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觉得是个有意思的问题,希望有兴趣的朋友一起探讨,当然这个世界级猜想早几个月才被复旦大学大三学生郭泽宇破解,很牛!也给我们大学本科阶段追求创新一些启示,这几天正在做中南大学的培训题《城市生活垃圾管理问题》,设计到垃圾收运路线的设计,而城市垃圾收运路线正是一个曼哈顿网络问题,当然是最小时间,还是最短路径,看个人理解,要解决这个问题看似方法很多,大多数是当做一个TSP图论问题来求解,或者建立规划模型,用的方法也大多是模拟退火、遗传算法、蚁群算法等等,比较有新意是分析曼哈顿的特殊结构,运用基于约束的网格聚类方法从类的角度考虑,就降低了数百个收集点的运算复杂度。当然更好的方法就是破解这个世界级难题,从而一劳永逸。到知网等网站搜了下,相关的学术文献很少, 有点意思。 # ?" O1 T+ v! l) x' d8 n
最小Manhattan网络问题是近年来受到广泛关注的计算几何和组合最优化问题。在大规模集成电路(VLSI)设计、分布式算
7 e/ r' q% Q$ P/ t0 q # }+ {# H! {) G3 N
法、计算生物学、网络设计、城市规划等领域发挥着越来越大的作用。
) N. N' M4 w- m 给定平面上一个点集T,其Manhattan网络由水平和垂直线段组成,并满足T中任意两点间在网络中存在Manhattan路径。可知
3 T. M0 ]* g+ r/ n* O' ]9 h 9 F9 ~9 @" B o* G: w. I6 p
Manhattan网络即为L1-范数下给定点集的一个1-spanner。更一般的概念称作geometric spanner或k-spanner,由于具有良8 B1 a+ G V6 P" E$ y1 b3 E( f! \1 Q) Q
9 s% {2 T$ K! l9 M8 {! u" v
好的性质,其应用十分广泛,包括邻近问题(proximity problems)的求解、机器人的运动规划、通信网络的可靠性等等。8 H7 S0 k7 O! B
0 T7 ^+ h6 y' `3 c; k1 \9 r4 j
在本问题中,要求Manhattan网络中线段总长度最短,即以最小的代价构造给定点集的Manhattan网络。此外,F. Lam [5] , I/ v$ I1 s* }3 [& }
' V: X. K* i3 _ b" r
等人在生物序列比对问题中应用了Manhattan网络的近似算法,显著减小了搜索空间。这显示了最小Manhattan网络问题在计. I" b7 g& Z( m( i
! w& u; K* K1 v1 h5 I
算生物学中的应用。
* R" p( l: Q& x0 Y 由此可见,这一问题的研究无论在理论还是实际中都有十分重要的意义。
+ F+ R% l7 |7 a& D) {: ^8 G: h& | 最小Manhattan网络问题由J. Gudmundsson, C. Levcopoulos和G. Narasimhan [4] 于1999年最早提出。之后,许多学者研/ N/ T3 k( N0 x+ t! r) S, x8 m" y( Y
4 I6 f6 C9 @; z# \# ?
究并给出了这一问题多项式时间近似算法。之前通过组合方法设计的最佳近似算法(3-近似)由M. Benkert [1] 等人在+ U5 {# D; v, p
; x+ y3 q- l5 D. G2 j
2004年给出。2005年,V. Chepoi [2] 等人提出了基于线性规划的2-近似算法,这是目前所知关于这一问题的最好近似度。
P% Z% j" M* Q1 Q$ n# N) C$ w 在过去半年的研究中,我在朱洪教授的指导下得到了该问题的2-近似算法。这一结果被国际学术会议AAIM接受,同时获得了9 D( f' @' U, e2 N7 s/ ?( S
; I. G/ x9 D* Q5 _
审稿人的好评。在此之前,同一近似度的算法(V. Chepoi [2], 2005)的时间复杂度高达Ω(n^8),而我们的算法时间复杂
/ e( H' ?, |' L) a5 f3 @
9 ?6 B# f3 b+ X1 F 度仅为O(n^2)。此外,我们在这一问题的算法的设计和证明中首次应用了由D. E. Knuth和F. F. Yao [3] 提出的动态规划6 N6 j1 [7 I( H9 M7 X
! i3 u) m7 }" B0 {8 _2 ?, ] 加速方法,将动态规划过程的时间复杂度由O(n^3)降低到O(n^2)。
- F$ @ f& ]7 l" c4 R7 x4 I4 q4 n 迄今为止,最小 Manhattan 网络问题的是否NP-难问题仍属未知,其不可近似性亦不清楚。因此,研究这一问题所属的复杂9 j& F5 D: |' a( t4 _; u) v
( k# R4 A# y, f' Q2 B9 q8 F! S 性类将具有极大的理论意义和实际价值。# a& V4 j0 M" b0 \
7 C& e( n. ~0 v& [ 我们预期要解决的问题和解决途径包括: C$ e2 E* ^4 ^4 c
0 y8 V% P9 B7 Q
(1)设计出具有更优近似度的近似算法。近似算法的设计方法主要包括:局部搜索,线性规划方法,原始对偶(primal-dual5 R E T; S5 \6 w% Z# y- v
; c& \' M- U: Z' U )方法等。本问题已知的近似算法可以分为两类:一类方法是将全局最优网络问题规约为局部最优网络问题,再通过局部网4 c" B1 I0 ]2 s: F
0 V9 A; ~$ r% ?! v! Z H- l5 l
络的组合达到全局的较优解,如M. Benkert 等人在文献[1]提出的3-近似算法。在这一方法的使用中,我们已取得了国际领. w4 j; Y, W3 n' E2 I! j
' J+ @ n6 Z7 K
先的成果。另一类则基于线性规划方法,如V. Chepoi等人在文献[2]提出的2-近似算法。
6 S! g% D' x. W+ l9 z( e0 A# |6 N. C 在第一阶段的研究中,一方面在我们已知的最好近似算法基础上,对问题的性质进行更细致地分析以尝试改进;另一方面对
* c" [( r# h4 F Y, m7 C
$ y7 [# v( b7 e: o 近似算法的设计进行系统的学习,探索其他的算法设计思路。
4 Y$ S, B# p# X% z2 v 预计研究时间:2008/5-2008/11' \5 y% k7 f3 d! u& {- D+ w e) U
- `$ x! O% `' V
(2)研究该问题所属的复杂性类。尽管在过去的近十年里,最小Mahattan网络问题受到许多西方计算机科学家的重视,但是
) t7 X" I$ N1 y: _9 B + B; r0 k* D' \, Q% D$ L
到目前为止,人们还不清楚这一问题是否存在多项式时间算法。人们猜想这一问题是NP-完全的,但到目前为止还没有人给
1 D2 }6 j% s, X: K, t2 h! p 6 f8 O+ u$ V0 x5 r1 |8 U6 Z
出有效的证明。 C" W1 [5 Y" A" _! j
一般来讲,证明一个问题是NP-完全的基本方式是将一已知的NP完全问题归约到所研究的问题上。这方面,已知的NP-完全的
) A+ o) `- ~1 n1 M' C5 {
) l7 W1 D5 O: C& M/ N- `& C/ ` 计算几何和组合最优化问题的归约过程将具有很大参考价值。例如V. Chepoi [2] 在论文中提到的与最小Manhattan网络问$ J+ U7 U1 I! O$ p3 [) u
W, }6 k' Q+ _/ e t 题相当类似的RSA问题,已经由W.Shi 和C. Su [6] 给出了从Planar-3-SAT问题到该问题的归约,从而证明了该问题为NP-完- N u' I% f8 D: z; }& j. n: w
' D& _( l% t7 V/ H" K 全的。因此,我将在这一方面深入研究,通过阅读更多的计算几何学NP-完全问题规约的文章,掌握各种复杂的技巧。试图
n9 _ v4 o% z' ?4 w3 K 1 G$ l- }# `8 @( S9 P1 Q, Z# b$ Z
给出最小Manhattan网络问题的类似的归约方式,从而证明这一问题是NP-完全的。4 t1 e. Y- x+ A' E* k5 R" Z9 D% t7 g: ?
% {' J- c# q( }# i% w7 P
' m9 A6 J: V$ i# A8 J0 [' T$ u2 f呵呵,我觉得高教杯出类似这样的题,意义重大。 |
zan
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