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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 ! Q# l* n$ T, r" } D6 i1 Q7 m4 e4 E图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出6 V) {/ e5 s `9 Q( C5 L6 [ 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 , g: o4 t; g& e9 e因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有3 G/ f) z5 p$ Y8 Z& l 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就% C0 X8 K X( [ }* V8 I 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算; v9 Y# \8 X5 } 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包- E9 K8 _0 L" L! Z- V, m9 F6 ^2 d 括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要 7 ?7 F" g- t9 {贡献。 & c5 L6 t) Y% e% ~3 B! M5 X

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 0 k: a5 p0 F }6 y; i' l6 f & C) L; u! Q, H; D6 H　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：* [6 U* X$ Q# z% i' f- n 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……0 G k8 U; J8 D: n& Y& [, l5 s 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在# M! S: G3 K8 S 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对 1 }' S$ ?& Z; }0 R" l兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三9 D' g4 E5 k) k% L. H& V' L f 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，7 v/ a9 {3 z6 } 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的/ J) Z+ i0 b% y. ^7 W; B; z6 } 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密 3 G4 e' E' }( _8 f切的联系。! N! O6 x, [8 ]0 j % C. O2 }' E* M* b 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘; q: I: M/ x3 \8 S5 w2 N' N/ V, f 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 ( E# C# R3 `. t8 p f$ G0 b但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 # q" Z! ]* [) k7 j0 g# y为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在9 `) S, x& E# l+ r 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏( \1 U/ p* G& t" Y' U+ c 大自然的造化。 ! q0 c2 [# W' u8 ~# e3 B. W$ u o2 u; J0 X9 c$ n 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 * y" ?# {( `* p! h到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒4 D: ]! l, v$ R8 Z( u! ^7 M3 j 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果! |0 b1 j! _1 j+ \ p3 i 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 ) @8 v* z/ u6 a+ N/ _- ~2 Z- `的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 0 z! z( a" f# R; E0 R: T6 ] q种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个! i- J, `8 D4 V3 T 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的 ( A8 n% T2 T& } G( ?2 C" z

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部4 w5 B" V2 C/ C （和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 + |) |; U. m! Y* u# e21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。 2 Z- T6 m6 U+ O% b( P6 u

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 & T2 P3 |4 Z* D　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 0 {5 k$ P( o9 W人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点8 j5 Z2 p* U& O9 O* s 击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心/ A. L* w6 b% ~2 T 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管# }7 V! v- w6 w* k" H) ~ 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契: }* P* ]+ w6 p* ~% z) _4 x 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。 " W1 r7 S$ I7 X+ z7 d# f

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图）) r( u% T( `% S: G7 t 5 V' Q7 c* s* @ 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 / a1 E, Y1 D1 Y' S! C然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它/ b5 p; e& m4 a, j0 l Q$ q9 T) Q 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了1 r1 {4 q# p: s1 s7 ] 太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 $ z; x3 v. n' j8 z9 T于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 3 z5 t; w: Z9 I6 ^- @' g- ?中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出 / H) f2 Z* L6 N1 w4 S2 ^ e+ ~9 ?来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 8 Q/ R4 n# F' |! H2 o应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 L' `3 L, S' o- o3 _# Q度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 # f! T' q" }5 E' m8 R9 Q了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时* D: l! K- T# [7 P! y' \ 能达到89，甚至144条。# ^5 }% a9 \0 y7 q( r ( w. V1 s7 J# _* N4 T　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器1 t. k4 q4 N& g3 ^; E6 B* V 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，$ o7 u# A# l7 d 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，& I) w! P) I6 H" o8 T3 n! B 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中) a1 y, y4 i: E/ W4 S. L 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出4 q Y$ g J6 Z6 ~3 G 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。