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斐波那契螺旋
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. C7 |& U2 f0 i, j" a5 k斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番
2 W) E( F+ V. Y' N+ v图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出' N, m2 _0 g4 w
的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来
8 a. o8 |0 _; h6 X2 b6 f因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里,现在那里还有
; w% C1 b! \2 s; g+ ?0 y; n他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行,大概就
6 y" s% I' h3 N/ e% g是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 [' O) X0 h/ u7 T3 A- L1 L
盘书》(Liber Abaci,写于1202年)中,引进了印度-阿拉伯数码(包
3 ^' `4 n( i6 B$ k括0)及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要% o: v, a8 W) l7 b( r Q Y: h: [
贡献。
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坐落在意大利比萨的斐波那契雕像1 p. I9 `' N1 L
$ [+ u1 h$ U! G+ c 数学中有一个以他的名字命名的著名数列:
/ }- q% r8 Y7 L& d0 f4 D 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……! j6 B$ p* b) @/ j4 m& N
从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在( V* J: W( G% n l
他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对9 |; [. O+ N9 f! U( T4 S& F
兔子每月能生一对小兔(一雄一雌),而每对小兔在它出生后的第三
1 ~5 K- B0 e8 Q; N0 x个月,又能开始生小兔,如果没有死亡,由一对刚出生的小兔开始,2 B5 K4 d* ?3 K9 c% G0 B
一年后一共会有多少对兔子?将问题一般化后答案就是,第n个月时的/ U5 `" t, Y M$ x0 E' i
兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密" q; `( j9 k$ E$ B" f2 T# _
切的联系。; u; U! [, y6 F
, k$ }0 C' J1 i* f$ Q: l
斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要,在《算盘
p& \$ O$ ^- w2 F书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。
4 \/ s& h: H8 s6 C# h: g- `但是在此后的岁月中,这个数列似乎和题中的高产兔子一样,引发了
2 M! P( g4 `( ~. V3 G为数众多的数学论文和介绍文章(本文似乎也在步此后尘)。不过在4 Q, ?, ~6 z, ^0 L5 e
这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章,只想欣赏
1 F7 `- h' `, K大自然的造化。
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在现实的自然世界中,《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不
, l1 p& n# h E; D2 T! B到的,但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒
# @! m8 b( R* p I2 g草椭球状的花头,你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像,如果 ?6 a& d& u. m: [" T' P
从上面俯视下去的话,这些螺旋从中心向外盘旋,有些是顺时针方向7 M/ c6 E% m) T- W9 F0 n) P
的,还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋,我们挑选另一
$ p( N. K3 I. P, P$ q# M( s种具有类似特点的植物——蓟,它们的头部几乎呈球状。在下面这个7 N7 L- C& s# F" D: P
图里,标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下,顺时针旋转的% a% p l1 g+ _# ~( n' v% d: r
: ?/ p& y+ K" h, d: a3 K# Y1 K
, {4 h0 }; N; ^6 s% N0 v/ E: Y具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部
8 r2 j4 K0 A. a(和左边那条旋转方向相同)螺旋一共有13条,而逆时针旋转的则有
0 _5 Q4 o' ^8 o! ]- M21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。6 ]$ e2 ~/ Y& Q' K( B6 q" t
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具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部- c- p# V& l5 E( X$ ]; a, H
以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多(最容易让
* K4 |3 x) n2 T/ W- e人想到的是向日葵),下面的图片是一些看起来明显的例子(可以点
( K, r/ d3 E0 b4 X- Z b击看大图),事实上许多常见的植物,我们食用的蔬菜如青菜,包心
: u& X' y* ~4 T& }* ^/ w. d4 ]菜,芹菜等的叶子排列也具有这个特性,只是不容易观察清楚。尽管, e4 u$ e- _2 h& |
这些顺逆螺旋的数目并不固定,但它们也并不随机,它们是斐波那契
2 D" [2 F5 r7 d6 M) \序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。$ f# g( e: r5 h! m1 e! J$ O
/ G7 l/ _) n- B h. ~: g  ; {+ C3 L G/ b( I. n$ B- r
自然界中各种各样的斐波那契螺旋(点击看大图) u' `6 e4 G( V3 l' u
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这些植物懂得斐波那契数列吗?应该并非如此,它们只是按照自8 k4 L' v1 a- X- p9 {2 J
然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”,它
; b, K) Z0 n( [8 Q) t$ J9 ^4 C能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当,不至于在圆心处挤了
4 `! c8 j$ k. Q& Y4 |$ E4 F& ^: Q$ d- V太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此,对
0 G# ^7 { C9 x! x, V# J$ t于许多植物来说,每片叶子从中轴附近生长出来,为了在生长的过程
: ~; C/ E( d6 i* I" A& j中一直都能最佳地利用空间(要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出+ a, E) M1 R; R7 `" ^
来,而不是一下子同时出现的),每片叶子和前一片叶子之间的角度
) m9 r9 H( i" X8 k( Q5 [) ^/ m- H应该是222.5度,这个角度称为“黄金角度”,因为它和整个圆周3605 Z8 T: a6 {, _* s# S _
度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数,而这种生长方式就决定
1 j: O$ g _5 L) I5 \& c8 Z了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时
2 \% l$ U) S' E' A- D% ]- c能达到89,甚至144条。( G2 u) Q/ a8 E$ `
, t+ s/ g8 D& N 由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器
& C& s" T" e% k- }' L官的排列图样;另外还有具体环境的影响,比如地形、气候或病害,/ A6 Q- f4 e7 N( P& e3 H
你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物,5 ~9 [4 k x( Y+ i6 S
也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片,你会发现螺旋的中
; B' {1 ]5 F: P- o& @0 N$ G4 Q7 E心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出( g* J" Z2 u I( o% W$ u
来的完美的斐波那契螺旋吧(点击看大图)。
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