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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番 2 W) E( F+ V. Y' N+ v图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出' N, m2 _0 g4 w 的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来 8 a. o8 |0 _; h6 X2 b6 f因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有 ; w% C1 b! \2 s; g+ ?0 y; n他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就 6 y" s% I' h3 N/ e% g是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 [' O) X0 h/ u7 T3 A- L1 L 盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 3 ^' `4 n( i6 B$ k括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要% o: v, a8 W) l7 b( r Q Y: h: [ 贡献。 3 [7 `( N- p9 Q; u4 W' G

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像1 p. I9 `' N1 L $ [+ u1 h$ U! G+ c　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列： / }- q% r8 Y7 L& d0 f4 D　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……! j6 B$ p* b) @/ j4 m& N 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在( V* J: W( G% n l 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对9 |; [. O+ N9 f! U( T4 S& F 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三 1 ~5 K- B0 e8 Q; N0 x个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始，2 B5 K4 d* ?3 K9 c% G0 B 一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的/ U5 `" t, Y M$ x0 E' i 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密" q; `( j9 k$ E$ B" f2 T# _ 切的联系。; u; U! [, y6 F , k$ }0 C' J1 i* f$ Q: l 　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘 p& \$ O$ ^- w2 F书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 4 \/ s& h: H8 s6 C# h: g- `但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 2 M! P( g4 `( ~. V3 G为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在4 Q, ?, ~6 z, ^0 L5 e 这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏 1 F7 `- h' `, K大自然的造化。 % b) t, C& l- r8 W7 f2 g( J/ y: d/ K) s- F9 Z4 R4 W4 J 　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 , l1 p& n# h E; D2 T! B到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒 # @! m8 b( R* p I2 g草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果 ?6 a& d& u. m: [" T' P 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向7 M/ c6 E% m) T- W9 F0 n) P 的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一 $ p( N. K3 I. P, P$ q# M( s种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个7 N7 L- C& s# F" D: P 图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的% a% p l1 g+ _# ~( n' v% d: r

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 8 r2 j4 K0 A. a（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有 0 _5 Q4 o' ^8 o! ]- M21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。6 ]$ e2 ~/ Y& Q' K( B6 q" t

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部- c- p# V& l5 E( X$ ]; a, H 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 * K4 |3 x) n2 T/ W- e人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 ( K, r/ d3 E0 b4 X- Z b击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心 : u& X' y* ~4 T& }* ^/ w. d4 ]菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管, e4 u$ e- _2 h& | 这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契 2 D" [2 F5 r7 d6 M) \序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。$ f# g( e: r5 h! m1 e! J$ O

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） u' `6 e4 G( V3 l' u # K5 P' w5 u! t" X2 h 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自8 k4 L' v1 a- X- p9 {2 J 然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它 ; b, K) Z0 n( [8 Q) t$ J9 ^4 C能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 4 `! c8 j$ k. Q& Y4 |$ E4 F& ^: Q$ d- V太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 0 G# ^7 { C9 x! x, V# J$ t于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 : ~; C/ E( d6 i* I" A& j中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出+ a, E) M1 R; R7 `" ^ 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度 ) m9 r9 H( i" X8 k( Q5 [) ^/ m- H应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周3605 Z8 T: a6 {, _* s# S _ 度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 1 j: O$ g _5 L) I5 \& c8 Z了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 2 \% l$ U) S' E' A- D% ]- c能达到89，甚至144条。( G2 u) Q/ a8 E$ ` , t+ s/ g8 D& N　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器 & C& s" T" e% k- }' L官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害，/ A6 Q- f4 e7 N( P& e3 H 你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，5 ~9 [4 k x( Y+ i6 S 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中 ; B' {1 ]5 F: P- o& @0 N$ G4 Q7 E心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出( g* J" Z2 u I( o% W$ u 来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。