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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番) P4 ~& I$ J& }/ b- C& b 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 & Q. y" |9 b2 l5 Z- d/ C的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来$ H% e q* [7 ? 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 ) t6 W; i- G. [4 Q& n/ Y% l他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 7 o- x9 {7 b p6 o9 R; x1 p6 [是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算9 p* l9 u/ h7 N5 Q% s( I 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包) Z/ l' w" P7 y x0 m7 j/ s% N$ A 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 + k1 u1 y) v/ z4 A2 x, d8 P+ X贡献。$ ^! T! S% J# _7 F

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 ( k3 O' L+ f, c' W2 T 8 p$ S+ S6 }7 v* I' h- _! p5 b　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： 1 x( ^8 z" F5 W/ p$ t　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……% g# G# F' w3 \/ ` 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在4 a. p# I7 p% y% f7 L5 h 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对/ d, F2 f V2 g 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三; F: {' _$ {2 V; l) c 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， # j9 V# H8 ^" r1 x8 H一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的8 j0 Q9 ]7 U3 z 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密$ k$ d0 ?5 _+ _( R 切的联系。; Y+ q$ J5 m# Y( u6 @ - y5 X- S9 i+ ]8 V: c @% D! t 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 A d, W; i- o9 O1 h 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 6 @: Y/ H& Y8 \. X% x7 W但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 + H. ~0 f; }/ G! i, v0 s9 N. |" i8 O为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在. c) `& x$ O8 y/ f# x 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏) l% S4 q t. l5 i 大自然的造化。. D8 ?7 [! q( V3 ^% g , q9 R8 h$ _% A 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 ! \4 m$ u1 o* A5 }" U" ?$ a8 A- W到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒; R6 L. z; L/ Q- C7 P o, J 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 0 q7 d$ w% q' B7 |; T从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 : j3 L3 h# s, \( `! O的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一, n' m& \8 d( Y 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 " ~' f8 b5 c" Y% e! j图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 ! w& {+ W, |- w) K: }1 I5 c

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 9 O D8 K* m6 w, s" v（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 v( }. P! ?0 K" q& X21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。) R t9 G3 `! K; Q, Y$ x! L8 i

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 1 A' u7 |' K- V% L) ^/ o　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让6 \) U6 ~, h% b# ]- @! i 人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点3 e6 C& B: T) S+ p 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心% S) v% x4 t+ t/ w 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 # }/ q; l6 m& M这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 - D- B, d; q% S7 j! ~* k$ J8 M序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。8 |! c2 _, g- I! {9 N |: R y

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） 3 h6 ] L+ f$ [% O ' O5 p0 S2 C0 S9 Y% V　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 4 k% g) L- k8 E) k然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 ! ]0 f+ c) |( p能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 ! o8 T& i4 m" k5 R! {太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 . g: C& q1 H$ R( `: `! Q6 {" d# a# U. l于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程2 }% S2 A, v. f% T# Z6 O& Y0 ]& R 中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 6 d! o: ]1 l2 o- m+ i. l: \4 G! p来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度" W7 ^1 M" W" C2 u+ S 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360" u0 x2 S8 b- R, h6 Z5 X7 d 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 0 P3 `# q1 x8 p& ?; N. p+ k了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 4 j* }& l" E. W- Z! S能达到89，甚至144条。 : u+ x, y1 K( U 3 o' r. f v3 d+ Y　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器0 b: Y2 j! Z% ?5 H. L3 r 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， 9 e4 O3 g& V6 i% }& r" X你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物， ! t# ~, D) h8 c" Y也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中9 b# l' j( z* S- }0 m$ b. h! W: V 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 3 e/ g8 v1 |: j$ N" v来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。