6 `& l
    次高峰
    2 t# |- G$ R8 x4 P4 ^
    1730~1930
    " a2 r! _- m0 i+ H/ U4 P
    高峰期
    2 O% q: {( b5 m; @6 ]1 E, l4 g
    1930~2100
    9 }; G, G. @) `, A# u" O
    次高峰
    - F4 v  A7 P9 O& X2 e9 U4 t
    2100~2300( c. L; C9 D6 r( Y1 Z8 \
    一般情况' K6 R. c% g8 v' ~: ^# Y* q
    2300~2400
    ' U( Y1 d. U! U" C# o( h: M" |
    稀疏情况, p9 `" X: @. [! _$ Z
    # l8 F. N% j9 `

    ) {, Q7 U0 F7 V( Z1 @. G0 ~周末
    ) K+ B! i$ r( M- V5 O! f# g4 Y5 K* i
    时间分布1 H: \# L% S  h) W) s$ R
    时期分布" S4 x' R2 d8 ^
    000~500
    6 G% S, E# T+ Z' k6 t8 Y. L
    稀疏情况
    7 y% ?" n) Y% |* q4 e
    500~600' X/ T6 A- ?; |6 ^$ L) U" J
    一般情况
    / ]( {4 K& h8 `3 P3 S" `/ E4 y% w
    600~800
    + {% X6 N7 b3 F
    次高峰! d) _- K7 z2 O2 c
    800~1730+ O6 o  x1 n, U
    高峰期1 i! R9 Y" `: H' ~! t
    1730~2300
    , K& s$ n9 ^" P! ~  Y
    次高峰
    / O& j# R0 x& t- V8 j
    2300~000/ p9 o' c( ~( J: m
    一般情况
    0 h0 W8 G( I+ ^9 o9 F
    1

    8 f( ]' t# ^$ V7 P0 {; h说明:" g8 s' ^- Z- c
    在巴黎和法国其他主要城市,高峰时段的交通最为挤塞。法国每日的交通高峰时段是早上7时30分至9时及下午5时30分至7时30分的上下班时间。在星期五法国人一般都会外出旅游,所以交通高峰期会较平日来得更早,在下午4时起便开始阻塞,其中尤以离开巴黎的各条公路最为繁忙,而非高峰时段的交通一般非常顺畅。
      Y  z8 u) s6 Z2 G! w; z' q 9 h- z+ ?) h( m! ?, x
    4.3 对于交通模型的假设与估计
    " U* ?" x) r9 I) `8 T  f0 L. X2 K对于交通流模型: 0 A2 q2 d3 g# E- u! S
    其中:q为车流量(即单位时间内通过的车辆数);" ^0 D( o' w" v$ N
    9 `5 t( x" k2 F
    8 M2 W& k* q+ c/ |/ r
    为车流密度(单位路长的车辆数);
    0 c. N  L- f( g; S9 V' g5 {$ m& r8 g2 K* E0 a% v
    2 V. I, g% ^8 y! `

    ! `6 f% f8 D+ ~
    为最大车流密度。7 i5 ?7 T8 Q; m

    4 D0 K3 X# f1 E# A8 ~! i
    ; h! _; o* u/ Y+ X7 {8 H4 C# U, j/ a4 F. ^9 Y$ b/ x
    为最大车速(注意:车速时车流密度的函数, )。
    + g) z6 d4 J# r根据上面的方程,我们可以估计出每个路口不同阶段的车流量,这包括流入与流出。  ^7 x1 p) ?- Z/ x
    为了保证总塞车量最小,同时等车时间最短。我们针对不同时段对车流量进行了不同的划分:5 d' H2 C, t5 C2 C1 z. _  x$ c# v: H
    环岛内车辆总数Q
    ) r! @! m& f: W' l
       * J4 x8 k/ z* o0 f% f; V
    有红灯亮
    $ s$ M0 K" R6 ^* }; n# [
    无红灯亮' a& F& c* [0 l7 s8 ?" N7 c1 P
    " p. R5 v" N6 \% c& U$ i6 |

    - _+ [, t3 [9 L

    ) Z' i( L3 P  s

    . v5 d, N' M: R* w! [* ^
    主道y9 k0 U6 k& X' S
    支道y
    : b, J$ E; j: t4 f
    主道w
    0 y. h5 ?8 @$ N  r  i$ d9 C
    支道w* D; C3 |) C7 R; v) ?1 n0 Y) Y/ |
    主道y
    8 u5 `9 V9 H5 p# A7 m+ m% [
    支道y: [% U. L4 A- C. {5 Y
    主道w
    ( s6 M  `( E8 J$ F' F! Z
    支道w
    0 _. G* M% x- C1 V9 V: k" N7 M% a% Z. C
    800~1000" w, N/ A$ I2 Z+ u5 H0 ~
    高峰期
    " ~2 i# J. `' r1 l6 W* ~
    3~4
    5 y9 V" `. i' x$ [
    1~2
    & q0 f8 u1 A8 n0 T! F4 X
    0~45 ^" d6 G8 a" S1 o4 l: ~
    0~2; e0 o$ `! ?6 y3 g2 Z. F
    3~4* b# W3 C3 k$ k$ Y
    1~2
    6 p* b/ o# a, m# E9 F+ |$ q# D. L+ H
    0~40 J) @5 @% E& g- z* D& y
    0~2
      N6 h; P2 \8 |- D+ K- p
    500~800
    * E' Y5 m- d' G; r' h
    次高峰
    $ ]3 ], |/ |# m! l7 B5 n
    2~4
    5 W3 G* w& o& M' @$ p: H
    0~2. M* L9 W% z: t
    0~4
    ; g3 x+ r8 [4 r/ b) \% z5 B+ G6 u
    0~2
    8 f, I2 X/ |: Y! s- m& E
    2~4
    8 \' r! K4 V8 [( C. w
    0~2
    ' Q* l9 x5 W0 z; T1 W
    0~2! Y# Z! ^3 _  V9 e2 {" Z
    0~17 N) Y! R* D* @. V# `
    200~500
    ) N5 S# m, c- V; s
    一般情 4 s* k. N# c( E) D$ T# Y
    1~2
    9 r, }3 i6 F' u7 t& Q
    0~2) |! @  K  |( _7 L; W2 [
    0~4. K6 A  t" t9 y) d6 L
    0~2( W$ V3 C2 Q; P
    1~2! W8 z: r+ R$ f  j+ Q1 ~
    0~2% K3 T) d' x0 n1 y0 ^  c
    0~2
    - e5 u. R- B- F) B1 D& Y4 T
    0~10 y5 m. T, U. [& a. V+ y: p
    0~200
    % ]" y& X0 e1 o- ]4 ~: S
    稀疏情 2 G0 C4 R! ^- V/ x* t4 R" t7 W
    *
    2 g/ @1 g- z7 I4 g
    *
    . P9 E( G3 K3 `! @$ B/ I
    *
    ( @5 n6 U* N- [) h
    *
    : |1 d3 D7 r5 J: v
    *
    9 K6 F: q. u9 a. N6 P
    *& s' W- ^) j% E, ^# j2 l  i$ R
    *" A4 E4 w, Q, G) P
    *. |( O' O1 p8 @5 l0 F( S  m! H
    2
    五.模型的建立和求解
    我们先设立一个逻辑控制变量
    , r# A2 W4 F: D$ `' o' g) }对第il路口,当有车进入时, =1(即认为绿灯亮)。
    % f/ ?/ }+ ^/ s# h9 O9 W5 T" ]               当没有车进入时, =0(即认为绿灯灭)。
    ; G4 S  W9 _& O' K5 X6 b又设 为第i个路口的车流量(辆/秒)。* E2 g0 @5 K2 X# E% x4 V; U, G
    则我们可以列出下列等式:
    / Y0 ~- S  w3 L9 w  Q* b      根据:单位时间内,环路车流量的增量=流入的车流量—流出的车流量。
    5 G2 k/ o: n+ i; S1 \' E. t9 s! L. O7 }: j

    . _. i, G; M& }# o
    $ h( a! u/ N' U% w" }9 odq表示单位时间内环路车流量的增量。
    5 B* Z3 A' ^" b5 u1 v; W& l4 e : O( S1 N( i' W; T' d/ q! d. i- R
    对于 以及 我们可以用rand模拟。* X3 J6 i1 z% T. w4 k8 A
    7 I$ u$ P) K% x' z
    因此,环岛内车辆总数Q满足:
    # |  j7 }, r! H1 q. a0 Z) w  X' F
    5 f6 m$ Q" i# c( X+ V& q注:
    : `0 {. x4 y; u" c! K由于 的组合有很多种,我们加入限定条件,即要保证等待时间最短(红灯亮的时间最短),以及等车数量最少。, S! X6 W5 O# O2 P( f# p7 J2 F7 [3 j
    ! N! C5 O. I; e
    因为等待时间就是红灯亮的时间T,等车数量又与车速和等车时间有关。
    5 w0 F3 ]. F* B5 Q# l . \6 p# P3 i5 Z4 Q  u0 y/ i# k  V
    为此,我们设立下列函数:
    5 t5 i, _. X+ b
    ; N3 A/ u$ ?4 }; [! e
    4 ?7 A4 B- N0 w* ~, a, Z; l

    : l5 D- l) X2 W. C, `2 ^& q 5 K' D& g- n$ I9 n- C; H
    说明:1 r; ~- i; R6 `: d0 m
    为各路口的逻辑值(通为1,不通为0
    1 V" G. ~$ z! o: L5 m( z
    : @( R" I4 i: F0 B/ D为第i个路口的车流量(辆/秒)
    ; W' ~! f1 A! T6 A4 \% S为循环中第一次亮红灯时的堵车量, 为第二次亮红灯时( 的对立面)的堵车辆。. L' J# J1 e& J5 Z' W
    为总堵车辆。( }+ B/ I4 ?2 R) I

    9 s9 }$ w$ @5 Q- G8 Q2 ^上面的分析可能需用到下列参数值:
      ~+ e0 T3 s3 k3 v' b. W) a1.+ i7 F  _! j% X! C  m
    每条路段上的最大车流量。
    8 y: t6 o3 D0 S8 a6 K9 L
    2.
    5 D& p) T' `. T
    每天路段上的最大车流密度。
      B* n' p2 T2 Y2 G' j8 r
    3.
    ; K( L) S: L# h# ?. r/ h" b. _; f) g
    每条路口进入的车流量(辆/秒)。

    1 o" U, p9 j/ B+ v3 g+ d( g4.
    % f9 H7 f: @0 L" C& o
    每条路口开出的车流量(辆/秒)。

    9 z6 Z0 k0 k$ S4 j( j " J1 d  A0 S6 i: X
    通过模拟,我们将在不同的组合中找出最佳的红绿灯方案,并通过多次模拟,确定时间分配。
    # e$ B9 u' v. e8 m/ L5 ~
    4 I+ E6 c: I2 M, } 7 P1 Z) F' x# L0 I0 z8 J
    一、对于高峰期时,我们对于下列组合进行了模拟(程序见附件):' U7 F% o2 m  E' }
    红灯亮的个数(盏)7 O: q0 J+ J5 x. C9 ~8 \8 Y
    127 t: Y3 I: i' _" T+ n
    119 S1 C) N4 O) b, x- ^
    10* k& X7 Z4 p$ n
    90 \! @, S( Y1 \; c% c6 D
    84 }0 G' D# w: P+ w, A% h6 o
    74 W; }7 w. E. i
    6
    * H3 }8 I( B: e$ B) U& O8 L3 T
    5
    3 J* _1 s  |: B/ ]/ S9 K/ N; s$ _; a/ k
    4
    $ @* }  u8 v) w: d5 V; |& T
    36 e$ o' A1 V: i
    2
    : I% ~  u# |' P8 u8 r# w+ X
    1
    & Z5 |+ g! ?% |
    04 V- G. D* e: g+ F" J) k
    平均最短等待时间(秒)
    # L$ w0 H$ W/ o0 p
    16! H1 o, c; H' W% x8 W" t
    207 O# c/ K# k3 e# D: o* K
    22
    $ m' t0 T' B: G1 L9 {* `; r
    276 z- l4 {. ?' q! f
    30# z+ b  y% t3 i; i; h& D
    42
    & H- h6 u6 B! j1 v9 U) O
    70$ B* R' g) V& I% O4 p0 g2 |5 o
    154
    5 h5 G; s6 D( A( |9 N8 r, ]. Z1 Q
    Inf6 k9 @* }' b! R) v# ]! ]* l
    (无穷大)
    , V* Q* i: Q* U  H
    Inf# C# {; v+ ^9 W- v5 W
    Inf
    6 f1 h* G  k1 |, w7 ?3 U. V9 S
    Inf
    ' U: A8 q: G  w4 L
    Inf- h0 H. N5 W" I0 N/ a
    3
    注释:8 w7 W# t, M9 W+ Q- U5 P: D& x
    对于红灯亮的盏数,我们可以有很多种组合方式,比如红灯亮1盏,可以是1~12编号中任何一个亮,但这些组合中总是有一种或多种为最优组合,这从我们程序结果可以看出。
    - H) _9 ~+ h3 Q; a8 o4 h( o7 W# H
    / C) b, o5 c3 g9 ^  A5 _- U分析:
    8 G  @8 O( q6 W0 J5 {$ ~
    # J1 L4 L. _# W8 X0盏红灯亮:
    ) k5 M) x3 R3 Q  K- p0 @此情况显然不合理,因为没有红灯就无法控制环岛总量。  W. J8 p; g& o4 {. J

    ' z/ [! F5 t, V- L0 k" G$ {1盏红灯亮:
    3 ~- H; M3 a9 U9 Z对于此种情况,经过模拟发现不可能达到降低环岛车辆的目的,反而,环岛内将更加拥堵。(过程见程序)
    $ _( o: t3 k! Z3 ]
      r8 z9 Q" O# h& j2 n7 C# p2盏红灯亮:
    : @( d- M4 [7 e/ t: Y1 Y! j此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。6 A9 Q4 V1 u! i1 a! y/ d9 p

    & r4 E7 N0 ]& _; L4 V$ z+ y' v0 W5 V3盏红灯亮:; d, `8 A' m" d; D
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。
    : y/ ~+ ]( Q; m/ A) E
    . U! F  p, Y( f3 Z3 d  l, \4盏红灯亮:8 d! i, I& Z. Q+ n6 c* f! n; b$ I
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。+ Y. s7 Y7 V# d  ~% B
    6 Q9 p2 f5 Z9 y
    由上分析说明,红灯至少应该亮五盏以上。
    , d* f+ `: q$ m/ E7 v5 B
    . F7 t6 V1 r5 C为此,我们排出一下组合:6 E( }; Y! W4 ?' N
    5——7. v, \* `, d2 n* s$ E3 D
    此种组合方式下,可以分为:& l8 P( t2 d8 g1 v6 v$ C( |8 Y( m* X* @
    a.开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为144秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为48* k0 b; z" k1 z: n4 ~! q
    此时,总塞车量为:# F, _9 A) U: D0 l! [# w$ _- `
    ) {. z& K4 s. q' s" m0 u
    b. 开五盏红灯时(不包括主道)的等待时间为inf秒,故此情况不成立。 & Y  R' X) E2 k+ u: n. {6 g

    4 I* e% Q4 [4 `& k' K! b" m  L6——66 h& k  r6 ~. q* t0 |- ?4 j4 @
    此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为68秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为67(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于是模拟,不可避免的造成一定的差异)。
    ! O, k- r3 ~  c: _4 c此时,总塞车量为:: k2 ]/ v1 P6 a% _7 g: K* a
    ! M% c& h  i7 s- w( \

    7 T+ J, }; r1 x5 |& \在保持堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则下:* O* s6 X- ]# C/ b3 `! c- g
    只有选择6——6组合是最优的。, W1 m1 |% \- D; ~, l5 a
    根据等概率原理,各条支道应看做概率上相同的路口,而两条大道也是等效的,因此,在模拟时,我们就可以人为地设定组合,只需保证总数按红灯亮的盏数分布即可。比如:对有6盏红灯亮,我们选定组合编号为:1 3 5 7 9 111为主道),此组合方式与2 4 6 8 10 12等效。+ Q! B0 x. |$ \; N+ o8 E
    / L, B0 N9 h1 v" E
    这时我们可以确定红绿灯的循环模式。
    9 v3 Z& G( K4 @9 w不妨设定,先使编号为1 3 5 7 9 11 的红灯亮,在经过T(T=68)后,打开所有绿灯(包括原来的绿灯),再等环岛内车辆上升至限定值后(经计算t=25),再打开另外路口6盏红灯,其编号为2 4 6 8 10 12。之后,重复上述循环。) M' E+ ^2 M* H5 y

    5 d) P+ Y0 N3 R& Y- b & Y4 x, ?, z2 K! x6 H2 g
    二、对次高峰,模拟结果如下(程序见附件):
    ; y; {! N. t- g7 t' _0 F2 k
    亮红灯个数(盏)
    4 ?$ L7 _" ]; z' ~
    12) y- c# G/ {$ `1 k; T, e$ \' [
    11
    & e/ m7 ]7 [* U  O( B
    103 f' q) A3 Y% J) V8 Y, H
    9
    / p- f/ c4 k" \" |7 }) B4 `
    8
    - z# ~8 j- p' C' L6 w4 l
    7. C1 z3 b& u3 R# ?' @* ]# L
    6
    2 c& a! k% k4 H& L6 G
    5; F3 Q, m4 r. M( i
    4
    " h* F$ _4 A! `" t( i& E, `
    3& H, P) M4 U: n+ y/ ?/ f0 }# ~* T
    29 }1 i( t2 x4 K" s. c
    1
    + ~7 _$ z* T: |7 i
    0
    : e6 M- B7 M3 a
    平均等待时间(秒)
    1 ]! u( I9 H" z$ L$ V4 g, D
    24
    % F/ o3 m5 S; s. t: L
    30
    4 c1 H, g( }; R7 _7 z
    31
    3 p  W) j3 g' V5 O6 I
    32/ G8 R# w# U. u$ `1 J7 g9 R6 }
    35
    / I  a$ y" ?3 D- O! B
    43
    % \! N6 m  I1 M! S- u
    57( d+ `/ I( f* D+ Z- r: L
    68. z; g9 |1 H9 k
    96
    ! V' K6 u$ l: f, d7 x7 C
    Inf
    / K9 ?" V8 R. u5 x$ I$ F) [! g
    ! j/ r- Q9 L6 m  _; d8 _2 P. D; L
    Inf
    - V0 H0 h* ]$ e4 x9 C
    Inf
    3 m3 {/ @9 t) Z  ^" v& A1 X
    Inf4 ^. r% u8 U4 P' J6 p7 g& `
    4

    2 C3 u8 s1 u& ^. V( V- e2 O4 m说明:1 Z! e6 S; K0 A; k6 Z3 q( A  {, Y
    对于红灯数目小于4的情况,实际上有的模拟值满足要求,但由于等待时间太长(100秒),并且情况及其不稳定,多次出现inf,也就是不能达到降低车辆的效果,我们认为这些情况都不现实,均统一成inf类。
    , i8 m+ Q; e4 d& r$ [# X4 u " ~# f7 l2 y9 X5 P
    由上分析说明:红灯至少应该亮四盏以上。6 O( k% C: ?7 w, |; w
    5 D, B2 F6 V* E2 K" i" I
    为此,我们排出下列组合:9 a; H' p  ~; q" S$ ?" G5 A
    4
    ——4——48 g3 s7 i+ I9 ^" u8 |
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外4盏红灯(编号为2 6 7 8)的等待时间为77秒,开最后剩下的4盏红灯(9 10 11 12)的等待时间为147秒。$ Z/ m8 K7 \6 l, o% S! R
    此时,总塞车量为:
    . c. b5 }/ P0 k- g7 O8 l# _2 f4 y; k# o) h4 o, @0 W( e
    4——80 B1 K' g3 p1 l; w) Z8 b# t
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外8盏红灯(编号为2 6 7 8 9 10 11 12)的等待时间为39秒。; f' [8 {& \' R: x0 G  t# U
    此时,总塞车量为:0 c6 v5 c* u; {, y( D
    % \3 h1 Y2 B3 a6 v. j$ C/ U

    ( c- T3 x1 [7 z. `  b5——7
    9 Q1 ~( q8 l  ^开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为58秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为45
    3 t2 T6 W! V# g& a3 l( C此时,总塞车量为:
    / l: g6 K+ _8 ~6 v. g' ]0 @0 O7 P- I- d# `; u9 J3 x
    $ g  I! x; i" }& P) O  u+ s
    6——6
    ( G: H4 B# j5 j5 w4 w此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为50秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为50(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于时模拟,不可避免的造成一定的差异)。
    ' l# q- [/ d3 a# L' w此时,总塞车量为:; a0 c) u; {) w9 U2 B. _% F1 T
    ; ~/ c( L$ Z8 t# Y$ z: ^) J6 ?
    & R7 W! v9 W4 S
    由上可知:
    8 o8 L; p! t- h# d0 D) H) M$ }对于高峰期和次高峰期都应该选取6——6的组合,并且将两条主道分配到不同的组合中。
    - j4 l2 m3 r" u& }4 r / d! U& }; w6 U' d, M
    . b8 e; z+ j% P( B- H( E
    说明:(为什么选取组合时两条大道不能同时选取?)+ a( {0 p- d& P2 @9 S) O
    下面只针对高峰期说明:" V5 ^! T7 {! f5 q
    对于高峰期同时选取两条大道的情况:
    , b1 b9 T! l5 c2盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。
    / t7 P' M$ f6 }& r3盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。7 D( ^. ~# M; p  C+ e
    4盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=158秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。4 a+ q# f$ X  e1 C9 U6 _5 o# f
    5盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=101秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。
    ! p& f6 L8 I" B6 \4 H9 N6盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=63秒。
    ( }. E; c8 K) k& I& z3 o7盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=50秒。
    : Q: |9 x( Z  H+ o0 r: t3 |3 d& r3 R8盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=45秒。; O, d$ r( A! }( E$ C; ~. N
    9盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=35秒。7 y6 x3 o- j  j7 v, E! u
    10盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=30秒。
      x, T1 C: V9 y. R ! s% C' ?6 F6 P7 d  m+ A  `- i) b
    同样地,考虑到我们设计的算法,对于高峰期,不可能不选取某一条大道,所以我们只需考虑对称选取,即组合时尽可能的将大道分配在不同组合中。
    & E1 }& D/ K3 o2盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间多次出现T=inf,说明此种情况不可能大道降低车辆的目的。, c; q1 H4 S9 W# Q$ z
    3盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间T=96秒,但也多次出现inf的情况,因此不考虑此种情形。3 u+ \- _0 [; L2 ?, \
    4盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    7 i" G% G: L! s- {: P' mT=65秒,但也有很大的几率出现inf的现象,也不考虑。
    # y$ v- U* u, s1 J4 S' v/ z5盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间* e) A6 O2 l' L1 G5 z; ^
    T=45秒。, N$ D! J3 b7 ^5 i4 C9 B
    6盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    ; d! p1 s2 s; HT=35秒。" M8 U* H% R' D
    7盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间* A' r0 l/ o+ s
    T=31秒。# Z) J1 D. e/ ~3 h1 [1 I6 ~
    8盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    9 n/ c  U$ E8 k9 [" s( H1 u% }4 QT=27秒。  p' \' n) ^# z, @) R
    9盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间7 y+ {" X( N0 [2 ]$ [
    T=25秒。* S2 g% i. P% {* e" t" J
    10盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间=23秒。
    ' i: y3 c$ I* a8 l% U. j " ~& Y$ N- \$ B6 g) `
    对比上面的两种组合下的结果,显然第二种情况更为节约时间,对于所有红灯亮的情况,只选取一个大道通畅的情况能保证等车时间。因此,我们认为,选取组合时两条大道不能同时选取。: x  d2 n3 J2 i: k8 d  m

    2 ?5 a, |/ K& f9 ?( \由此,我们可以得出高峰期和次高峰期的红绿灯控制方案:5 \' X9 i& W& F0 b) C$ q1 y+ U2 d6 P
    对于高峰期的方案:
    / z  N# T6 [+ A/ ]1 {' m先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=65秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=27秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=27秒,此后若不打开红灯限制车流入,将超过环岛最大车容量,因此,时间不能超过27秒,但是,我们为方便设计考虑,将时间定为27秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=65秒。结束后重复上述过程。
    ) v; ^/ _# S! h9 Q, I . Y% l) }3 j2 f9 M7 z
    对于次高峰的方案:" u2 r" f  C5 n4 D2 ], W2 ?2 S
    先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=35秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=23秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=25秒,此后若不打开红灯限制车流入,将错过环岛最大车容量,因此,时间不能超过25秒,为此,我们为方便设计考虑,将时间定为20秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=35秒。结束后重复上述过程。
    8 E9 `7 E$ y- w% J& v
    $ @$ T$ J" \# ]4 p4 F % @  e6 L' O+ p3 E8 U6 K* e/ w3 G
    三、对于一般情况与稀疏情况的说明:
    # X) S! t+ a3 J. c3 |4 o3 G  d+ H9 N1 I 7 ^8 ?' b7 Q1 x3 h+ ]4 `
    A.
    0 J& W8 B$ E  k8 G, a2 B* v: K+ h
    一般情况:

    $ T) U( K( Y) L( j对于6盏灯的组合(每个组合只分配有一个大道),其等待时间T>150秒,如果红灯时间仍然按此时间设计的话,肯定是不科学的,因为不可能让汽车等待如此之久。因此,我们从尽可能减少等待时间为标准,经过模拟,发现当所有路口均亮红灯时,其等待时间最少,为T=23秒,而这也符合一般城市中非高峰期的等车时间,我们为了方便设计,将此时间定位30秒,而30秒也是一个可承受的等候时间。对于绿灯全开时的情况,更趋前面的假设,经过模拟,畅通时间为T=50秒。因此,我们选定一般情况时,红绿灯亮灭的原则时,所有路口红灯全亮,持续时间为T=30秒,此后红灯灭,绿灯开,持续时间为50秒。之后,重复循环。7 z7 A# b. s- ?& ~7 v  Y$ m$ e8 S
    B.稀疏情况:
    , Q5 U3 B0 X( o# f( ]) `0 L  K对于稀疏情况,车流量具有不确定性,我们无法估计具体的车流量,但由于此种情况下车流量很小,我们可以将之归到一般情况,并且以一般情况的红绿灯规则来控制。
    4 m/ m. Y. ~# h0 k6 m$ U
    . E  F0 I3 k2 j' a3 T5 a" Q/ p/ @
    7 Q$ u4 T5 f, |; u9 h / r8 ^7 v" }' {' v" m$ H
    六.模型检验
    根据我们的方案,我们采取随机模拟的方法,分别对高峰期,次高峰,一般情况和稀疏情况进行随机模拟。5 A7 d2 y9 m9 Y% N
    为了保证环岛内交通的流畅,我们设定环岛内的车辆总数Q不能超过1000,但实际上换岛内最大车容量为1327,因此,我们在考虑交通流畅性的前提下,可以适当地放宽这个限制,严格规定Q不能超过1200
    2 c8 b% ?* c, X9 }  e5 C我们检验的目的是为了了解模型的稳定性,为此,我们对四种情况分别进行了24小时的模拟,其结果如下:
    7 x" G* K' i  X% L1.高峰期:(程序见附录). R5 C: ^4 s, E3 Y' j& q
    第一阶段红灯持续时间t=65
    4 E' ^- v2 y" g" Q第二阶段绿灯持续时间t=27' w! e1 I4 \; T) |/ ~) \  x$ M
    第三阶段红灯持续时间t=65
    5 P4 Z: V% W& D: h; c, p第四阶段绿灯持续时间t=27
    . n0 W0 L. K( Q2 N. Q8 D; r% k总周期T=184
    ; Y6 I, T  X& {3 H( n& s
    . a. v- A+ I2 g, [3 r对于此方案,我们在模拟时发现,由于每周期都会累积一定的车辆,也就是误差,在很长时间后,其累积的误差将达到非常大并且不合理(超出最大容量)的数值。因此,我们需要增加一个修正时间,并且此时间应该很小,只在车辆超过一定数量时才加入。
    8 h' r9 h4 S1 p! I% q  L; K我们的做法是,当环岛内车辆大于1000时就对红灯持续时间加3秒钟,即此时红灯持续时间t=65+3=68秒。在车总量Q没有超过1000时,我们仍然以65秒的规定时间运行红灯。
    ! j, T2 k& d' l7 O/ C/ F. J7 Y这样,我们模拟24小时高峰期后:超过1200的车辆次数为37,占一天内车辆总数的比例为1.97%。(这只是模拟一次的情况,在模型改进中,我们模拟八次后取平均,得出更加准确的比例:2.74%- @) l, p! x! v" r) i0 K+ K
    对于此比例,我们认为是相当小的,也就是说,发生环岛堵车的概率时非常小的,因为我们是对1天进行模拟,累积误差显然会相当大。而一般的高峰期只持续2小时左右,累积误差必然很小,其堵车概率也应该低于1.97%
    ( r; s& c) ?& l# [# ^ : @; c1 F1 ]1 m5 u
    2.次高峰期:(程序见附录)9 W1 x; M7 d4 T' ?; p
    第一阶段红灯持续时间t=35; W9 s! @# b; y$ i$ {
    第二阶段绿灯持续时间t=23
    ' E8 @! R/ c" u, q第三阶段红灯持续时间t=35: Q( w) {! T& x9 _  w% S( T
    第四阶段绿灯持续时间t=239 k/ d  r3 M, f
    总周期T=1166 J8 g& R% D# Y" s3 m9 L" z) N
    对于此方案,我们为了保证环岛被最大利用,同时又能使交通运转顺畅,设定环岛内最大车辆数不超过800,经我们模拟24小时次高峰:超过800辆的几率为:
    : ~6 u" d6 ~8 y$ a,
    显然这是非常好的方案,鉴于此,我们不对此方案做修正,即沿用模型建立中确定的红绿灯持续时间。
    8 c6 D/ D" ?) t3.一般情况和稀疏情况:9 y1 ]4 Y$ s; V
    因为车流量的原因,不可能造成交通的拥堵,因此,我们不在对此情况做模型检验。为了说明时间安排的科学性,可参考其他大城市的一般情况的红绿灯时间。5 [& o- Q: ^3 W! |' X. C

    0 f' @( Y  w* X 7 b, ^* |% r  l/ Q

    4 q3 G, u7 F7 K* x8 G5 o+ t
    七.模型改进
    1.对于工作日和非工作日,由于车流量的分布不同,我们可以根据表1来设计红绿灯时间安排。0 x5 [5 C# |4 M! Y# c4 `+ @9 s$ n
    2.我们只考虑了每个路口流入与流出的关系,并没有考虑到车辆在环岛内的绕行情况。所以可以增加限制条件:环岛内并行车辆不碰撞,这样可以选出更加优化的方案。
    , K6 j! J, e$ p+ w3.不妨考虑车辆在环路中的相位问题,这项可以细化到每辆车的行驶情况,但这样相对来说较为复杂,我们不予考虑。! w& T. y9 t1 d3 c0 m# W! }
    4.对高峰期时间的修正:
    # y& M1 k  k1 v* |) K/ o! ?4 C+ N6 i若不对高峰期的红灯持续时间作修正,则经长时间后,累积误差将使环岛内车总量超过1200(我们称之为危险),这是非常可怕和不安全的。为此,我们对红灯持续时间做一点微小的修正。经过我们的模拟:(程序见附录)+ F; p  s2 }5 L; \) v& r. T) h
    修正时间t=0时,出现危险的几率:89.62%
    2 e$ Y$ t7 w& |+ Q- n6 R9 K! e# B修正时间t= -1时,出现危险的几率:88.56%
    * O9 J% c4 s" r修正时间t= -2时,出现危险的几率:98.03%
    & h* ^/ e7 N9 ~& l5 K) l其实,如果减少红灯时间,显然,这时在这段时间内进入的车辆数目就会增加,在不修正时已经危险的情况下当然就会照成危险几率变大。# X- g2 z- P# b8 `% H
    所以,我们应该将修正时间调为正值。6 l5 e. G0 _! k
    修正时间t=1时,出现危险的几率:93.33%
    $ B8 Y0 O4 M5 |# Z& \* R$ a修正时间t=2时,出现危险的几率:13.74 %
    3 K$ E: a- E( d/ ^8 B; Z7 f% V- h修正时间t=3时,出现危险的几率:2.74%# N1 n: V8 l  K# {8 m! R) T  a
    因此,我们以5%为限定,确定出修正时间为3秒。9 T& X9 |0 _* O0 J+ [  G* u% v

    # }  l0 s3 I! j! S5 p" s
    八.模型评价
    8.1 优点
    ) g: r/ j3 q) [/ l1 s% P) h$ M& `1 Q4 Q$ |
    1
    .本文对不同车流时段(高峰期、次高峰、一般情况与稀疏情况)模型分别进行了模拟计算,得到了最优组合下的红绿灯循环时间。由于车流量是基于模拟的,并且环岛内车辆总数也是先设定的,因此,我们的模型可以适用于很多情况。并且,根据我们的模型,对于已知车总量和具体车流分布情况,可以重新确定出最优化的红绿灯控制模型。

    - U% U8 d; Z3 U: h( T7 Q7 K1 U; ]
    ' f3 X1 Q/ Z3 @! Y% Q! U' ^& }2
    .在建模过程中,我们对所有可能出现的红绿灯组合情况进行了模拟,这样最终得到的最优组合的方法是很科学的。

    / m& h: j3 }. D$ j  ^ & x8 \9 c7 [; `4 w
    8.2 缺点
    8 A4 T' @' ]* `1 `3 g- _" p: k  i
    1.
    在模拟模型的过程中,我们假定车流量服从均匀分布,这带有一定的主观性,并且我们并没有考虑每一辆车的具体行驶情况,比如车辆在环路中的相位问题,这可能造成某些紧急事件发生时不能及时疏通道路的问题。
    zan
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