数 学 的 童 年

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数学的童年

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——王利公

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开始：方向、时间和记数

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埃及：建筑、测量和三角形

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美索不达米亚：贸易、天文和圆

　

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腓尼基：航海、星辰和字母

　

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希腊：争论、证明和创新

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中国：筹算、观天和算法

　

印度和阿拉伯：数字、零和代数

　

欧洲：远航、引力和图像

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工业世界：速度、精确和计算工具

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开始：方向、时间和记数

　

大约在一百万年前(也可能在两三百万年前)，地球上出现了最早的人类。原始的人类和大自然艰难地搏斗着。在长期的劳动中，他们不断进步，慢慢地产生了“数”的思想。

他们找到了食物，会想到这是“有”；找不到食物，就会想到“无”。要是找到大量的食物，他们认为是“多”；得到的食物不够吃，他们认为这是“少”。有、无和多、少，是我们祖先最早概括出来的“数”的思想。

直到两万五千年前，人们说“用你的枪头换我的鹿”的时候，还只能用一个指头表示一只鹿，三个指头表示三个枪头。这种一个指头表示一件东西、三个指头表示三件东西的原始计数法，就是他们掌握的全部算术知识了。在那以后的几千年里，他们一直把任何大于三的数量理解为“一群”，或者“一堆”。

那时候没有城镇和村庄，人们过着群居穴处的生活：晚上，他们挤在深深的洞窟里，藏在茂密的林木中；白天，成群结队地到处寻找可以猎取的鸟兽，采集能够充饥的浆果、根茎和谷粒。这种生活是毫无保障的，常常是饥一顿、饱一顿。

在他们的财物中，除了御寒的兽皮、狩猎的武器、盛水的东西，也许还有熊牙或贝壳做的项链。他们的生活这么简单，当然不需要更多的数学知识，就是那种简单的手指计数，也用得很少。

狩猎和采集的生活，更需要识别方向和区分季节的知识。有了区分季节的知识，就可以知道远处树林里的果实什么时候成熟；有了识别方向的知识，就能够确定怎么去、又怎么回来。这些知识，是在漫长的年代里，不断积累和丰富起来的。

在一个熟悉的地区漫游生活，山脉、湖泊、河流就能当作指示方向的路标。可是，原始人很难在一个地方长期定居。树林里的浆果和块茎，过一段时间就被吃光了；飞禽和走兽，为了躲避人们经常的袭击，也逃到别的地方去了；特别是发生干旱的时候，人们不得不赶快离开熟悉的地方，去寻找新的水源。在完全陌生的环境里，指示方向的只有日月和星辰了。

太阳是最方便的路标。海边部落的人们发现：太阳每天早上从波涛中升起，晚上落到山岗的后面去。他们就记住：初升的红日指示着大海的方向；正在下落的夕阳指示着山岗的方向。

晚上，用星辰来确定方向很可靠。我们不妨想象一下那时候的情景：夜幕降临，人们在洞口或者土室、窝棚前点起一堆堆篝火，大家围坐在篝火旁边。他们抬头凝视那神奇的天空——繁星点点，深不可测。经过了不知多少个夜晚的观察，他们发现：一些星群组成的简单形状，每天晚上都能辨认出来，而且总是在天空的一定位置上，沿着一定的方向，缓慢地移动着。

在北边的天空上，有一组最引人注目的星群，这就是我们现在说的北斗七星。北斗七星属于大熊星座，把这个星座比较亮的星合起来看，有点像一只大熊。斗头上的四颗像是大熊身体的后部，斗柄的三颗像是大熊的尾巴。

离北斗七星不太远的地方，还有一颗相当亮的星，那就是有名的北极星。它年年月月，总是出现在一定的地方，几百年也很少变化，好像钉在那里不动似的。天长日久，我们的祖先就懂得了北极星是一个非常理想的路标！他们在长途跋涉中需要确定方向的时候，就等到夜幕降临，在繁星闪烁的天空，先找到北斗星，把斗顶两颗连成一条直线，再朝着斗口的方向，把这条直线延长五倍的位置，在那个位置上就看到一颗比较亮的星，这就是北极星。找到了北极星，其他的方向就很容易确定了。

日月星辰不只是人类最早的路标，还是人类最早的时钟。生活在热带北部的原始狩猎者，早晨总是看到在阳光下，东西的影子长长地向西指着；中午太阳升到最高点的时候，影子就很短，甚至看不到了；当太阳向西下落的时候，影子又长了，并且不断地向东面伸长。这样，由影子的长短变化，他们就能够大体估量出白天的时间了。

夜晚，他们发现圆月在空中最高点的时候，恰好是半夜。经过长久的观察，他们还可以根据一些星群的位置变化，判断夜间的时间。

要知道比一天更长的时间，想来我们的祖先一定是依靠月亮。一夜接一夜，他们看到月亮慢慢地由圆到缺，最后全看不见了。过了几个漆黑的夜晚，月牙又重新出现，并且慢侵地又变成圆月。

当圆月升起的时候，一个部落来到一片树林边。林子的枝头上挂满了果实，可是还没有成熟。部落中有经验的长者说话了：现在别搞这些果子，等下次月亮再圆的时候咱们回来，这些呆子就好吃啦！于是，大家又赶到更远的地方去寻找食物。他们必须按时回来摘取成熟的果实，这就需要计算天数了。

对原始采集者来说，数天数是一个大难题。可不是嘛！时间一去不复返，数天数不能象数死鹿那样，把它们摆成一排，扳起指头去数。开始，他们很可能是在树上或者在棍棒和石头上刻上一道痕，表示过去了一天，刻上两道痕，表示过去了两天。久而久之，他们发现，两次满月之间总是相隔三十天，并且用一道大点儿的刻痕来表示一次满月。

月复一月，年复一年，他们逐渐察觉到满月的次数和气候的变化有关系。他们惊奇地发现：春、夏、秋、冬四季往复一次，恰好是十二次满月的天数——三百六十天。于是第一个包括四季的月历产生了。

我们的祖先，就是这样开始有了数数和观察图形的数学知识。

一万多年前，随着经验的丰富、知识的增长和工具的改进，人类逐渐开创了崭新的生活，这就是学会了种植和饲养！

在回到过去居住过的地方的时候，我们的祖先常常发现，上次被他们无意撒落的谷粒，现在已经发芽生长；被遗弃的小动物也长大了。慢慢地，他们学会了种植植物，饲养动物。从此，他们不再四处飘流，靠采摘野菜和浆果生活，而是播种和收获自己的大麦、小麦和谷子，还有豌豆、扁豆和胡萝卜。在忠实的伙伴——狗的帮助下，他们驯养着羊、猪和牛。原始的采集者和狩猎者，开始变成了农民和牧民！

定居生活以后，人们的财物越来越多，这就需要经常记录和计算耕具、土地、篱笆、庄稼和畜群了。最早的记录方法，就是前面说到的，用一个记号表示一件东西、两个记号表示两件东西，叫做“签法”。在秘鲁，印加人用在绳子上打结来记下收获谷物的捆数。在我国，也有结绳记数的古老传说。直到今天，在欧洲、亚洲和非洲的部分地区，还有一些牧羊人用在棍子上刻痕的办法，来计算自己的羊群哩！

从事农牧业以后，人们必须准确地预计生羔、产犊和播种、收获的时间，先前的简陋月历，显然是不够用了。要是用三百六十天的月历来推算季节，头一年差五天，第二年就会差十天，年数多了，就乱套了。这样，编制精确的日历，就成为一件非常重要的事情。

记录财物和编制日历，促使人们发展书写的数字。

我们今天知道的最早的书写数字，产生在五千年前的埃及和美索不达米亚。埃及人是把数字写在一种纸草上，美索不达米亚的巴比伦人是把数字写在软粘土上，他们都是用单划表示个位数，用不同的记号表示十位数和更高位的数。三千年后，罗马人照样采用单划组成一到四的数字，并且至今还有人在用哩！

在我国殷代的甲骨文字中，就有很多是数字。殷代人已经能用成文数字记录十万以内的自然数。在他们的数字中，头四个字，即一、二、三、四，也是由单划组成的。下页图，是殷甲骨文、周秦金文、汉朝时候用的数字和现代汉语中的数字，我们从中可以看出它们之间的演变情况。

在早期的数字系统中，最引起人们兴趣的，是美洲中部马雅人的数字。马雅人与欧洲、亚洲和非洲的文化完全隔绝。他们只用三个符号——点、横和椭圆，就可以写出任何自然数。用点和横可以从一写到十九；在任何数下面加上一个椭圆，就是那个数放大二十倍。但是，在计算时间的时候，他们调整了记数规则：加第二个椭圆的时候，表示乘上十八，而不是二十。马雅人所以做出这样一条规定，大概是原始狩猎者的月历是三百六十天的原故。

那时候，马雅人也使用三百六十五天的太阳历，一年被分成十八个月，每个月二十天，另外加上五天作为禁忌日。他们通常在石柱上刻出人面形的独特数码记录日期。

　

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埃及：建筑、测量和三角形

　

非洲东北部有一条举世闻名的大河——尼罗河。它穿过非洲北部的撒哈拉大沙漠，流入地中海，两岸狭长地带便成了肥沃的绿洲。河的下游流经的地方，孕育了最古老文明之一的埃及。

尼罗河三角洲一带盛产一种水草，名叫纸草。古埃及人把纸草的茎一层一层地撕成薄片，再一张一张地粘起来，就成了写字用的纸。有不少古埃及纸草纸一直被保留到今天，成为我们考察埃及历史文化的珍贵材料。

埃及人大约在公元前三千五百年就已经有了文字。保存下来的最早记录数学知识的纸草纸现在珍藏在英国大英博物馆。写这份纸草纸的，是生活在公元前一千六百年到一千八百年间的阿摩斯。据他说，纸草纸上的内容，又是他从公元前两千二百年以前的旧卷子上转录下来的。在这份纸草纸上，记载了一些分数和算术四则运算的说明，还有关于测量的规则。

古埃及的皇帝叫做“法老”，著名的金字塔就是法老的坟墓。今天，在尼罗河三角洲南面，散布着七十多座金字塔。齐阿普斯皇帝的金字塔是其中规模最大的一座：塔高一百四十六点五米；塔基每面长约二百四十米，绕塔一周约一公里；塔内有甬道、石阶、墓室等。这座金字塔是在公元前两千八百年建成的，在一八八九年巴黎埃菲尔铁塔建成以前的四千六百多年间，它一直是世界上最高的建筑物。这确实是了不起的奇迹！古埃及人在建造这些巨大建筑物的过程中，积累了丰富的几何学知识。

我们设想，在建造金字塔之前，一定得先画出一张平面图。估计这张图是画在粘土板上的，它大概就是世界上的第一张平面图了。分析起来，制图人肯定知道，图样和竣工后的建筑物，尺寸尽管可以不同，形状却是一样的。由此可以判断，当时的埃及人已经掌握了比例和相似形的知识。

画出平面图后，应该平出一大片空地，在地上放出实际尺寸，准备动工。建筑材料都是几吨重的大石块，一座金字塔要用许多这样的石块。那时候还没有发明车辆，也没有像样的道路，只能用船沿着尼罗河把石头运到尽量靠近的地方，再用滚木把它们运到工地。每块石头都得事先按一定的形状凿好、磨平。石块的每个角，都要用丁字尺或者三角板反复校正成直角。接着，铺设庞大的石头层作地基。第二层要按一定的比例小一些，并且使每一层正好放在下面一层的中间。这样一层一层往上加，四面相等地缩小，最后准确地在塔尖会合在一点。

一座金字塔，要用几十万人和几百万块巨石，在几十年的时间内才能建成，能够不出差错，你看古埃及人在设计、计算、测量和施工方面该有多么高明！

怎样准确画出直角，很可能是古埃及人要解决的最大难题。因为金字塔的地基必须严格地成为正方形，四个角就必须是严格的直角；不管是哪一个角有微小的偏差，都会使整个建筑物走形。那时候还没有发明测量仪器，要做出周长一公里那么大的正方形，实在不简单!

他们很可能是这样来解决这个问题的：先在地上打进两个木桩，然后绷紧木桩间的绳子，这样就画出一条直线，成为金字塔的一条边线。然后，在两个木桩上各系上一条绳子，绳子的长度要超过两个木桩距离的一半。拉紧绳子的末端，以木桩为原点转动，画出两条相交的圆弧来。过这两条圆弧的交点，画出另一条直线，和头一条直线相交，夹角就是准确的直角。这后一条直线，就是地基的另一条边线。

那么，要检查墙壁或者巨石的一面是否直立，怎样在空中做出直角来呢？古埃及人巧妙地使用了锤准线。这个方法直到今天还在使用着。锤准线自由摆动，在空中画出圆弧，当它停下来的时候就与地面成直角。要是墙壁能和锤准线平行，它就和地面垂直。

现在，我们都知道画直角的简便方法是使用直角三角板。但是，这必须首先做出一个直角三角形来。

古埃及人使用绳子丈量土地。职业结绳者的工作就是在测量用的绳子上打出等间隔的绳结。可能就是他们最先发现了某些长度一定的三条绳子所组成的三角形，其最长边所对应的那个角是直角。其中一种是由3个、4个、5个等间隔的绳结长度组成的；另一种取5个、12个、13个等间隔的绳结长度。把窄木条锯成这样的长度，首尾相接，就做成一个直角三角板。有了这种三角板，以后的测量和画图就方便了。

农民在盖自己住的小屋的时候可以说：“我这个屋子六步长，四步宽，屋顶比我脑袋高一柞”。设计大型建筑金字塔可不能这样。因为工人成千上万，每个人的步和柞都不一样。于是，他们就规定出以某一个人——据说是当时国王身体的某一部分的长短，作为标准单位；再按这个标准单位，制作一定长度的木头条或者金属条，作为大家通用的度量工具。这就是最早的尺子。

在埃及，主要的长度单位是腕尺，它是自肘到中指尖的长度。小一些的单位有：掌尺，它等于七分之一腕尺；指尺，它等于四分之一掌尺。因为那时候的埃及人理解分数的意义非常费劲，所以这些小单位很有用。今天，人们熟悉分数了，但是在习惯上，大家一样喜欢用小单位。比如英国人和美国人总是说七英寸，不肯说十二分之七英尺。在我国，有说半尺的，但是谁也不说十分之五尺。

每年收获季节，埃及的僧侣都要向农民征收赋税。农民主要是上交自己的农产品，这就需要标准重量单位来称量谷子、油、酒等；而捐税的多少，又是按土地的多少来定的，这又需要丈量和计算土地面积了。

求面积的方法，最初很可能是工匠在铺设方砖地面的时候学会的。他们发现：一块地面，如果是三砖长、三砖宽，需要铺九块砖(3×3)；另一块地面，三砖长、五砖宽，就需要铺十五块砖(3×5)。这样，计算正方形和长方形的面积，只消用长乘以宽就行了。

但是问题在于，不是所有的土地都是正方形或者长方形。有些土地，好像那儿都是边，那儿也有角，形状很不规则，把它们分成若干个三角形倒是方便的。怎样才能求出三角形的面积呢？其实，一旦掌握了长方形和正方形面积的求法，三角形面积也就不难求了。

一块正方形的麻布，可以折叠成两个大小相等的三角形，每个三角形的面积，恰好是正方形面积的一半。估计古埃及人正是从这类简单的线索中，学会了求三角形面积的方法：长乘宽，再除以二。

测量土地的工作，想来是十分繁重的。因为埃及的土地主要分布在尼罗河沿岸，每年七月中旬，河水开始泛滥，淹没大量土地，一直到十一月才开始退落。洪水退去后，田野里留下一层肥沃的淤泥，帮助农民获得好收成；可是洪水把地界冲掉了，年年都得重新测量土地。因此，人们常把几何学起源于埃及的原因，归功于尼罗河水的泛滥。

在大量的测量工作中，埃及人当然会碰到“圆”这类难办的图形。他们感到难办的地方，是无法把圆分成许多块三角形，而每一块都是由三条直线组成的标准三角形。因此，古埃及人认为圆是天赐予人们的神圣图形。今天，我们都很熟悉圆，天天和圆打交道，可是要认识和掌握好圆的性质也不容易。

实践出真知。早期的埃及人，一定是用绳子绕木桩的方法来画圆。他们从长绳子画出来的圆大，短绳子画出来的圆小，知道了圆面积的大小，是由圆周到圆心的距离来决定的。这就是我们常说的半径。

到了三千五百年前左右，当金字塔已成为古迹的时候，一个叫阿赫美斯的埃及文书，写出了一条这样的法则：圆的面积，非常接近于半径为边的正方形面积的三又七分之一倍。这在当时是很了不起的发现！

阿赫美斯是怎样得到这个求圆面积的方法的，我们恐怕永远弄不清楚，只能猜想他大概还是用划三角形的方法。现在，他的纸草纸手稿装在精致的镜框里，悬挂在伦敦大英博物馆里。

分散在世界各地博物馆中的纸草纸手稿，虽然能帮助我们了解古埃及的数学，不过现有的大部分资料，还是从考察尼罗河畔的古建筑得来的。

有的金字塔，四面准确地对着东西南北，可见古埃及人确定方向的本领很高明。他们可能是根据一个高大的石柱阴影，来确定东西南北的。

有一座大庙的遗址，至今屹立着一排柱子。在一年三百六十五天中，只有夏至这一天早晨的阳光，能沿着这一排柱子照射进去。数一数太阳光两次正好沿着这行柱子照进庙堂的天数，这就是一年的长短。

在测定时间方面，埃及人也是根据日月星辰的位置和物影来确定的。不过，他们比原始狩猎者和采集者进步得多。早晨，原始人看到长长的物影，顶多只能说“时间还早啦!”埃及人有日规，看看有刻度的木条上的影子，就能说出“上午第二个时辰快到了！”

从此，人们有了真正的科学。不过，古埃及留下来的许多图画，画的是上帝掌管日夜时辰的忙碌情景。看来他们是背着一个十分沉重的迷信包袱，在科学的道路上艰难地摸索着。

　

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美索不达米亚：贸易、天文和圆

　

尼罗河三角洲以东，大约一千六百公里的地方，奔流着另外两条大河，一条叫底格里斯河，一条叫幼发拉底河。这两条河发源于今天的土耳其境内，流经叙利亚，在伊拉克南部汇合成阿拉伯河，最后流入波斯湾。两河之间和沿岸一带叫做美索不达米亚，是另一个最古老的文化发源地。

“美索不达米亚”一词是希腊语，意思是“两河中间的地方”。它西接阿拉伯沙漠，东邻扎格罗斯山脉。很早以前，人类就在那里生息繁殖，曾经建立了巴比伦等古国，并且创造了辉煌的美索不达米亚文化。

历史学家把这支古老的文化分为苏马连、巴比伦、亚述和迦勒底四个时期。苏马连人是美索不达米亚文化的创始者，他们在五千年以前就有了象形文字。后来的巴比伦人和亚述人继承和发展了苏马连文化，使得美索不达米亚在数学和天文学方面的一些成就超过了埃及。

在美索不达米亚和在埃及一样，文化主要把持在统治阶级僧侣手里。大约在公元前两千年，两地的僧侣分别建立了寺庙图书馆，把记载着各种知识的秘本收藏在里边。除了少数僧侣外，一般人是无法阅读这些书的。这样也就影响了这两支古老文化的传播和交流。

美索不达米亚很早就有大量的对外贸易。它自己没有建筑用的木材，没有僧侣和君王穿戴的绸缎和宝石，没有做丰盛佳肴的调料，缺少制作寺庙供器的贵重金属。为了得到这些东西，许多商人赶上毛驴或者骆驼，组成商队，翻过扎格罗斯山，穿过阿拉伯沙漠，西到黎巴嫩买杉木，北到小亚细亚买金、银、铅、钢，东面可能远到印度和中国，去换回丝绸、染料、香料和宝石。

商人们在贸易中就会遇到计量的问题。起初，他们买卖商品不是论斤两，而是按驮。比如一头驴驮的粮食换一头驴驮的棉花。但是在进行昂贵商品交易的时候，就必须精打细算了。于是，随着贸易的发展，天平和标准容器在美索不达米亚普遍使用起来。商人们在称量笨重物品的时候，用泰仑为单位(约合25公斤)，称量精细物品的时候，以舍克为单位(约合9克)。

以物易物，给商人们带来沉重的负担和很多的不便。比如想要用粮食换木材，但是有木材的不一定要粮食；而要粮食的又不一定有木材。要是有一种东西大家都愿意要，那么商人们之间的贸易就会方便得多了。曾经有一个时期，差不多人人都愿意要大麦。那时候大麦除了做面包和酿酒外，还可以用来支付工资和换取任何别的东西。这样，商人们到外地做买卖，只要用毛驴和骆驼驮上大麦去，就很快换回自己所需要的东西了。

后来，人们发现银子能换的东西多，携带方便，久放不坏，人人都愿意要，是一种做买卖的好物品。开始，商人们按照成交的多少，每次都得称量银子。以后，就铸造成一小块一小块的银条，每块银条上都标好了重量。这就是世界上最早的金属货币。我国古代用银子买卖东西的情况也是这样。

金属货币的出现，使人们第一次有了一种可以长期储存、又不会变坏的财富。它促进了贸易和生产的发展！

随着贸易范围和数量的不断扩大，人们需要经常掌握买进和卖出的情况，于是又出现了记账和算账的问题。

古老的美索不达米亚文字和书写材料使得记账成为一项非常艰巨的工作。书写的时候，得先把粘土做成方形的板砖，然后用尖木棍在上面刻字，最后把泥板放在太阳下晒干或者在火上烤干。这么复杂的过程，写起来很慢，改写、保管和查看也很不方便。不过，一经写成就不容易损坏了。近年来，考古学家在两河流域发掘出成千块这种刻有楔形文字的泥板，虽然经历了几千年，上面刻写的图文仍然清晰可见。这是我们了解古代美索不达米亚文化的重要依据。

尽管当时美索不达米亚的对外贸易量大，有相当精密的度量衡，又有了金属货币，但是它的文字记账方法实在落后。幸好，那时候一般人都不采用书面的计算法，而是在地上铺一层沙子，在沙子的沟里放小石子进行计算。这个装置和埃及人的办法差不多，我们也可以把它叫做原始的算盘。它虽然简陋，却方便好用。

在美索不达米亚商人的算盘里，当一个石子在沟与沟之间移动的时候，数值也跟着相应变化：第一行为1，第二行为10×1，第三行为10×10×1，在第四行为10×10×10×1，如此等等。就是说，每一行沟里的石子比它前一行里的数值大十倍，比它后一行里的数值小十倍。用我们现在的话来说，这就是以十为基数。

大多数的古代数字系统都用十做基数。我们猜测，人们在开始的时候大概都是用十个手指来数数的。其实，“十”这个数并没有什么奇特的地方，用别的数做基数也同样很方便。美洲中部的马雅人以二十为基数，想来他们在开始的时候，很可能是用手指和脚趾一起来计数的。

美索不达米亚人有时也以六十为基数。由巴比伦人创造的六十进位制一直沿用到现在。我们今天计算时间，就是把一小时分成六十分钟，一分钟又分成六十秒；对于地球经纬度的划分，也是把一度分成六十分，每一分又分成六十秒。六十进位制的产生，可能是和天文学的发展有关系。苏马连人和巴比伦人在天文学上曾取得了很高的成就。

除了算盘，美索不达米亚人还掌握了另外一些简便的数字计算方法。在靠近幼发拉底河岸的古代庙宇图书馆遗址里，曾发掘出大量的粘土板。有不少粘土板上刻着乘法表和加法表，还有一些刻着平方表。他们用简单的平方表，就能很快算出任何两数相乘的积。现在，我们来看他们是怎样算96×102的： + W7 H4 d- V3 I n7 K& \　　第一步，(102+96)÷2＝99； 7 p0 w) e4 W7 j) y6 N　　第二步，(102-96)÷2＝3； $ O+ G' e7 Q# W9 i, \　　第三步，查平方表，知99的平方是9801； & O, {& u6 D y$ h　　第四步，查平方表，知3的平方是9； ) W E6 e/ W1 C; i　　第五步，9801-9＝9792＝96×102。

美索不达米亚人的这种求积方法是正确的，我们用现在的代数方法很容易弄清楚它的原理。

利用平方表做乘法没有算盘方便，所以它不像算盘那样流传广，使用时间长。在很长的时期里，欧洲的商人和店员都喜欢使用象算盘那样的计算板。在中国、日本和前苏联，至今还有许多人使用着算盘。

中国和日本的算盘属于同一个来源。它的特点是梁下以一珠当一，梁上以一珠当五。这是在以十进位的基础上，添了一个五进位的中间单位。这样不仅节省了算珠，而且增加了计算的速度。

大约在六千年前，美索不达米亚人做出了世界上第一个轮子。这是人类史上最伟大的发明之一！你想，即使是今天最现代化的机械，也几乎没有一样能够离得开轮子的。

最初的轮子简单得很。它是用木头做成一个圆盘，中间挖一个洞，穿过一根木头做轴，使圆盘能绕着轴转动。

到了巴比伦和亚述的时候，出现了打仗用的战车和进行贸易的车辆。车上的轮子已经有了辐和毂等，和今天还能见到的老式车轮差不多。美索不达米亚人还发现圆木轮的其他用途。比如陶工利用旋轮制作精细的器皿，建筑工人利用滑轮吊起重物等。

由于轮子是美索不达米亚人发明的，很容易使人想象他们在那个时候一定掌握了不少关于圆的几何学知识。实际上，他们甚至还不如埃及人。埃及人计算圆的周长时，是把圆的直径乘以3.14；而美索不达米亚人在计算时用的是3。我们知道，圆周率π＝3.14159……，是一个不循环的无限的小数，叫做无理数，用3来代替它，就是用正六边形的周长来代换圆的周长，是相当粗糙的计算方法。

美索不达米亚人对圆的认识虽然比埃及人差，可是他们实际运用几何的能力，特别是在天文方面却比埃及人先进。他们把太阳在天上一昼夜经过的轨道分成三百六十度。后来又把这种分法应用于一切圆形物体。他们已经会区分恒星和行星，给五个行星起了专门名称，这就是金星、火星、木星、水星、土星。

在一部五千年前献给巴比伦国王的占星学著作里，已经列出了一个很长的蚀亏表，表中关于日食和月食的日期相当准确。

巴比伦的空气清朗，僧侣们每夜观察天空的景象，并把他们的观察结果记录在土碑上。他们逐渐看出天文现象的周期性，觉察到某些天体的运动是有规律的。有一个文件说，他们已经能够计算出太阳和月亮的相对位置，所以能够预测日食和月食。

现在我们知道，地球自转一周是一日；月球绕地球转动一周为一月；地球带着月球绕太阳公转一周为一年。它们的运动都有各自的轨道。我们还知道，月球不会发光，月光是太阳光在月球表面上反射出来的。当地球运动到太阳和月亮之间的联线上时，太阳射到月球上的光线被地球遮住了，月球正好在地球投下的阴影里，月蚀就发生了。同样的道理，如果月球运动到地球和太阳之间的联线上，日蚀就发生了。美索不达米亚人能够比较准确地预告日食和月食，说明他们很可能也懂得了我们上面说的道理。

美索不达米亚人看到月偏蚀的时候，月亮上的阴影总是带着圆边，于是就猜到了地球本身也是圆的。考古学家曾经发现了一些巴比伦时代描绘的想象地图，形状就跟我们今天用的硬币差不多；还发现了这样的地图，巴比伦居中，并且占的面积很大。

　

　

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腓尼基：航海、星辰和字母

　

古代称为腓尼基的地方在地中海东岸、黎巴嫩山西侧，也就是现在的叙利亚沿海的那部分。那里有十几个沿海城市，每个城市都是附近地区的政治中心，也都是独立的国家。腓尼基的文化和历史可以追溯到公元前四千年。

公元前一千五百年左右，腓尼基的海外贸易蓬勃发展，许多腓尼基人纵横航行于地中海，往来各地进行交易，很快便以勇敢的航海家和商人闻名于世。

在远航和贸易中，腓尼基人遇见了欧洲和大西洋沿岸文化落后的民族，也看到了文明的埃及人和美索不达米亚人。他们从一个地方到另一个地方，运回了各式各样值钱的货物，也带回了各地的科学文化知识。

有些知识在近海地方是尽人皆知、习以为常的，而对长期住在内陆的人来说会觉得十分费解。比如巴比伦的农民经常看到的是原野，所以认为“地平如镜”，当他们听到大地是圆球状的时候，自然是一笑置之，不会接受。腓尼基人与海为邻，在日常生活中就认识到了这一点。

航船进港，人们在陆地上首先看到的是桅杆的顶部，然后出现了风帆，最后才是整个的船；而船上的人是先看到岸上山峰的峰顶，接着是低处的山坡和建筑物，最后才是港口的全貌。人们从这些现象里，自然会得出结论：大地的表面是弯曲的!

腓尼基人长期在狭长的地中海中航行，一般总能看到陆地或者飞鸟，驾驶员只要能辨认出这些陆地标志就行了，用不着更多的航海知识。后来，雄心勃勃的腓尼基人穿过直布罗陀海峡，驶进了大西洋。那里没有熟悉的陆标指引航向了，他们不得不自己记录船只的航向和航程了。

沿着欧洲海岸南北航行，腓尼基人见到了一幅完全新的天空变化景象。一年里，不管是哪一天，在北方港口看到中午的太阳总是比在南面港口看到的低一些，桅杆投下的影子也长一些。同一天里，中午的太阳影子在不同地方的长度不同，这就是航海者标记港口位置的最早方法。夜晚向北航行时，他们会发现北极星每晚都会升高一点；而当他们沿非洲海岸向南航行时，北极星又会每晚向地平线下落一点。

很早以前，人们就发现了阳光、月光和星光是平行的直线。腓尼基人把这个古老的知识和太阳在不同纬度以不同的角度砌的现象联系起来，更加确认大地是圆球状的。阳光平行照射在地球表面上，如果大地真是“地平如镜”的话，那么不管在什么地方，阳光的入射角应该都一样了。

他们在航行中还有一些发现，也加强了对地球的这个认识。在家乡时，一年三百六十五天，每一天中午的太阳影子总是指向北边的。但是在非洲西海岸一定的地方(大约在北纬二十三度半的北回归线)，夏至日中午的阳光却在人们脑袋顶上直射下来，没有影子。这一天要是再往南一点，影子就指向南了。

一个偶然的机会，一只腓尼基船沿着非洲西海岸向南远航。快到赤道时，船员发现北极星几乎就落到地平线上了；再往南走，就完全看不见了。这时，夜幕上出现了许多在北方从没见过的星星和星群。

腓尼基的航海家，用他们新的天文经验和认识，开创了新的航海科学，促进了几何学的进一步发展。在美索不达米亚文化的早期，人们就已经知道把圆划分成三百六十度；到了这时，人们把跨越地球南北极的大圆(圆平面经过地球的球心)，也用同样的方法来划分。

随着时间的流驶，腓尼基人的海上地位逐渐衰落了，代之而起的是西西里、克里特、塞浦路斯和希腊。大约在公元前四百年，希腊地理学家画的航海图上已经可以认出地中海的海岸线来，希腊很快成了海上强国，但是它的先进的文字却是来源于腓尼基。腓尼基人最早使用字母文字，用数量不多的表示声音的简单符号，代替了大量的表示语言或意思的象形符号，非常简便，非常好学。公元前六百年，希腊人把腓尼基字母用于自己的语言。现代欧洲各国的拼音文字差不多都来源于经过改造的腓尼基字母。

　

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希腊： 争论、证明和创新

　

和埃及、美索不达米亚、印度、中国相比，希腊形成国家要晚一些。但是，从对人类科学文化发展的贡献和影响来看，希腊完全可以和这些最古老的国家比美，它被称为欧洲的文明古国。

古代希腊包括巴尔干半岛的南部，爱琴海和爱奥尼亚海的岛屿，还有克里特岛和小亚细亚的沿岸地区。半岛的东岸弯拐曲折，海湾很多，风平浪微，有许多优良的港口。

古希腊人非常喜欢旅行和出海贸易，这使他们很早就接触了先进的东方文化。那时候，奴隶担负日常劳动，奴隶主就有足够的时间去评论市政、争辩法律诉讼和海外新闻，以此作为时髦的消遣。于是，那些善辩的人经常把一些人聚集在自己的周围作为门徒。

公元前五百多年，毕达哥拉斯建立了青年兄弟会，以秘密的形式向会员传授数学知识。一个世纪后，雅典出现了学校，给青年讲授法律、政治、演说和数学方面的知识。新式的学校里没有了那种神秘的色彩，不论教师和学生，什么都可以写出来给人看。这种公开研究，自由争论，促进了一种新的数学思想和方法的产生。

很早以前，人们就知道了边长为3、4、5和5、12、13的三角形为直角三角形。毕达哥拉斯发现了这两套数字的共同之处：最大数的平方等于另外两个数的平方和，即3²＋4²=5²；5²＋12²=13²。这就是说，以直角三角形最长边为边长的正方形面积，等于两个短边为边长的两个正方形面积的和。

接着，毕达哥拉斯又研究了这样两个问题：一、这个规律是否对所有的直角三角形都成立？二、符合这一规律的任何三角形是否一定是直角三角形？

毕达哥拉斯搜集了许许多多的例子，都肯定回答了这两个问题。据说，他为了庆祝自己的这个发现，曾杀了一百多头牛，举行了一次大宴会。这就是几何学中的勾股定理为什么又叫做毕达哥拉斯定理的由来。

希腊的数学教师同时也讲授法律。学生学习数学也象学习法律那样，对教师给出的每一条法则都提出自己的异议，并且要求教师对所有的概念都作出准确的定义。这样就使得教师面临非常艰巨的任务，尤其是下定义，可不是一件容易的事。比如，怎样确切地定义一条直线？怎样给出圆的定义？怎样使别人不会把它们理解成别的图形？……

不知经过了多少次的争论，人们才逐步意识到，最好的办法就是直截了当地叙述怎样用工具做出图形的。要用工具画图，这又引出了一个问题：什么工具是大家都同意使用的呢？那时的希腊人画几何图形规定只准用画线的直尺和画圆的圆规。

在希腊之前的漫长年代里，人们已经知道了许多求面积和测角度的知识。可是谁也没有想到过用推理的方法把这些知识联系在一起，找出它们之间的内在关系，并且证明它们是可靠的。这就是说，这时的几何知识还处于零散的、互不联系的状态之中。没有系统，就没有几何学。

好辩的希腊人，坚持每一个几何定律都必须通过辩论的验证，并且对各种相反的意见一一做出答复。这样，在证明新的定律时，就可以直接引用已经证明过的定律，而无需一切都从头开始。细心的希腊人对几何知识从不轻信，他们破格相信的只是那些十分清楚的解释和概念。他们从指导思想和具体方法两个方面，推动了几何学的形成和发展。

大约在公元前三百年，欧几里得写了一套叫做《几何原本》的数学教科书，把希腊人在这方面的成就传给了我们。一千年后，许多希腊著作都散失和毁掉了，而《几何原本》却被译成阿拉伯文，作为穆斯林大学的教本。直到五十年前，欧洲和美洲各国的学校还在用翻译的《几何原本》作教科书。就是今天，初中学校里讲授几何学的主要内容也是来自欧几里得几何学。

几何学的建立为测量、建筑、航海、天文，甚至为城市规划、乐器设计等提供了必要的工具。

在毕达哥拉斯时代，希腊人知道的几何法则中有这么两条：一、任何三角形的三个内角和等于两个直角；二、三角形的两个内角相等，它们的对应边也相等。由第一个法则可以得到：如果三角形中有一个角是直角，另一个角是45°，那么第三个角也一定是45°；由第二个法则可以得到：对应于两个45°角的边一定相等。他们根据这两条法则，就可以利用阳光测量出地面上的物体高度了。

当阳光成45°照射地面时，一根直立在地面上的柱子，连同它的影子和阳光，恰好组成这样一个三角形，测量柱高就不用爬到柱子上去了。因为柱子和它的影子都对应着45°的角，二者是等长的，只要量出影长就行了。

当然，这个原理在其它许多方面也用得着。例如，要在岸上测出海上的船只离岸多远，只要在岸上确定两个点，使一个点与船的联线和海岸成直角，另一个点与船的联线与海岸成45°角，那么岸上两点间的距离，就是船与海岸的距离。

这种方法，由于有45°角的要求，在实际测量中受到很大的限制。古埃及人在测量金字塔的高度时，使用了三角形的另一个法则：任意两个三角形，如果对应角相等，那么各组对应边的边长的比也相等。这样，直立在地面上的木杆高度，与它正午影子的长度比，就和金字塔的高度，与它正午影长加上地基宽度一半的比相等。木杆的高度和影长，金字塔的影长和地基的宽度都可以直接量出来。所以，金字塔的高度根据比例关系就能算出来了。

掌握了对应三角形的法则后，角度限制没有了，一年四季里不管什么时候，都可以利用阳光来测量高度了。需要指出的是，古埃及人虽然会使用这个法则，却不会象希腊人那样能严格地证明它。

公元前332年，古希腊的亚历山大大帝征服了埃及，下令在那里建造了亚历山大城。后来，这个城成了地中海的学术中心。

大约在公元前240年，亚历山大城的教师伊拉托瑟尼算出了地球子午线的长度，这是几何知识在历史上的一次重大应用。

伊拉托瑟尼从资料中得知阿斯旺附近的西恩正好在北回归线上。因为夏至那天的中午，在那里的深井里能看到太阳的倒影。这表明太阳正好在头顶的正上方，阳光垂直地面，直射向地球的中心。同是夏至这一天中午，他测量了亚历山大城的一根柱子的影子，算出了阳光偏离垂直方向7.2°。因为阳光是平行直射地面的，所以入射角度的这种差异应该是说明了地球表面的弯曲情况。

现在我们来看看伊拉托瑟尼是怎样运用几何知识算出地球子午线的长度的。如图，画两条平行线：一条表示亚历山大城的太阳光线；另一条表示西恩的太阳光线。画亚历山大城的垂直线—柱子，它切割当地的光线成7.2°；切割西恩的光线于地球中心。

根据平行线的内错角相等的知识，伊拉托瑟尼知道：亚历山大城、地心、西恩间的角度也是7.2°；而7.2°正好是360°圆的1/50。

因为西恩在亚历山大城的正南，所以两地间的道路大体上就在跨越南北极的大圆上。这样，伊拉托瑟尼根据西恩到亚历山大城是480英里，就算出了地球大圆的周长等于480英里的50倍，得到24000英里(相当于38623公里)，这就是地球子午线的长度了。我们知道，现在测得的地球子午线的长度是40008.5公里，伊拉托瑟尼的误差还不到4％。在麦哲伦首次环球航行前一千七百多年，就给出了如此精确的近似值，这确实是惊人的成绩！

和伊拉托瑟尼大体同时的阿基米得是那个时代最卓越的数学家、物理学家和机械发明家。他制造了石弩和弩炮来打击敌人，保卫自己的国家。他做出了紧贴圆筒内壁的旋转器来抽水，解决了农田灌溉和船舱排水的困难。著名的浮力原理，也是他在判断皇冠是纯金还是金银混合物时发现的。今天我们用来测量液体密度的比重计，就是依据这个原理做成的。

阿基米得在数学上有许多贡献。他运用圆内接和外切正四十八边形周长的平均数，相当精确地算出了圆周率的值是22/7。直到今天，这个数值足够一般工程技术采用。他研究过曲线的特性，象熏蚊子的盘香那样的曲线，我们今天就把它叫做阿基米得螺线。他还发现了许多求体积的方法。其中两种球和圆柱体的求积方法，就刻在他的墓碑上。

比阿基米得晚五十年的希帕卡斯，汇集了希腊几何学的成就，编制了我们现在说的正弦表，这对测量和天文学极为有用。

我们知道，三角形的三个内角和等于两直角。如果三角形中有一个角为直角，一个为已知角A，那第三个角B就等于直角与角A的差。角A的对边与斜边的比，称为角A的正弦。这个比，对于包括同样角度A的所有直角三角形来说都是一样的。当A为60°、45°、30°时，由勾股定理就可以确定出正弦值。希帕卡斯发现了另外的定理，可以算出其它许多角度的正弦值来，给天文和测量人员提供了很宽的角度范围。

以亚历山大城为科学文化中心长达七百年之久，这是一个繁荣科学技术的时代。城市大规模的建筑，频繁的海上贸易，海陆大国之间连绵不断的战争，促进了测量和制图、航海和天文、采矿和力学的研究。希腊在数学方面的巨大成就，是不断取得科学技术进步的必不可少的条件。

英语中的“算术”一词来源于希腊语。但是希腊语的“算术”并不是今天的数字计算的意思，而很可能是指“数字游戏”。

那时候最著名的是所谓三角数字1、3、6、10等等。它们是按1、1＋2、1＋2＋3、1＋2＋3＋4等等组成的。毕达哥拉斯青年兄弟会发誓保守秘密之一，就是如何说出这组数中的任意一个是多少。

其实，要说出其中任一数是多少的办法很简单。比如要求第五个数，就用(5＋1)去乘5，然后被2除，结果得15；要求第二十个数，就用(20＋1)去乘20，然后被2除，结果得210。

石子游戏可能是使希腊人找到求连续奇数和的方法的起源。从1开始，连续10个奇数的和是10×10＝100；要是增加到20个奇数，那和为20×20＝400。

另一种数字游戏可以用芝诺的一个著名诡辩来代表。芝诺是一个很有才能的数学家。他问道：阿溪里斯是古希腊传说中善跑的神，要是让他和乌龟赛跑，并假定他的速度为乌龟的10倍。乌龟先出发了100米。然后，阿溪里斯开始追赶乌龟。当阿溪里斯跑完这100米时，乌龟又已经向前走了10米；当阿溪里斯跑完这10米时，乌龟又向前走了1米……。阿溪里斯的速度再快，走过一段距离总得有一段时间，而在这段时间里，乌龟速度再慢，也总要走出一段距离来。这样说起来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。

人们从实际经验中知道，结果肯定不会是这样的。阿溪里斯一定会超过乌龟的，但是在很长的时间里，人们不知道问题出在了哪里，当然也就不知道怎样才能驳倒芝诺的诡辩了。

今天，我们都可以算出芝诺这个诡辩站不住脚。乌龟尽管可以100米、10米、1米、0.1米、0.01米……赶在阿溪里斯的前面；但是，这总是在离开起点1/9公里之内，不会超过这个范围。所以，阿溪里斯在离开起点1/9公里的地方，就超过了乌龟。在这里，“永远”并没有迷住我们的眼睛。越来越小的许多分数相加，不管小到何等程度，它们的总和有一个具体限度，在数学上就叫做极限。在这里，1/9公里是乌龟在前的极限，所以阿溪里斯一定能超过它。

字母的使用，曾经使希腊人大大简化了文字。他们也希望在数字计算中，能得到同样的便利。最初，希腊人用表示一个数的字头来代表数，这就是用Δ表示10，H代表100，X表示1000，就好像英语中用T代表Ten，H代表Hundred一样。数字再大，就按需要重复这些符号就行了。这种数的写法和埃及的非常象。你看这两种写法，写同一个数3420的样子如右图：

到公元五世纪，希腊人采用了一种完全不同的记数方法。他们以头九个字母表示1到9；接着的九个字母表示10到90；最后的九个字母表示100到900；在任何数的前面划一道，表示这个数是原数的一千倍。这个新的数字系统需要27个字母，但是希腊的字母只有24个，所以增加了三个古老的和外来的字母。

采用这种记数方法，唯一的好处是一些大数字简短好写，不占篇幅；严重的毛病是计算困难，使用很不方便。今天，我们在数学中是把字母作为一种简写符号使用的。比如bh/2表示三角形的面积等于底乘高被2除。这种简洁的表示方法对于把字母固定成数的希腊人来说是根本不能使用的。

后来，罗马人打败了希腊人，成为地中海地区的霸主。他们在希腊人的基础上，建立了自己的记数方法。大约两千年前，罗马军队征服了欧洲南部、高卢、英国大部分、非洲北部边缘和西亚的大片地区。希腊语作为学习的语言被保留下来。

公元四世纪，罗马帝国分为东西两个部分。东罗马部分继承了希腊文明，保存了希腊的学术语言和传统；而西罗马就很快丢掉了希腊的语言和科学，长期处于落后保守之中，停步不前。

西方在数学、科学等各个方面需要学习和援助。这些援助来自东方的阿拉伯、印度和中国。

　

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中国：筹算、观天和算法

　

我国是世界上最早的文明国家之一。很早以前，我们的祖先在渔猎农事活动中就接触到了计算和测量，并在这方面积累了大量的知识。

万里长城和大运河是我国古代文明的伟大成就。战国时期战争连绵，燕、赵、秦三国为了抵御来自北方的侵扰，建筑了长城；秦始皇统一全国，把它们连接起来。后来，汉朝和明朝都大规模修筑过长城。长城由西至东，在险峻起伏的山岭上绵延数千公里，是世界上仅有的巨大土石建筑。沟通南北的大运河，长达一千七百多公里，朴实壮观，是非常杰出的水利工程。我国人民在长城和运河的建造过程中积累了大量的几何测量、数字计算和土木工程方面的知识。

我国古代的计算不是用记数文字直接进行，而是用算筹，很有特色。在开始的时候，人们是用一些小树枝来计数，一根小树枝代表一头牲畜、一堆谷物或者一件农具。后来，逐渐形成了一套计算方法，小树枝也慢慢变成了竹制、铁制、牙制的小棍，外形规格齐整，这就是算筹。

筹算可以进行整数和分数的加、减、乘、除、开方等各种运算。直到元、明以前，筹算一直是我国的主要计算方法。

筹算的记数法既是十进，又按位值分别表示不同单位，和现代记数法相似。著名的数学著作《九章算术》，大约编于公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。

方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；衰分章讲的是一些按比例分配的问题；少广章讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用；方程章讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题。

《九章算术》的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影响深远。

《九章算术》不只在中国数学史上占有十分重要的地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证明。现在，《九章算术》已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。

《周牌算经》是我国另一部有名的天文学、数学著作，大约时在公元前一百年前后的西汉年间成书。书里明确给出了勾股定理的一般形式，即勾²＋股²＝弦²。

书中介绍了在两地利用标杆测出日影、再进一步利用勾股定理，算出太阳高度的方法，即书中还谈到了用一根直径一寸、长八只的中空竹管观测太阳，太阳的圆影正好与竹管的视线吻合，再进一步利用勾股定理推算出太阳的直径来。这说明我们的祖先至少在西汉年间，就能正确地应用直角三角形的勾股定理了。

等到三国时代，吴国人赵爽用几何方法对勾股定理进行了相当严格的论证。公元前五百年，春秋战国时代的学者已经有了相当丰富的数学知识。庄子《天下篇》中有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的记载。意思是一根一只长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完。直到今天，人们还常把“日取其半”作为了解“极限”思想的典型例子。

大约在四千五百到三千五百年前的这段时期里，我国发明了第一辆车子。另外，从我国出土的许多殷代以前的陶器上也能看到不少圆形图案。这说明很早以前，我们的祖先就认识圆了。

在《周辨算经》周公和商高的对话中，谈到“周三径一”，这是我国最初的圆周率，被称为古率。后来，圆周率数值的精确性不断得到提高。

我国最早用严密的数学方法来求算圆周率数值的是刘徽。他认为古率为3，是圆内接正六边形的周长对直径的比值，这比圆周长对直径的比值要小得多。

刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分，做出圆内接正十二边形，利用勾股定理求出它的边长。同理，可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长。内接正多边形的边数越多，求出的圆周率数值也就越准确。这就是刘徽的“割圆术”。

“割圆术”用折线逐步逼近曲线，用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积，这种用有限来逼近无限的方法，不仅提供了比较精确的圆周率的数值，而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础。

　

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印度和阿拉伯：数字、零和代数

　

印度在亚洲的南部。春天到来的时候，北边喜马拉雅山上的积雪开始融化，聚集成五条急流，汇总流入印度河。很早以前，在富饶的印度河谷地就出现了上古的居民达罗毗托人，世界最古老的文化之一就发源在这里。

在一些方面，达罗毗托人的文化比埃及和苏马连文化高。他们有自己的独特的文字，有十进制的算法。大约公元前两千年的时候，印度人就已经使用51个字母组成的文字，数学在印度曾被认为最重要的科学之一。和许多古老的民族一样，它的头一批数学家也是僧侣。

直到两千年前，印度人还使用由横划组成的数字。后来，他们开始用干棕榈叶做写字的材料，并且发展了草体书法，于是由一到九的各不相同的数字符号就这样日趋成形了。古印度人也用美索不达米亚商人的算盘来进行计算，每个数字符号都能很方便地表示算盘上任何一行的石子数。

印度人新的数字符号要是到此为止不再发展，那意思就不大了。事实上，ZZ只能表示在任意两行沟里的两个石子，它可以是22，也可以是202、2020等等。这就是说，人们不仅要知道沟里有几个石子，还要知道它们各在那一行里。

不知什么时候什么人，在前人智慧和成就的基础上，总结出了这样一个办法：用最右面的数字表示个位行里的石子数，左面相邻的数字表示十位行里的石子数。其它则以此类推，用点表示空行。这样，ZZ就只表示22，Z.Z．就只表示2020，而没有其它的意思了。表示空位的“.”，后来改用“0”代替。

有了这个记数法，人们就可以用同一个符号记录算盘上任何一行上的同一个数字，简单清楚，书写方便。印度记数法的最大优点是能用数字来进行计算，这是一个了不起的进步！

我们知道，古老的书写系统，包括埃及的、巴比伦的、希腊的、罗马的都是用不同的符号来表示算盘上不同行里的相同的石子数，不像我们今天可以用同一个“1”，在不同的数位上表示一、十和一百。因此每一位行都得用不同的加法表相乘法表，用它们做笔算或心算是很麻烦的。如果只有九个不同的符号，其中每一个都可以表示任何一行的石子数，零表示空行，那每一行上的计算就都是一样的了。这样，人们只要掌握一个表就行了，好懂、好背、好用。

我国古代计算是用算筹。算筹为了避免相邻两位数码混淆，采用了纵横相间的办法，而是每一行的加法表和乘法表，一直都是一样的。

印度人创造的这套数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，是对数学知识的非常宝贵的贡献！它很快就引起了计算艺术的革命。

印度数学家还研究了分数，并且能象我们今天这样书写它们。到公元五百年，伏拉罕密希拉能通过计算，预告行星的位置；阿耶波多论述了确定平方根的法则，给出了圆周率的近似值为3.1416。

公元七世纪初期，伊斯兰教的创始人穆罕默德统一了整个阿拉伯地区。他死后的三百多年间，他的门徒带着这种新教，往西经过整个北非，进入西班牙和葡萄牙；往东越过印度河进入了亚洲的广大地区。

大约在762年，穆斯林们建立了帝国首都巴格达城。四十年后，它成为世界著名的学术中心，就象希腊和罗马时期的亚历山大城一样。

在公元八百年到九百年这一个世纪里，东西方的知识在巴格达得到了交流。东方来的商人和数学家带来了新的数字符号，印度算术和中国的算学成就；从西方选出来的异教徒带来了亚历山大强盛时期的科学著作，其中包括天文学和地理学的论文，还有欧几里得几何学。穆斯林学者把这些著作译成了阿拉伯文。

穆斯林的天文学家发展的制图学，远远超过了亚历山大时期的水平。在巴格达的学校里，三角学盛行起来。由于掌握了印度的新算术，穆斯林数学家能更为完满地研究和应用欧几里得和阿基米得的几何学成就。航海家装备和改进了航海设备；地理学家也有了新的更好的大地测量工具。穆斯林世界的科学技术，取得了很高的成就。

公元一千年，古罗马帝国的大部分地区被置于穆斯林的统治之下。在西班牙的穆斯林大学里，学生们可以学习希腊几何学、印度算术、天文学、三角学和地理学，而这些科学，巴格达学者都作了很大的改进。

从十二世纪开始，穆斯林世界的科学知识逐渐传到欧洲各地。到了公元一千四百年，意大利、法国、德国和英国的商人们开始使用新数字，教授新算术的学校开始在整个欧洲兴起。半个世纪后，渐渐有了印刷术。算术教科书和航海历是主要的印刷品。

新数字从一个地方传到另一个地方，常常一方面变形走样，一方面又保持着九个符号和一个零的样式。但是，如此先进的数字也并不是一开始就能在所有地方被接受的。十三世纪时，一项法令禁止佛罗论萨的银行业者使用新数字。一百年后，意大利的派丢厄大学还坚持书籍的价格表必须用罗马数字。直到十五世纪末，印度数字才在西欧的航海和商业中普遍使用。几个世纪后，虽然还有人坚持用算盘和计算板上的计算方法，但是越来越多的人热衷于学习新算术了。

在早期印刷出版的教科书中，不少列表和解决加减乘除问题的简便方法，现在虽然已经成为博物馆里的东西了，但是这些教科书把新的简写符号，比如“十、—”等引进算术中却是十分重要的，尽管这些符号最早很可能是表示包裹超重和缺重用的，不是数学上的有意的发明。由于这些符号显示了作用，随后，另一些符号“×、÷、∴、＝”，也逐渐被引了进来。

对于我们现在用代数求解的某些问题，印度和穆斯林的数学家也早就发现了解它们的妙法，“代数”一词就是阿拉伯语。但是穆斯林数学家那时讲授的代数和我们现在学的代数是不一样的。他们的代数式都是文字写的，唯一的简写的符号是表示平方根的符号。

代数学大约到十七世纪初才逐渐形成。下面我们来作一个简单的题目，看看代数学是怎样变化发展的：题目：一个数，乘以2，除以3，等于40，问这个数是多少? 印度和穆斯林的数学家是这样解的：因为这个数的三分之二是四十，它的三分之一就是四十的一半，即二十；又因为这个数是二十的三倍，得这个数是六十。引进一些数学符号以后，早期的算法是这样来求解的：(2×某数)/3＝40，某数/3＝1/2×40＝20，某数＝3×20＝60。

我们现在的代数，以字母n代替了“某数”，并且省去了乘号“×”。解法如下： 2n/3＝40，n/3＝20，n＝60。

公元一千二百年的穆斯林教师肯定能给出解这类问题的法则，但是语句势必冗长繁琐：如果你已经知道一个数，乘以第二个数，再除以第三个数，结果为已知的话，那么你就可以把这个结果乘以第三个数，再被第二个数来除，把原数求出来。

现在，我们可以用n表示任意数，s表示第二数，t表示第三数，a表示得数，如果sn/t＝a，那n＝ta/s。写成这样的形式，法则就一目了然，清楚好记了。

　

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欧洲：远航、引力和图像

　

十六世纪的欧洲，工商贸易迅速发展，促进了航海事业的大发展。

远洋航行的船只随时需要确定自己在茫茫大海中的位置，所以准确的时钟就成了必不可少的重要工具。船只在海上的位置是由所在的纬度和经度来表示的。自古以来，许多科学家根据日月星辰的情况，制作了许多观像仪，可以用来确定任何一点所在的纬度。要想定出船只所在的经度，最好的办法是用所在地的时间和家乡港口的时间作比较。

为什么这样可以确定经度呢？我们知道，地球一天二十四小时由西往东转动一周是360°，就是一小时转动15°，一分钟转动0.25°。这样，要是知道了船只所在地的时间比家乡港口早了一小时四分，那船只就在家乡港口东16°的经线上。

曾经有人用古观象仪得到过非常近似的当地时间。但是要确定另一地点的时间，用两地的时间差来求出两地的经度差，却几乎是毫无办法。

从哥伦布发现新大陆到麦哲伦绕地球以后的很长时期里，因为没有准确的时钟，所有的航海家都面临确定经度这个生死攸关的大事。一旦经度和航向有了偏差，就可能引起人员的大量死亡和船只的沉没。

古代使用过日规、滴漏、烛时计，以后是教堂里用的重力钟等。这些计时工具显然已经过时了，人们要求的是能精确测量分和秒的计时工具。

1583年，意大利科学家伽利略第一个发现了精确测量微小时间的线索。在比萨大教堂做弥撒的人群中，伽利略细心地观察来回摇摆的灯，他以脉搏的跳动计算摆动的时间，发现每一次摆动都用同样的时间。

后来，伽利略用一个自制的滴水钟来检验这个观测的准确性。摆在摆动时，他让水通过一个大水桶底部的小孔，流到下面的小杯内。如果两次摆动流出的水的重量一样，那两次摆动用的时间就是一样的。检验的结果是肯定的。

实验还表明，摆动的时间只和摆的长度有关系。要想使摆动时间加倍，必须让摆长扩大为四倍；要想使摆动时间加为三倍，摆长必须扩大为九倍，即摆长与摆动时间的平方成正比。现在我们知道这个规律对于小角度的摆动才成立，当摆动弧度过大时就不大准确了。1657年，荷兰科学家惠更斯利用伽利略的发现，首先制出了精确的摆钟。

到了十八世纪中期，当航船配备了六分仪和经线仪之后，确定经度的问题才完全得到解决。六分仪可以精确地提供当地时间；经线仪能时刻给出家乡时间。最初的经线仪就是一个能在远洋航行中保持精确时间的钟，它是一个自学的英国木匠哈里森发明的。

一个世纪以后，世界各国一致同意以格林威治时间为标准，定时计表，并且把通过伦敦格林威洽天文台的经线作为划分经度的起点，从此人们又有了统一的时间和经度了。

　

十六世纪以前，人们一直认为物体降落的快慢是和物体的重量有关的。在伽利略以前，学校的教师总是这样对学生讲：物体降落的速度是跟它的重量成正比的。伽利略的摆动实验否定了这个看法，他发现，摆底部的摆锤重量对于摆动周期没有影响。

为了无可争辩地解决这个问题，伽利略在比萨斜塔上当众做了著名的落体实验。他从斜塔上同时落下几个不同重量的金属球和一个象牙球，观众亲眼看到它们一齐下落，同时到达了地面！

伽利略还发现，重物下落时，速度是在不断增加的，或者说在加速。但是，由于他那个时候还没有按秒计时的停表，所以直接测量加速度是有困难的。

伽利略意识到，球体在斜面向下滚和在空中下落一样，都是重力作用的结果，只不过斜面减慢了球体的速度罢了。于是，他让一个光滑的、完全标准的青铜小球，顺着一条充分光滑的斜槽滚下来，研究小球的运动。尽管斜槽中的斜面减缓了小球的速度，但是重力对它的作用相对下落重物的作用是完全一样的。他发现，小球在两秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的四倍；在三秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的九倍。啊！滚动距离与滚动时间的平方成正比，伽利略找到了匀加速运动的规律！

根据这个发现，就可以算出炮弹在空中飞行的弹道了。炮弹离开炮口时，如果没有重力以匀加速度向下拉它的话，就会沿着炮筒的方向直线前进。正是由于重力的吸引，它经过的才是一条曲线，叫做抛物线。

伽利略以前的数学家，曾试图帮助炮兵根据目标的距离来确定炮的仰角，一直没有成功。搞清楚重力对炮弹飞行的作用后，就可以根据目标的距离来决定炮身的仰角了。因为目标的距离和炮弹的速度决定了炮弹的飞行时间，也决定了重力作用于炮弹的时间。

十七世纪的军事工程师依据伽利略的研究，设计出了防御炮击的新式堡垒。它不再修在山头上，而是建在低凹的地方，并且用地面的泥土工事作掩护。这种堡垒好防守，又同样能有效地打击敌人。

　

早在十六世纪的时候，海员们就开始在标有经纬线的地图上记录航船每天的位置；联接所有这些位置点的线，就是船的航线。数学家曾不只一次地试图以同样的方法在坐标图上描绘动点的轨迹，可惜都没有取得令人满意的结果。

法国数学家笛卡儿最早认识到轨迹的重要意义。他是第一个建立平面坐标，引入变数，开创解析几何的人。他也是最早使用现代字母和符号来书写方程的数学家之一。

根据笛卡儿的思想和方法，我们就好用图像的方法来解决阿溪里斯和乌龟赛跑的问题了：如果以竖轴表示时间，横轴表示距离，分别以两个动点表示阿溪里斯和乌龟，那就可以简单明白地表示出它们赛跑的情况来。

两个动点的轨迹是两条直线。两条直线交点的横坐标，就是阿溪里斯追上乌龟的距离，纵坐标就是追上乌龟的时间。

人们从很早以前就开始了对天体的研究。希腊的托勒密认为，地球是宇宙的中心，太阳、月亮和行星、恒星都围绕地球运动。当时的天文学家，除了阿斯塔恰斯和费劳鲁斯等极少数的几个人外，都承认这种地球中心说。

托勒密的学说非常符合基督教对宇宙结构的解释，它受到教会的竭力宣扬和扶持。因此，在中世纪的欧洲保持了长时期的统治地位。后来，波兰科学家哥白尼指出：地球和其它行星，都是围绕太阳运动！到了十七世纪，哥白尼的理论被更多的人，包括丹麦天文学家第谷、德国天文学家开普勒和伽利略所接受。

开普勒在第谷详细观察的基础上，经过长期的分析研究，指出行星围绕太阳的运动轨道不是精确的圆，而是椭圆，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。

开普勒发现了行星绕太阳运动的椭圆轨道，却不知道行星这样运动的原因。伽利略知道用重力解释炮弹飞行的弹道，却没有认识到重力可以解释行星的轨道。

抽气机的发明推动了科学研究的发展。通过真空里的落体试验，人们得到了引力的更精确的数据。笛卡儿指出：任何运动的物体，如果不受到外力使它停止或者改变方向，它会永远沿直线运动。

这也就是说，关于行星运动的问题，需要解释的不是为什么它们能保持运动，而是运动的轨道为什么是闭合曲线，而不是直线。牛顿总结了许多世纪以来的观察、推理和分析，终于给出了万有引力定律。

牛顿指出：任何两个物质质点都是相互吸引的，引力的大小，跟两个质点的质量乘积成正比，跟它们的距离平方成反比。这就是说，整个宇宙中的吸引力，都遵守和在地球上一样的规律。太阳把行星拉向它的中心，就象地球把重物拉向它的中心一样。如果没有这种引力时，行星也会象重力消失时的炮弹一样沿直线运动。正是太阳的引力，使它离开了直线轨道。牛顿论证了行星的速度和太阳的吸引如何一起使行星保持在它们运动的闭行曲线上。

生产和技术的发展推动着力学和天文学的前进，也推动着数学的前进。那时候，欧洲普遍建立了科学院，空前丰富的名种科学成果，在那里得以汇集交流。正是在这样的基础上，十七世纪后半叶，莱布尼茨在德国、牛顿在英国，几乎同时建立了微积分。这一理论的产生，是数学史上具有重大意义的创造。它对近代自然科学的进步，产生了革命化的影响！

　

　

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工业世界：速度、精确和计算工具

　

人们利用风来推动帆船已有几千年的历史，利用风和水的急流转动磨盘和水车也好几百年了。但是一直到十七世纪，世界上大部分的劳动还都要靠人力来做。

随着生产规模的扩大，各种事业的发达，人力已经远远不能满足日益增长的需要。比如开掘更深的矿井时，用人力抽水机就很难对付井下大量的地下水。于是寻找新的动力来源就成了当时急需解决的大问题。

十七世纪末叶，法国的帕潘和英国的萨瓦里都做成了水力推动的抽水机。过了几年，纽考曼做成了第一架蒸汽动力活塞发动机。五十年后，瓦特改良了蒸汽机的装置，并且发明了曲柄连杆，这样就使得蒸汽机能够带动轮子转动。

瓦特通过实验发现，一匹强壮的马在一分钟里能把150磅的重物升高220英尺。如果一架发动机同样能在一分钟里做到同样的事情，那它的工作能力——功率，就是一马力。

看来好像很奇怪，蒸汽动力的使用使得马在工业上的作用日益减少，为什么动力计量单位还要用“马力”呢？其实，这和蜡烛被代替以后，亮度的计量单位仍用“烛光”是一样的道理。把新的量建立在原有量的基础上，大家很容易理解和接受。

现在，我们使用的许多计量单位是一种精密确切的计量语言，是瓦特时代的工程师和科学家所难以理解的了。比如力学中的“达因”和“牛顿”，热学中的“卡”和“大卡”，电学中的“伏特”和“安培”等，它们更为适应动力时代的需要。

在瓦特之后的一百年里，蒸汽动力迅速改变了西方世界的生产状况和生活面貌。在煤田附近，由于有丰富廉价的蒸汽机燃料，大工业城市急剧兴起，工业从乡村的茅棚转移到了城市的工厂；浓烟滚滚的烟囱代替了远洋船道上的片片白帆；大马车哒哒的马蹄声渐渐绝迹，取而代之的是蒸汽机车奔驰在铁道上的轰隆声。

机器的使用，开创了大规模生产的新时代。随之而来的，是对组织和管理这种生产也提出了许多新的问题。在小型生产的手工作坊里，人们只要掌握收入和支出、赢利和亏损就行了；而对大型的机器工场，那就必须进行计划生产，必须了解产品的需要是否随季节变化，产品在什么地方能畅销，如何能改进产品的质量和销路等等，急待解决的问题是很多的。

有助于说明这些问题的情报，经常是用简单直观的图表给出的。比如，可以用直条图来记录供电所每天的供电情况。图上每根长条的高度分别表示各个小时的供电数量；进行贸易的商人，可以做一个圆形图表，用整个圆的面积表示他所有的商品，而以各个扇形的面积分别表示要在各个地方销售的部分。

和数学关系特别密切的统计学，它的进步只是动力时代的一个特点。这个时代更重要的特点是设计方面的进步。我们把五、六十年前的汽车和飞机拿来和今天的相比，无论是外形还是内部结构，都能看出变化之大！华丽的流线型、轻巧的内燃机和喷气发动机使得现代的汽车和飞机能以最小的能量损失，平稳而又高速地运行。不管你喜欢还是不喜欢，它们的外形是由本身的原因决定的，它们的确有更大的效率。设计的变革是工程技术人员辛勤研究和计算的结果，而工程技术人员的研究和计算，又必须依赖数学。

随着科学技术的发展，从实际生产中提出的各种数学问题也跟着变得更为复杂了。近代许多计量问题要求的精度高、计算量大，而且速度要快。正是在这种形势下，计量工具得到了迅速的发展。

1621年，奥持列德发明了计算尺。用经过改进的计算尺，人们能足够准确地、在几秒钟内算出任何圆面积、求出任意数的平方或平方根；利用千分尺，人们能以千分之一厘米的精密度测量薄金属片的厚度；利用半圆规，人们可以方便准确地做出各种角度；欧几里得圆规直尺几何学范围外的曲线，人们借助云形规能画出它们的轮廓来。

新的动力把人从大量繁重的体力劳动中解放了出来；新的数学工具把人从大量的单调计算中解放了出来。过去，复制一张扩大三倍的平面图纸时，首先必须仔细地量取原图每根线的长度，然后扩大三倍，再小心地画出；今天，只要简单地调整一下放大尺就行了。

牛顿时代，已经设计出了把乘除变为加减运算的对数表；在动力时代，我们有了能在转瞬间解决复杂问题的电子计算机。

要是因为掌握了先进的计算工具，就觉得我们比过去的人们更高明，那就错了。事实上，我们今天所有的进步都是在前人的成绩基础上取得的。如果过去没有人算出精确的π值，我们怎么能用计算尺来求圆面积呢？如果没有人把圆分成了度数，我们又怎么能用半圆规来做角度呢？就是现代计算工具的尖端——电子计算机，情况也是这样的。如果没有我们祖先以十为基数的十进制，我们又怎么能有以二为基数的二进制呢？

动力时代的数学，为现代自然科学和社会科学的发展提供了新的重要工具。十九世纪，高斯等建立了一种全新的几何——非欧几何。

我们在学习欧几里得几何学时，有这样一条公理：“在平面上，过直线外一点，只能作一条直线平行于原直线”。而高斯等却做出了另外一种假设，他们认为：在含有已知直线和直线外的已知点的平面中，过该点可引无数不与已知直线相交的直线。

在非欧几何学中，通过直线外的一点，可以引无数位于直线与点同一平面、并且不与已知直线相交的直线；任何三角形的内角之和，总是小于一百八十度，并且随边长而变化；在这种几何学中，也没有什么相似形。

欧几里得几何学在两千多年的时间里，一直是唯一的几何教科书。因此，非欧几何学的出现是几何学的大变革。在现代物理学和天文学中，它是许多新理论的基础！

二十世纪初，爱因斯坦创立了著名的相对论，为科学家深入研究原子内部和星辰运动作出了重要贡献。它与量子力学一起，成为近代物理学的基石。不用谈论它的详细内容，只要列出爱因斯坦方程之一，我们就可以看出相对论是怎样离不开数码和运算符号的。它的建立需要有数学工具才行，这个结论是有普遍意义的。近代对自然界各个领域的探索，没有数学是不可想象的，简直会寸步难行。

就是这样，人类在原始的生存斗争和后来的阶级斗争、生产斗争和科学实验中，逐渐认识了数学、发展了数学。正如恩格斯指出的：“数学是从人的需要中产生的”。反过来，数学又成为人类揭示各种宇宙奥秘和研究各种社会问题的有力工具。和原始的弹指计数相比，后来的数学成果确实是惊人的。

随着人类社会的向前发展，数学会越来越进步。可以预料，更巨大、更重要的数学成就，一定会在未来为时代中不断产生。