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巴黎环岛设计(本队拙见)

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    发表于 2009-8-17 16:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    巴黎环岛车流控制模型
    摘要

    6 ]4 ~2 [% C1 w/ D, v' K* x本文就巴黎凯旋门环岛的交通问题,建立了控制进入、环绕、流出此环岛车流量的红绿灯模型,目的是使环岛内交通顺畅,并且尽量让堵车时间短,堵车数量少。
      P: z( w$ C% p3 `# K& @: E( u' m' b    通过分析,发现环岛内的最大车流量为1000,波动范围为+200,还可根据车道宽度计算出每个路口的最大车流量。这两个因素对环岛交通有着很大影响。因此,主要考虑车流量和环岛内的车辆数目的影响。并设定,在建立模型时,环内车辆总数最好不超过1000辆。5 s1 W& {  \& w, [1 f& x0 U2 c
    根据各时段车流量的多少,本文将车流分布为四种情况:高峰期、次高峰、一般情况、稀疏情况。再根据各时期的车流量,建立了环岛内车辆总数Q关于流入量与流出量的方程: 。通过随机模拟,得出环岛12个路口的车流量,并根据堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则,找出所有可能的红绿灯组合(前提是每个路口都有红绿灯),通过比较,得出最优化的组合(具体组合见模型建立与求解部分)。
    4 ?) ?2 {( ~$ A3 o/ \4 u通过随机模拟,对于不同时期,得到不同最佳方案:+ S8 e. s+ ]4 ?+ _1 l
    1.对于高峰期,将红绿灯时间分为四个阶段:1.编号为1 3 5 7 9 11 (见图一)的红灯亮,其余的绿灯亮,持续时间T1=65秒;2.红灯灭,所有绿灯亮,持续时间T2=27秒;3.编号为2 4 6 8 10 12 的红灯亮,其余绿灯亮,持续时间T3=65秒;4.绿灯全亮,持续时间T4=27秒。之后重复上述循环。红绿灯总周期为T=184秒。
    * N7 |% y) J% ]. H! ?* w2 Q$ K' U2.对于次高峰的方案,红绿灯组合与开关顺序与高峰期完全相同只是各时段持续时间不同:T1=T3=35秒,T2=T4=23秒。
    ) x* R: c8 }7 n& r( ^$ w3.对于一般情况和稀疏情况,红绿灯顺序为:在所有路口,先红灯亮,持续时间为T=30秒;之后绿灯亮,持续时间为T=50秒。之后,重复循环。
    " x# @. R/ B0 i# `+ H4 _- a9 }由以上方案来模拟计算一天内环岛内车流量Q,其值超过最大容量的平均概率不超过5.00%,较为理想科学,所以此方案可行性较高。
    : Q! U3 Y1 x6 L最后,对模型进行了改进与评价。
    # }* H* L2 V) ^0 q# ^, p 5 D, Q' T$ \0 n7 Y" f( i. `

    ( h4 T$ g9 l# |% B; H0 J' F! }关键词:环岛车流控制 红绿灯控制 排列组合 随机模拟 等待时间
    8 n, k# @0 S1 J6 G9 z0 c9 ]3 I" j/ _
    & d; p1 r3 L5 e  o, ^ # o: ?  H- }" G

    / m- J4 ~* H* x5 m! d. j( X
    3 Z0 w9 {% X/ O5 i  X ) ~! |! t) H; p7 p

    - T. k4 S/ L# D; \5 D
    一.问题的提出
    巴黎凯旋门环岛有12个路口,其中有2条主道,10条支道。在进入该环岛的道路入口处可以设计有一些信号灯,或其他标志来控制车辆的流通。即为环岛制定车流控制模型,要综合考虑各时刻的车流量,环岛内最大车流量,天气情况,工作日与周末情况等因素。" Q! ]8 Y& A# b$ q
        我们的目标是,根据已知的信息,建立控制环岛车流量的具体模型,并分析该模型的优劣与稳定情况。- P: [, }1 f3 f  U
    4 y) A' X3 H4 Y7 A
    1 环岛平面图
    / w  k! u1 E3 N

    ) R% {, b; p+ ]7 D! T
    . o$ g4 b* g( n0 N  C) s/ n% o$ E
    - H5 G0 Y9 m7 c8 q# b( h. O: b
    * O, A" f9 k0 L
    ' A' Z$ |' M) a3 @5 g: i5 b
    二.模型假设
    1.假设每个路口的进入车辆服从均匀分布(具体的分布情况见问题分析)。
    : T$ y- f7 ?  A! u& r& v2 J2.假设每个路口的离开车辆也服从均匀分布。3 Y( P% Z$ [& \
    3.假设每个路口都配置有红绿灯装置。) z8 X2 u# }; Q% T3 N
    4.假设环岛为单行道,只允许进入车辆沿着俯视逆时针方向行驶。: U. w$ t& D' H% V) c0 L* n: ?
    5.假设进入环岛的车辆最多只在环内行驶一圈,不能多次在环内循环。$ W; z! j/ j2 b5 c, `
    6.设环岛内与各路口处的车速为20km/h~ 30km/h5.6m/s~8.3m/s
    ! c5 P- f; m) n  }7.假设只考虑正常情况下的交通,不考虑发生车祸和路面维修等意外情况。3 v5 q# C8 R) d9 `: U* j% K( o
    / e& i; c% ]9 Z& T

    2 K# c: {* N) x
    3 ]; e& @9 J/ l
    三.变量说明
    :环岛内半径。
    0 p4 R0 z0 D' w3 o3 A- F2 w! {:环岛外半径。
    6 Q8 i, K; W7 u* k: n1 U! H:车底面积。
    ) K& F/ s% h1 w: }3 A+ Q2 B" o:环岛路面面积。其值应该为两圆面积之差, ( R6 l: v- @+ e, v) t$ W. j
    :环岛可容最大车辆数。 取整。4 i  v' n$ \1 e) k3 x! u* f: b# w) s
    :环岛内车辆总数。
    1 ]8 z1 M' Z" {:环岛内车辆总数的当前值。
    - S2 _0 e5 L( r+ V:各路口进入的车流量。(1<i<12
    5 C( Q- V& \' I# m1 i6 X; b+ }:各路口离开的车流量。(1<i<12
      e+ J" g. L& u+ s5 n1 Q:逻辑控制变量,用于表示各路口的通堵情况。 =1表示通路,即绿灯亮; =0表示堵车,即红灯亮。(1<i<12
    4 _0 |% D4 w" d+ N% n
    4 E2 F0 u1 z! l! P:表示所有路口的流出车流量。/ M  g7 X& D$ r' S1 m! J
    % {0 f2 l0 V$ I& ^
    :表示红绿灯持续时间,具体是红灯或绿灯,模型中会具体说明。
    8 c0 J- W, @- b 4 _# Q/ N9 ?/ R2 r
    :为某种情况下的堵车数量,具体模型中会说明。
    8 z7 Z/ Y( _3 N/ o- R+ t . [. ?, g* d+ N( t+ F6 r
    :车流密度,作为参考因素,将影响对车流量的模拟。  [& r! {, a* F5 u% u* U0 _
    5 |" |" C+ ~0 v' |. M

    0 _. d7 V6 M% S5 U - E) k/ r5 w9 k& R+ \
    四.问题分析
    此问题属于交通流问题,我们在初步考虑这个问题时,参考了交通流模型的结构方程。我们认为影响环岛车流量的因素有很多:红绿灯,时刻(高峰期,平时等),天气情况,游客人数(虽然凯旋门游客时从地下进入凯旋门的,但是每个路口还是设置了人行道,所以游客的多少也会影响到车流速度,因而影响到车流量)。正常情况下我们不再考虑路面维修和车祸的影响。
    . Y0 L& ?; M/ z, u$ w: n由上分析,我们需要做的是通过对交通流情况的模拟,找到最优化的红绿灯控制情况,从而达到车辆最优化控制的目的。& c$ u  p0 d( A/ e9 @' v
    因此,我们将此问题归类为最优规划类问题。
    / y1 x! D% T; n6 u+ P5 g& E6 _我们查找到了以下参数:
    ( j& g3 U9 Z9 T' B6 z凯旋门环岛每天平均车流量:110/天。
    : M9 J, x/ j4 M5 f环岛外半径:80m( Q" Z9 d  x) ?. ^- x6 Y. y
    环岛内半径:53m
      e, `! |* v: a/ H$ g  ~8 Y一般中型车的底座面积:(7~10m2
      U$ [' ]; X4 b# n主道可以同时并行3~4辆车;支道可以同时并行1~2两车。8 C% Q) p6 @$ H4 L5 m! ]

    $ r" y. ^5 M( B/ h8 H + A4 |- c2 a) g7 X+ d# w( V
    4.1 环岛最大车容量:6 Z( d- R0 ]3 q3 s
    由上面搜集的数据,我们可以计算出环岛最大车容量。' B8 P8 U& H7 G0 K! c( E. \
    环岛内半径为 ,外半径为 ,车底面积为 : V0 p3 F: m' y: B0 Z
    则环岛路面面积应该为两圆面积之差:% z+ T, _7 \- p! e
    2 g. ^5 ?7 I4 S; V' C2 `
    则环岛可容最大车辆数为:   (取整)9 ]# y) ^" @; X
    可得环岛最大可容车辆数目为: =1327(辆)。* [9 G! }8 R( H% Y
    考虑到车之间应该有一定的间距,并且应保证环岛有一定的畅通,流畅性,我们设定环岛最大可容车辆数为N=1000(稍微超过1000也行,我们只要保证严格地不超过1200)
    2 F: i% `9 u# d; V + M5 b) ?; ]9 b- U6 L

    * k9 k8 ^; v! l1 N5 O4.2 各时段的车流情况/ _! o% X! F8 w  L$ R" e  y

    ) O; M) u9 O* b& b+ S1 r工作日
    4 N" M1 I3 n$ X- y0 u4 R
    时间分布0 N" ^8 C2 R" v* u! t
    时期分布
    ! Q# Y+ W. ], F* w, k
    000~500) Q8 w2 @7 F4 P  ~$ m3 N
    稀疏情况$ n+ q6 [+ p8 U8 J( J
    500~600
    9 W6 i* F7 g' g7 }& E
    一般情况
    ; i2 _* |- M6 g+ u, O
    600~730
    3 r* Z  |# J( w8 F" c3 ^
    次高峰
    6 f! K, e, z: z- I3 a* f# R) A! |
    730~900* g0 ]2 Y* d" p4 @5 D
    高峰期
      E3 w) T9 }7 U
    900~1730
    - k0 \$ d1 @0 q; @9 [
    次高峰
    " r$ C/ o2 H' f+ L
    1730~1930( k' ]/ ]4 H; |# h* F( M
    高峰期0 z2 o( C  w7 t  G4 [
    1930~2100
    $ v5 W; M9 P9 R2 b2 E
    次高峰
    6 z( ^7 y. i( ~  v9 y; w5 g
    2100~2300! e3 Q+ u8 J' Y- D
    一般情况+ I  X1 L) j0 y' {# D% u
    2300~2400
    ; T0 F/ X! s) F
    稀疏情况
    / h3 A# W6 w/ l) S
      f1 n: B2 Y' a* t
    ; ~& O( n! L- K
    周末/ \0 X% w9 c8 S, N
    时间分布6 D; L5 Y, \6 z1 `" O, G5 l
    时期分布
    7 \1 m  A6 G% b$ B
    000~500
    $ u. F+ P& q) |8 l# E0 R8 d
    稀疏情况
    6 Q. A. j. H/ X- V
    500~6007 I8 t  r) R" I, E: e5 l- `
    一般情况
    0 J- z+ }7 s% A1 O0 `8 `
    600~800" M$ Y# t% I% b5 ]+ n7 }
    次高峰
    9 _; Y5 t% V5 T4 E
    800~17305 P/ A: u0 i) K! g: N9 g
    高峰期
    * j' m/ W& c9 u, A- s1 X
    1730~2300
    9 I; R% \" G6 y3 q
    次高峰+ [" z5 G2 \0 ], F
    2300~000) p/ h8 O% l' F
    一般情况& g6 i# K0 T+ i. ~" P" G1 B& N5 X3 F
    1
    7 m& _7 n8 Z' q+ N5 X4 C5 Y
    说明:5 Q+ u2 C: z+ m  Z. G2 R
    在巴黎和法国其他主要城市,高峰时段的交通最为挤塞。法国每日的交通高峰时段是早上7时30分至9时及下午5时30分至7时30分的上下班时间。在星期五法国人一般都会外出旅游,所以交通高峰期会较平日来得更早,在下午4时起便开始阻塞,其中尤以离开巴黎的各条公路最为繁忙,而非高峰时段的交通一般非常顺畅。2 n3 m) X1 X1 f( N6 K
    , i+ _3 P* E7 b% }2 d! R+ a! Z
    4.3 对于交通模型的假设与估计
    1 c& u3 ]/ f9 E' I+ ]) E对于交通流模型: ! F8 g+ @0 V. Y& d# u1 u
    其中:q为车流量(即单位时间内通过的车辆数);
    $ r  F4 c/ c1 X+ h  A+ J$ W' J; n& A. P. p" C$ N' q

    6 M: C/ b+ J  U, Y* k/ C
    为车流密度(单位路长的车辆数);9 ]% y( D* U2 K8 N
    " b! ?: ?  X# f
    " w4 Q) V1 h) a. E2 @, r5 r
    ) a# Z% ?  P0 R; Q. b8 S
    为最大车流密度。6 \0 ^3 r0 A# g1 ]* x* w

    5 X9 v+ R0 r- k+ ~4 P* F' f& \8 v: i, I, j' T
    2 _+ p( V) `: |) z7 ?% }& O
    为最大车速(注意:车速时车流密度的函数, )。2 }% R2 j5 |# V3 Q9 Y! J
    根据上面的方程,我们可以估计出每个路口不同阶段的车流量,这包括流入与流出。
      r% u* @; E, l0 `为了保证总塞车量最小,同时等车时间最短。我们针对不同时段对车流量进行了不同的划分:
    " |4 c) U0 l) i$ t' w6 i& o
    环岛内车辆总数Q. J( I. r# t" O: @% c& K
       
    2 v- {3 u: b% a; r! A0 m
    有红灯亮
    3 Y0 ~" h! t- V; q, \6 r4 i6 e5 a
    无红灯亮
    3 Q6 d: A8 B- j- Q4 |7 A2 ]

    ! s7 W8 b1 G& x8 l
    , Y% S. t6 e% v4 }
    4 V/ h7 o$ I. }

    5 m! [5 n1 E: M; [& C
    主道y# ?# L" J" k6 P3 |8 H+ \7 x
    支道y6 ]! m" |  ~$ K! m! O$ W* j9 [7 H$ x
    主道w
    " x: I* r$ R4 {
    支道w
    / b! p3 B% r7 Z9 j. Q
    主道y
    ( y0 C* }9 ~) I" k7 S- D# l, W/ x
    支道y
    ; @1 Z+ c0 _, ?8 G
    主道w
    $ Q" F' ^, V0 |* j: {
    支道w( B6 ?+ s" F4 V% [( T/ ]
    800~1000
    - D2 M. M0 V7 r/ M( R$ m8 Y3 F3 r
    高峰期9 {- H* e- x$ m: L
    3~4
      Z9 S/ ]) ]* U: ^4 M5 h/ ?# J+ O
    1~2
    & y( W- z2 o  I- S8 s# f
    0~4
    " d# s+ n9 @/ o  U0 x- q" C, o: b* @
    0~2$ x8 `  G" B+ W6 e
    3~4
    ) w& X! v* y8 S5 \) n: N& m. ^( n
    1~2
    6 b  t9 X- P5 ]' t' E$ H
    0~4" _) P" @" N9 ^8 m) e. D- J
    0~24 v! O4 c; v  W1 w4 \/ M/ x
    500~800  g( p4 P# i  N9 B4 v8 A
    次高峰. |3 y3 k+ ?' r  Q4 O8 y9 @
    2~47 A  t2 K, F( C( d6 X2 {
    0~2& e- h% o/ ?  i$ Z) x1 o1 U
    0~48 |. J( e% K/ C2 }0 t' ]
    0~29 r. f- n- z. ?6 A  f5 [. p
    2~41 ^3 @1 Q7 Q% m+ v, r, a8 R4 h
    0~2# f; ]9 Z$ ]5 w; A& T5 [
    0~2
    1 Q, O: s5 b1 f" [* q
    0~10 H0 l, ^  p6 m
    200~500: v# ?. s7 r1 Q6 l. n
    一般情 $ ^3 `7 k, a& J& [, _  m& T* Y) e! ^
    1~2
    0 q  l+ t/ W7 m- [  d
    0~2
    + I  W0 S) T  ^% T
    0~4. \+ n' y4 Z6 W; R" n$ k6 G: h! r; H
    0~2' Z4 K, [* f- V
    1~2
    1 {$ T  s# e2 B( k
    0~24 x/ R! G3 e. _( o6 i6 @
    0~2
    , H  `! \' H+ H( D- j: H% D
    0~1
    8 P* K* y) b  o
    0~2007 [0 z& K" p1 X* U3 w/ N- |
    稀疏情
    # I1 U; a# ~) R2 @1 U
    *3 A! g( [2 `/ J8 b+ h
    *) S8 s0 ?+ a' K( z
    *) ^3 ?- y( B7 F; ?
    *
    , _3 D; u5 y% e* [. A  C$ G6 q' Q
    *
    - i& X/ o" I0 K0 y# x6 x1 I" Z
    *( O  x( p: f$ w7 p. Q3 {7 K; `
    *
    + y7 ^& S% ]8 L* {
    *% H0 z! `8 D# P
    2
    五.模型的建立和求解
    我们先设立一个逻辑控制变量 7 v# I; r7 j/ u1 ?( x' w( f
    对第il路口,当有车进入时, =1(即认为绿灯亮)。# B, b, j+ {+ d% |: D
                   当没有车进入时, =0(即认为绿灯灭)。6 {5 V5 P4 `. Z3 w6 K
    又设 为第i个路口的车流量(辆/秒)。
    $ v! v! C6 C% s8 G: V) K则我们可以列出下列等式:
    / @5 ?" Q' d. L% @( J$ d' G* v; E! h/ S      根据:单位时间内,环路车流量的增量=流入的车流量—流出的车流量。3 Y  A7 ^3 ~8 T8 Z. J' b2 s
    6 k) _  }5 z- M( G

    $ z1 I$ t: ?: y/ i# u1 H/ H( h4 u! T# z& `
    dq表示单位时间内环路车流量的增量。% `- o; q% i4 ]: U1 b: I. i' Y1 h
    ) k1 I: i: [1 q: p* Y. ]: S4 C
    对于 以及 我们可以用rand模拟。
    . b$ d6 s- O7 ^; j# c, k 1 G3 r/ S& F  P& c1 S& g
    因此,环岛内车辆总数Q满足:9 J4 y. r8 g4 y3 H. D) y/ O" f
    3 e- \( d- s9 L" S! x
    注: 6 r. a2 D; I2 }3 @8 j5 K
    由于 的组合有很多种,我们加入限定条件,即要保证等待时间最短(红灯亮的时间最短),以及等车数量最少。
    " _5 Q, D" w- C) |
    % T! _. v6 q3 C7 W因为等待时间就是红灯亮的时间T,等车数量又与车速和等车时间有关。2 A0 O4 f0 V/ `9 r) ^6 H
    4 j6 r) p) q' ]' k+ J5 Q( V5 k, @% m( x% J
    为此,我们设立下列函数:! ]" V* O& z& R4 @6 ]

    ( n3 [8 d- q- G# @1 l$ M0 Y
    6 H' u, T7 P+ \1 Q( A" t

    " C3 s0 X, x* |" I+ N7 F 0 A2 D% y. w; p$ c8 P4 O+ b& Q
    说明:1 b" Q9 s1 P  e6 T
    为各路口的逻辑值(通为1,不通为0- e) d9 I4 P3 I( e
    # F# B2 v# O/ o" X+ p" G' F% f- j
    为第i个路口的车流量(辆/秒) : e1 ~. n& y2 b, S- q
    为循环中第一次亮红灯时的堵车量, 为第二次亮红灯时( 的对立面)的堵车辆。( x" H5 w  Q- c: x, ^, |% S7 b
    为总堵车辆。
    ; r. E' L/ W3 e0 P, s 3 B( i3 l5 n1 ^% Y# E+ o9 ~
    上面的分析可能需用到下列参数值:5 K$ K* T  W8 [: G& u
    1.
    ; C' n( v5 l; u9 f7 L& _7 v
    每条路段上的最大车流量。

    8 U; u/ H( v* `& _2.
    # h; y. f3 B- Y) p! c
    每天路段上的最大车流密度。
    4 ]4 H6 s: E" }" v, L0 ]( ^
    3.8 \5 F4 Q4 S& Z' L, c, w7 `* p
    每条路口进入的车流量(辆/秒)。

    ) x! k) f- [$ d; g# j/ t: S4.
    1 p0 j7 `( S+ O, B. J! N' W* X8 b
    每条路口开出的车流量(辆/秒)。
    # B6 {8 R7 ^( d% n; o1 g
    - |' q% U3 N. [6 p
    通过模拟,我们将在不同的组合中找出最佳的红绿灯方案,并通过多次模拟,确定时间分配。
    8 V) G/ r) @2 A; [) U0 t . Q. H5 ~9 E0 f; R. U, q
    # \+ d% Q9 d) O7 y& E5 Q. o7 B3 H+ R7 n
    一、对于高峰期时,我们对于下列组合进行了模拟(程序见附件):# a/ C4 f1 Y0 j4 _8 Z
    红灯亮的个数(盏)
    . w" D1 j4 }$ l: j% `1 b1 J3 q
    12
    * g5 C, c# b+ A
    11
    % G. u4 I6 Y: `6 a- Y
    10
    , L8 N( A. t" }2 C* W# b, @- n
    97 u& h6 B- P5 s% g" c$ u
    8
    . ]/ l  O3 g) K! j1 ^2 G
    78 ~6 b( S4 ~, ~$ M2 U9 D
    69 k+ d% g- ]4 d5 t  h
    5" R) Q) \2 O2 F
    4
    4 _) r$ K9 \3 {! q
    3
    1 i! y1 H9 \, ~2 L! U9 j
    2
    9 o, b  ~0 ]( S* q) o/ A. Q
    1. A% {- s, x* b9 P# G, `2 @; Z
    0
    , z8 ~' [6 ~# Y5 u
    平均最短等待时间(秒)
    + X! d' \! u4 {, D. y1 h8 r
    16
    7 d9 S1 D* ~5 p7 r0 a$ L
    206 G5 X" u8 h! l
    226 [, B# u5 G: {; B$ V$ k
    27
    2 J+ a$ C$ r8 r+ ^0 T+ o
    30/ [# [! v  `$ @
    42: g& T9 U! \. E; m8 n! V- M0 u4 l
    70! O1 q: `  A7 t- G0 z( X5 G0 S
    154
    % J6 }  b$ Q6 t) i4 o. o2 [8 g7 g
    Inf6 W& x4 W0 d9 E* u2 W4 U
    (无穷大)
    " v: L2 K" s9 @, T
    Inf* g6 S% H0 H/ ~+ O
    Inf9 K+ K( f  L/ w, ]+ g
    Inf5 ?( C+ @2 [0 t: M% W, D% e) G  A1 @# u. i
    Inf! w+ X  L$ x6 s- L
    3
    注释:1 O. T! ?, R- Y
    对于红灯亮的盏数,我们可以有很多种组合方式,比如红灯亮1盏,可以是1~12编号中任何一个亮,但这些组合中总是有一种或多种为最优组合,这从我们程序结果可以看出。+ W, F' T+ T# {3 Z9 ^$ H* C9 L0 _
    ! {" T3 q6 j2 _# E0 h
    分析:
    & f& J, |9 g8 @5 c& `6 j
    0 Q& j. q+ C0 c/ G% k3 _) W0盏红灯亮:- J+ B1 \) t, L/ i0 l
    此情况显然不合理,因为没有红灯就无法控制环岛总量。7 D* K0 V; }& z& r/ m0 \+ M
    7 a- O0 x- P) a+ M/ W; {
    1盏红灯亮:- O& \$ L8 ?% w4 J: g
    对于此种情况,经过模拟发现不可能达到降低环岛车辆的目的,反而,环岛内将更加拥堵。(过程见程序)8 T5 L% }( W5 ]7 d
    9 {$ P7 k6 _: C9 q  c
    2盏红灯亮:- o" ^5 R% M+ n  }+ _: p
    此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。- k; X5 E' X( E  p4 A9 N
    / ~" C% Z6 w1 {& V
    3盏红灯亮:
    9 M3 E7 X3 b3 e3 \& p& T此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。
    / r  W, J& p% F4 Z5 U; h# I * [6 i# c1 [2 Q, q1 q
    4盏红灯亮:
    , [  ?) T! v% i0 @7 C8 D此情况结果同上,不可能达到降低车辆的目的。
      E9 L4 b3 Z) r 1 A2 h7 V0 `: N& G6 c% X
    由上分析说明,红灯至少应该亮五盏以上。
    5 o( C  ~% t; ]5 E& g! G& W ' ^: g# I4 R& J; [
    为此,我们排出一下组合:7 q; ~) s/ d5 s! i% k. y
    5——7
    # J) K6 ?) |5 ~) n$ f+ [1 m6 ^7 }4 j此种组合方式下,可以分为:  _. G7 W0 ^( _* O" S
    a.开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为144秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为48
    ; X- k" @0 Q: Q此时,总塞车量为:
    0 N1 m6 Q6 B; B. O1 V" ?
    # `. Q' u: ]3 r" x) `6 Ib. 开五盏红灯时(不包括主道)的等待时间为inf秒,故此情况不成立。
    3 }8 P' D, E) }* @/ g! f 3 T& ~* u. K* Q1 L6 `
    6——6
    1 B6 X* t, G. ~) d/ g- f( L此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为68秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为67(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于是模拟,不可避免的造成一定的差异)。
    9 m& S; G6 o( ?+ o  {! t. E% `: j此时,总塞车量为:
    , N# f! C7 Q6 n  G( h. w7 c- @- b7 \, r8 j' X

    & A5 P4 Y2 _/ D5 W" l- e: w+ Y在保持堵车时间尽量短,堵车数量尽量少的原则下:& M  A9 |! L4 Z' `: I
    只有选择6——6组合是最优的。2 a& W1 r- G; l: T+ n3 j
    根据等概率原理,各条支道应看做概率上相同的路口,而两条大道也是等效的,因此,在模拟时,我们就可以人为地设定组合,只需保证总数按红灯亮的盏数分布即可。比如:对有6盏红灯亮,我们选定组合编号为:1 3 5 7 9 111为主道),此组合方式与2 4 6 8 10 12等效。
    ( `0 o- H4 \" L5 \
    " c7 b5 f. w8 z这时我们可以确定红绿灯的循环模式。2 d8 ~1 S& L3 x9 t* d( V
    不妨设定,先使编号为1 3 5 7 9 11 的红灯亮,在经过T(T=68)后,打开所有绿灯(包括原来的绿灯),再等环岛内车辆上升至限定值后(经计算t=25),再打开另外路口6盏红灯,其编号为2 4 6 8 10 12。之后,重复上述循环。
    * @# ]0 q1 a6 \. A% l # ^# L& s6 [, G/ E9 Y, w
    & @" v* s+ t! [4 s0 _. W3 u
    二、对次高峰,模拟结果如下(程序见附件):2 p; b, A) t' y! n
    亮红灯个数(盏)  v  e0 B2 Q0 E4 a  q1 x8 V
    12
    9 B) e6 y: u% Z
    11; A! M- g) }4 u4 @) K; i: u5 X# c) H
    10
    ! w2 X8 m# Q: v
    9
    - {7 @; r* G( V$ H% {
    8
      C9 j' G* \) c
    7
    : i) `! b7 b- e* z
    6( d5 K8 m* A; H9 B
    5: F, f/ l9 X' c) O$ R) J
    4( U1 d7 b% G: A; S
    3* u7 ]. r" k: c  ]4 ]3 r/ ^! P
    28 U3 A( x6 n- K/ X: t
    1) |7 P$ u8 M2 p2 H/ f3 n6 c
    0
      g  v7 k% x$ \# o* Y1 ^) ~7 O
    平均等待时间(秒): S; I  C2 a4 T& L
    248 `7 H8 l3 r" n5 f" ~- e+ O
    308 R, P4 x5 N  g* E, @. g2 B
    31
    1 S7 g6 M( _3 v  F: f0 ]0 D: W% e
    32) Q) g% T0 t9 @, }
    35
    + B; o% B4 m6 A+ L/ u% j" R. i" X
    43( ]$ c5 ^3 Q* Q' D
    57/ m, @0 _. W* t( u: a2 N5 Q
    68
    " Y/ O$ o8 F6 u2 B% L: b* M- F
    96
    * t9 E1 e( b# K7 n1 p9 [
    Inf
    8 `( H3 N+ N5 L  Y) U4 _
    ! a* o6 @6 s1 {1 F. z
    Inf1 E' T9 h/ }* y6 l1 g6 z) Q
    Inf/ V% a7 d+ x- E" C: W& q0 w
    Inf7 s+ m4 I6 \5 c0 N9 Y! V7 T! e- W
    4
    ' m1 E9 f' S" \, }
    说明:/ {# X0 m$ V2 X. Z7 M  L& ^7 T6 B6 R/ t
    对于红灯数目小于4的情况,实际上有的模拟值满足要求,但由于等待时间太长(100秒),并且情况及其不稳定,多次出现inf,也就是不能达到降低车辆的效果,我们认为这些情况都不现实,均统一成inf类。$ d- Z& A( l2 R1 u+ u: {( x: `

    ' Z+ \8 f/ N' J) ~由上分析说明:红灯至少应该亮四盏以上。% K) c$ u; l. U5 B* s( M) V  l$ b

    $ n% B! v0 ]( {  [3 B( @/ w为此,我们排出下列组合:' Z7 }4 j0 ^% o% k
    4
    ——4——48 b& I, v: L+ O) ?0 q, \. _
    此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外4盏红灯(编号为2 6 7 8)的等待时间为77秒,开最后剩下的4盏红灯(9 10 11 12)的等待时间为147秒。: h+ B6 W9 g7 M. m6 A
    此时,总塞车量为:% U9 N5 a6 R" w, J5 k& ~/ V, n/ U
    2 O0 J0 }# \' S" ?3 j6 ?3 \5 }4 T/ W
    4——8
    8 l  V) C7 F: {- i此种组合方式下,开4盏红灯时(编号为1 3 4 5)的等待时间为80秒,开另外8盏红灯(编号为2 6 7 8 9 10 11 12)的等待时间为39秒。
    " C" z7 c) ]& X/ E) S# \" B此时,总塞车量为:7 u4 L6 ]! V9 f0 T0 b

    : N" S$ j" t8 d2 W' h 3 p4 u& L9 Y; J% @( c6 l7 {$ e
    5——7; g2 R& M' j7 t2 B' C& Y% f. G* q
    开五盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为58秒,开七盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间为453 Q( g6 H% T, J0 j" V7 a1 @
    此时,总塞车量为:
    3 h: X, Z& |" t9 {7 l$ {/ k% E1 C4 Y5 l' e8 G6 f2 T
    # W- N/ v, _- g5 j7 e& G
    6——6
    3 T' v, [. r( K" l+ i# f& X, s此种组合方式下,开六盏红灯时(包括一个主道)的等待时间为50秒,开另外六盏红灯时(包括另一个主道及其他支道)的等待时间也为50(由于分布相同,其实两个等待时间应该一样,但由于时模拟,不可避免的造成一定的差异)。3 v/ u  O5 S# a6 p& K' {8 w
    此时,总塞车量为:
    " m4 G* c& p& I2 l) Z
    ; Z. X2 Y) x7 j, c! v/ J* K( W8 ]
    / w% h1 ]5 {  Q由上可知:
    ! ^; n% |7 J6 D9 S& X; Z1 g- Z对于高峰期和次高峰期都应该选取6——6的组合,并且将两条主道分配到不同的组合中。
    6 a  D! Q& U9 Q+ v; L
      t: t: D0 y1 ?( g( l" ^2 W% n
    3 v3 ?+ A: P  n/ S% }) m0 O/ d说明:(为什么选取组合时两条大道不能同时选取?)
    , x# R# g+ d3 P# M3 P  a- u下面只针对高峰期说明:
    # A: w8 O8 N: M" s) F对于高峰期同时选取两条大道的情况:
    4 Q. f9 {: Y! f4 K4 ~8 M2盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。! a2 f  P& j7 b
    3盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=inf,也就是说不可能达到降低车辆的目的。
    , k9 [* `: B; ?4盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=158秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。: T4 V; w+ q5 h
    5盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=101秒,并且多次模拟发现其等待时间出现为inf的几率很大,也就是说不可能达到降低车辆的目的。
    7 @, v9 O( B/ M9 ]" Q- Q- m6盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=63秒。
    - W! E8 @( v; Q6 j" g; t7盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=50秒。
    / @+ D! W; |5 f1 v2 U) c- W% m8盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=45秒。- m0 _& x5 s8 f2 a  p
    9盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=35秒。
    7 E2 I" e9 }2 [10盏红灯亮:如果同时选取两条大道通路时,经模拟,其等待时间T=30秒。6 s1 p, i- O) [  R. U' o
    ' Q+ F, ?: c# U8 x
    同样地,考虑到我们设计的算法,对于高峰期,不可能不选取某一条大道,所以我们只需考虑对称选取,即组合时尽可能的将大道分配在不同组合中。5 \; E' r! _# U) u  A6 i! A
    2盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间多次出现T=inf,说明此种情况不可能大道降低车辆的目的。  P! p5 C" R0 {8 n
    3盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间T=96秒,但也多次出现inf的情况,因此不考虑此种情形。
    " u; Z) E- g. [, H; y  y2 h4盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间3 G6 q# c( G* B  J/ ]/ Q4 Y
    T=65秒,但也有很大的几率出现inf的现象,也不考虑。7 X; E6 u1 G7 H6 |
    5盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    ' z7 T3 j- m9 m+ f& }1 c& iT=45秒。% X: O5 j! C1 k) }" s
    6盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    . \1 l" u3 \0 d2 j# JT=35秒。
    ! T) }; v3 w$ ?& r  c- R6 x4 j7盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间! K' E* g5 @( [% m2 W
    T=31秒。
    ' ?5 Q$ o9 d# j4 C1 m. m5 |$ Y8盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间
    $ A' i8 g1 B* {T=27秒。
    $ J" b6 ^$ [' t2 y/ X7 X8 a9盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间  J& s8 E# X/ @% R8 H
    T=25秒。
    , V/ Z5 R8 S# _' e8 U10盏红灯亮:只选取一个大道通路,另一个大道堵塞时,经模拟,其等待时间=23秒。* P$ q6 K, d( u5 P, f6 R, [
    * L9 o5 l( _6 a1 P
    对比上面的两种组合下的结果,显然第二种情况更为节约时间,对于所有红灯亮的情况,只选取一个大道通畅的情况能保证等车时间。因此,我们认为,选取组合时两条大道不能同时选取。
    7 |! Q' S" V! s2 _  H$ }! _, k. J! K% z2 \ . T) X# N( |, _; m3 @
    由此,我们可以得出高峰期和次高峰期的红绿灯控制方案:3 t) n/ X1 A8 h. |3 u" H
    对于高峰期的方案:
    % }' N: e1 e# `  m. M8 r  O先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=65秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=27秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=27秒,此后若不打开红灯限制车流入,将超过环岛最大车容量,因此,时间不能超过27秒,但是,我们为方便设计考虑,将时间定为27秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=65秒。结束后重复上述过程。, W" W$ m- w4 o4 D6 u: Z7 ^
    ! D8 i: _, t! ~# f6 }# {: v; W' ?
    对于次高峰的方案:
    & k5 d  U$ ]. `1 s+ R' B8 c4 w, p先亮6盏红灯(包括主道的那个红灯),其持续时间为T=35秒,此后,红灯全灭,绿灯全部打开(包括原来的),持续时间为T=23秒(在高峰期,对绿灯全部打开的情况,即所有路口通畅时,经模拟,通畅时间为T=25秒,此后若不打开红灯限制车流入,将错过环岛最大车容量,因此,时间不能超过25秒,为此,我们为方便设计考虑,将时间定为20秒)。之后,又打开另外一组没亮过的红灯,持续时间为T=35秒。结束后重复上述过程。
    2 C3 W* p  h# S, N
    6 i6 I; |* x, X0 y# | % d9 y3 n1 E8 ~- g
    三、对于一般情况与稀疏情况的说明:% X0 ]7 T, N+ N& b

    - v0 t3 [5 {0 ?9 F4 n3 M* ^A.& J  @( F# B& O8 N8 A7 j
    一般情况:

    ; ~6 t0 H( {  S6 m/ o5 m对于6盏灯的组合(每个组合只分配有一个大道),其等待时间T>150秒,如果红灯时间仍然按此时间设计的话,肯定是不科学的,因为不可能让汽车等待如此之久。因此,我们从尽可能减少等待时间为标准,经过模拟,发现当所有路口均亮红灯时,其等待时间最少,为T=23秒,而这也符合一般城市中非高峰期的等车时间,我们为了方便设计,将此时间定位30秒,而30秒也是一个可承受的等候时间。对于绿灯全开时的情况,更趋前面的假设,经过模拟,畅通时间为T=50秒。因此,我们选定一般情况时,红绿灯亮灭的原则时,所有路口红灯全亮,持续时间为T=30秒,此后红灯灭,绿灯开,持续时间为50秒。之后,重复循环。2 g# H# L0 j* I- j. N
    B.稀疏情况:. T' y0 u* d  `* n1 t/ x
    对于稀疏情况,车流量具有不确定性,我们无法估计具体的车流量,但由于此种情况下车流量很小,我们可以将之归到一般情况,并且以一般情况的红绿灯规则来控制。# q* g, C1 z  @! P2 O, \$ ]3 u

    . f- C- A' `! e: n- Z% R9 M3 L4 m 6 k$ Y" ~1 D, c% F; }# \1 m

    ! V1 `" F" t$ a8 K
    六.模型检验
    根据我们的方案,我们采取随机模拟的方法,分别对高峰期,次高峰,一般情况和稀疏情况进行随机模拟。: D) X& L' V1 r' p
    为了保证环岛内交通的流畅,我们设定环岛内的车辆总数Q不能超过1000,但实际上换岛内最大车容量为1327,因此,我们在考虑交通流畅性的前提下,可以适当地放宽这个限制,严格规定Q不能超过1200
    ( a5 U5 r$ }0 o$ S2 ~% ~% q我们检验的目的是为了了解模型的稳定性,为此,我们对四种情况分别进行了24小时的模拟,其结果如下:
    - v! U) g! r+ [1.高峰期:(程序见附录)+ L2 i  ]1 x: i0 n+ E9 I) h  u
    第一阶段红灯持续时间t=65
    ) K4 j+ G- l+ L8 l第二阶段绿灯持续时间t=27
    1 X! W% F; C$ J$ N- ~第三阶段红灯持续时间t=65
    6 H2 R/ X; y/ `+ Y1 k6 O8 _( P" W第四阶段绿灯持续时间t=27
    . g5 `2 e. Y0 d! G: h; G' S4 {总周期T=184
    . H8 v* w% N8 R ' j& G, S1 _( I1 j
    对于此方案,我们在模拟时发现,由于每周期都会累积一定的车辆,也就是误差,在很长时间后,其累积的误差将达到非常大并且不合理(超出最大容量)的数值。因此,我们需要增加一个修正时间,并且此时间应该很小,只在车辆超过一定数量时才加入。; Z# s3 ?  m/ X, \, c6 k
    我们的做法是,当环岛内车辆大于1000时就对红灯持续时间加3秒钟,即此时红灯持续时间t=65+3=68秒。在车总量Q没有超过1000时,我们仍然以65秒的规定时间运行红灯。0 l- Z; j9 V; J/ I' t
    这样,我们模拟24小时高峰期后:超过1200的车辆次数为37,占一天内车辆总数的比例为1.97%。(这只是模拟一次的情况,在模型改进中,我们模拟八次后取平均,得出更加准确的比例:2.74%2 b) v, `4 w" n
    对于此比例,我们认为是相当小的,也就是说,发生环岛堵车的概率时非常小的,因为我们是对1天进行模拟,累积误差显然会相当大。而一般的高峰期只持续2小时左右,累积误差必然很小,其堵车概率也应该低于1.97%8 W0 C& W* g  c) I- F9 ]/ c' z# B
    1 }& U" Z) H) n9 |2 D( N! U
    2.次高峰期:(程序见附录)9 P$ A1 @% Q& u) V& E1 j, W5 l. x
    第一阶段红灯持续时间t=35; E% j7 {  ]- g" `+ H' m
    第二阶段绿灯持续时间t=23
    ! Z+ l. @- s) E& u1 r; \7 {第三阶段红灯持续时间t=35
    ' _  Y6 o  x! c( ~, b6 P第四阶段绿灯持续时间t=235 _* n8 O& ?. f5 A: p, C( @
    总周期T=116
    ) U* k* Z' \9 ^7 h1 C, G/ T% D对于此方案,我们为了保证环岛被最大利用,同时又能使交通运转顺畅,设定环岛内最大车辆数不超过800,经我们模拟24小时次高峰:超过800辆的几率为:
    9 D; a) [* e$ H0 j" r,
    显然这是非常好的方案,鉴于此,我们不对此方案做修正,即沿用模型建立中确定的红绿灯持续时间。
    " _8 I0 ]$ c% o3.一般情况和稀疏情况:
    0 N& U" Q. ~( d+ c" e! f1 @7 f+ \因为车流量的原因,不可能造成交通的拥堵,因此,我们不在对此情况做模型检验。为了说明时间安排的科学性,可参考其他大城市的一般情况的红绿灯时间。
    ! ]; J& M$ f  ]# I  m' { 9 @+ |. R: i; H0 O& _

    - Y/ c+ \# j) }3 b
    , c5 {4 c2 R! S# k
    七.模型改进
    1.对于工作日和非工作日,由于车流量的分布不同,我们可以根据表1来设计红绿灯时间安排。' O" w, c6 Y8 G4 y$ [% x% v9 D0 H3 r
    2.我们只考虑了每个路口流入与流出的关系,并没有考虑到车辆在环岛内的绕行情况。所以可以增加限制条件:环岛内并行车辆不碰撞,这样可以选出更加优化的方案。" O/ K) y2 T2 q
    3.不妨考虑车辆在环路中的相位问题,这项可以细化到每辆车的行驶情况,但这样相对来说较为复杂,我们不予考虑。7 R- O  z8 Z: `0 k+ _- k
    4.对高峰期时间的修正:0 l. i8 D3 n/ l! v
    若不对高峰期的红灯持续时间作修正,则经长时间后,累积误差将使环岛内车总量超过1200(我们称之为危险),这是非常可怕和不安全的。为此,我们对红灯持续时间做一点微小的修正。经过我们的模拟:(程序见附录)
    ! d* Z! ]* f; U8 R修正时间t=0时,出现危险的几率:89.62%9 |, s  R' a- j- ~
    修正时间t= -1时,出现危险的几率:88.56%! M9 `2 D; w2 n
    修正时间t= -2时,出现危险的几率:98.03%
    " J$ |& g* ?2 H# `其实,如果减少红灯时间,显然,这时在这段时间内进入的车辆数目就会增加,在不修正时已经危险的情况下当然就会照成危险几率变大。, v  Z# E. e* v* I. `- F" e
    所以,我们应该将修正时间调为正值。
    5 k. @, H  P! a. z* t* N修正时间t=1时,出现危险的几率:93.33%4 o# k$ s! Z: h5 w
    修正时间t=2时,出现危险的几率:13.74 %
    , C# ]6 G0 J6 M1 f修正时间t=3时,出现危险的几率:2.74%
    5 A" r0 p! X1 N" c因此,我们以5%为限定,确定出修正时间为3秒。
    + |8 a. W- `9 @* y 0 F8 e: g8 p" A% w7 R& ~
    八.模型评价
    8.1 优点# N: |8 m" e/ |8 R  R

    - K" K" A* }: n1
    .本文对不同车流时段(高峰期、次高峰、一般情况与稀疏情况)模型分别进行了模拟计算,得到了最优组合下的红绿灯循环时间。由于车流量是基于模拟的,并且环岛内车辆总数也是先设定的,因此,我们的模型可以适用于很多情况。并且,根据我们的模型,对于已知车总量和具体车流分布情况,可以重新确定出最优化的红绿灯控制模型。

    1 o% b/ r- o7 g8 ]
    # c7 m: P" h5 {2
    .在建模过程中,我们对所有可能出现的红绿灯组合情况进行了模拟,这样最终得到的最优组合的方法是很科学的。

    ( ?. }; r/ j- D/ Z  U
    ) {  C8 N$ f& F' l8.2 缺点' \5 ^* w1 N0 u
    0 S$ ^; g+ j" s3 s
    1.
    在模拟模型的过程中,我们假定车流量服从均匀分布,这带有一定的主观性,并且我们并没有考虑每一辆车的具体行驶情况,比如车辆在环路中的相位问题,这可能造成某些紧急事件发生时不能及时疏通道路的问题。
    zan
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