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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 I8 r! ?3 v7 p3 S9 u* P! _" ^ 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 " u# e3 {. g' h" H4 ?的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来' E7 X# k a$ \: z 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有( W1 V% P& o! j1 \8 l" l: h 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就3 {, a1 X! B1 s' a 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算! o& P0 q3 O. m$ T Q 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包; z/ E! {; d/ I( D 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 + i1 N4 K! H: q! V贡献。/ X$ ?! C/ Z2 u' F' }, `

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像. ^# C6 o5 \9 G+ ~3 F& f( {# j 2 s$ u: F5 S2 w M 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：/ R' P2 L l, ]9 c7 F4 |# t 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……( P [' z6 R- \* A3 {+ i' G7 Q 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在$ v/ J# t8 x1 w0 Y0 M0 n 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 ( ] o, C/ _; Z$ f2 U$ b1 _7 ^& y兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三$ O: a1 V$ ^/ c 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， 1 b; l: B9 w% ?: R/ u, j一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的, `9 `8 N( r% p" w5 o 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密2 S w5 J, `* F! o' P- a$ W 切的联系。 ; k: U" @9 j9 a& {2 C$ M1 q" `. D2 n- [ 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘3 h( C. A0 h, Y8 S 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。* |* `. X$ h+ }3 j 但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了6 g4 Z3 t2 e8 D8 a1 g4 Z. N8 q/ n 为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在% s2 R* Z" a, ?+ l 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏$ N7 A9 G& T4 A 大自然的造化。 , {2 `% M4 p$ h + P' _2 j* {+ g- v. Y6 \　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 5 F7 p; i6 {! g) f# f$ r6 b% U到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒# z$ q- {" g: j, \6 B: m 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果, c& g# U4 U- D+ U5 {) `9 z+ k 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 5 i% B/ e) h; c3 S的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 7 Q) E9 R2 `) o7 @6 }种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个/ t c0 ]/ L/ l* W 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的7 Q5 D0 |7 f0 [2 K. s

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 % ?4 \! W) a# t5 M5 A) N% {$ d( Q（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有0 i9 d( W' J) y) X 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 - v$ } l7 h# X+ L9 Z" J+ `4 ?

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ; M! b! Q( @3 ?! J0 C% d& E　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让, O0 f% ^$ [+ E. R$ H3 L 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点/ ~) h8 D7 x& J3 a 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心, b; ?1 o/ m: x( T 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管; ^, T! x7 w+ \0 A- g7 g! K; q 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契+ ?+ r9 U- f P" J* o 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。* ]4 Y2 }( _ ?) H

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） G+ [; K& B" K7 [) k * P0 J. ^) j/ k9 q　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 % i3 G0 `& ?$ r/ ? U& z9 s然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它- `' l2 q* d" `, B& C 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 1 `) \) j8 K Z9 F太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 / I' D: {7 q& y8 {8 y1 J$ z# f7 B$ T于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 + x) E3 L6 u4 [7 Y& [% G中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 + q% O1 D! c: g( s J, Q9 \来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 ( j0 M( U. J9 l% P' v应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 + F2 c9 j8 x3 g; h* s度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 # R3 |9 D$ L1 E) S2 r# K了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 ( G# q$ L- Y8 q D6 b能达到89，甚至144条。3 M( p6 {. c) U 4 S2 w3 ~8 s- [0 `& l# m4 u　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 : v3 S7 L/ ~; d9 C官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，* ^( Z0 M/ K& l 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， ) z* ?% R& K' X8 c+ ^" o也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中* L% F. s/ u5 @- e$ z* W$ e 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 ; x. r4 y) t+ q来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。