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[转帖]斐波那契螺旋

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发表于 2005-1-20 09:40 |只看该作者 |倒序浏览

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斐波那契螺旋

斐波那契(Leonardo Fibonacci, 约1175-约1240)也许是在生活在丢番" ?' G7 C) Q. s 图(Diophantos)之后费尔马(Pierre de Fermat)之前这2000年间欧洲最杰出 ' t0 L/ j) w: V" `& m7 u% e- U的数论学家。我们对他的生平知道得很少。他出生在意大利那个后来4 P) k7 K( y# Q3 a& ` u1 i 因为伽里略做过落体实验而著名的斜塔所在的城市里，现在那里还有# b% B9 e* r! j: A z1 f) X" U$ m 他的一座雕像。他年轻是跟随经商的父亲在北非和欧洲旅行，大概就! I" ~% u2 p& C$ V9 {( } 是由此而学习到了世界各地不同的算术体系。在他最重要的著作《算 1 Y6 ?8 [$ `3 X- P& Y盘书》（Liber Abaci，写于1202年）中，引进了印度-阿拉伯数码（包 ) y: K3 t" i. f% y括0）及其演算法则。数论方面他在丢番图方程和同余方程方面有重要+ C" C2 h% l+ Y, w' ^$ P" x 贡献。" h7 p! }( k' f8 \8 R$ @$ K5 A

坐落在意大利比萨的斐波那契雕像 + o" `5 R9 z( q/ }& Q8 g% ~' ?4 l% l3 k" y' u 　　数学中有一个以他的名字命名的著名数列：) _& n7 {7 O) O' R4 X2 i 　　　　　1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ……3 \7 B. l. C6 u9 J1 T# J- R 从第三项开始每一项都是数列中前两项之和。这个数列是斐波那契在3 S8 O" ]+ C5 R: f 他的《算盘书》的“兔子问题”中提出的。在问题中他假设如果一对& |' P9 U, Y/ a 兔子每月能生一对小兔（一雄一雌），而每对小兔在它出生后的第三( \! @/ s3 B3 @: i* `4 }5 U 个月，又能开始生小兔，如果没有死亡，由一对刚出生的小兔开始， ' G+ U9 f0 j2 `8 P1 R l一年后一共会有多少对兔子？将问题一般化后答案就是，第n个月时的& T* D( g, e; u" K 兔子数就是斐波那契数列的第n项。斐波那契数列和黄金分割数有很密) A ]6 [5 {4 ]/ u4 m, E 切的联系。 4 g) P4 @2 `8 Y: n 8 q, B+ p `3 x1 w2 j6 F　　斐波那契并没有把这个问题和这个数列看得特别重要，在《算盘6 k" b- t- m7 ?: D' m0 }- b8 d 书》中兔子问题只不过是书里许多问题中并不特别的其中一个罢了。 $ C$ s. r& l. m+ |" J但是在此后的岁月中，这个数列似乎和题中的高产兔子一样，引发了 5 A- `4 W6 m$ M4 {* J4 r9 T为数众多的数学论文和介绍文章（本文似乎也在步此后尘）。不过在 " V& \4 b' }, W. B* i这里我不想介绍浩如烟海的有关斐波那契数列的数学文章，只想欣赏6 Y P3 i7 Z- d* | 大自然的造化。 : S( l3 J; S( s ( u. K- i5 y# W0 l　　在现实的自然世界中，《算盘书》里那样的神奇兔子自然是找不 , r. w# s H' J/ V/ t! v到的，但是这并不妨碍大自然使用斐波那契数列。本期封面上是起绒/ S1 m# R( @7 J; p2 P$ h 草椭球状的花头，你可以看见那上面有许多螺旋。很容易想像，如果; B* c& _9 I3 |/ U6 g5 j 从上面俯视下去的话，这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向 / I5 m6 x9 i" l d7 f0 J6 x+ \的，还有些是逆时针方向的。为了仔细观察这些螺旋，我们挑选另一3 W. M3 \2 r. J' j. D% f ~ 种具有类似特点的植物——蓟，它们的头部几乎呈球状。在下面这个 % ^2 A" m' N6 r- a" o图里，标出了两条不同方向的螺旋。我们可以数一下，顺时针旋转的' `2 ^, j8 Q1 B

具有13条顺时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部 ; y' H& C* P% R' F（和左边那条旋转方向相同）螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有2 Q+ W( L2 S& @7 r; q3 g 21条。而下面这幅图中的顺逆方向螺旋数目则恰好相反。" p3 a" V7 h6 c+ r+ g' G

具有13条逆时针旋转和21条逆时针旋转的螺旋的蓟的头部- t& G; ^% s) G0 ~7 c' D 　　以这样的形式排列种子、花瓣或叶子的植物还有很多（最容易让 ( r0 R" v2 D" z% N' h' h人想到的是向日葵），下面的图片是一些看起来明显的例子（可以点 3 W0 ^8 k3 _% T! I" P击看大图），事实上许多常见的植物，我们食用的蔬菜如青菜，包心- M( H( x |: n. Q# c/ {( r 菜，芹菜等的叶子排列也具有这个特性，只是不容易观察清楚。尽管 " ?* i9 Q7 U3 f( A' C) {这些顺逆螺旋的数目并不固定，但它们也并不随机，它们是斐波那契( Z: d1 S3 s; g 序列中的相邻数字。这样的螺旋被称为斐波那契螺旋。- Z, R9 H6 h9 t8 l5 [3 {, Q

自然界中各种各样的斐波那契螺旋（点击看大图） * l9 w8 Y5 |* D; h$ R: {3 o$ g- x- O" d, C5 @7 h) l) u 　　这些植物懂得斐波那契数列吗？应该并非如此，它们只是按照自 . v: P4 O7 _" D3 p# Z# n然的规律才进化成这样。这似乎是植物排列种子的“优化方式”，它4 @5 a6 }# n/ I4 Y 能使所有种子具有差不多的大小却又疏密得当，不至于在圆心处挤了 / w8 c+ n0 x% o4 h太多的种子而在圆周处却又稀稀拉拉。叶子的生长方式也是如此，对 / r# j$ t F( s$ I于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程 ( s3 \: M5 V$ n0 J中一直都能最佳地利用空间（要考虑到叶子是一片一片逐渐地生长出. F: j3 u f. g2 T5 u. j0 {: E 来，而不是一下子同时出现的），每片叶子和前一片叶子之间的角度- l9 h0 d, m8 N- V# s 应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360 + U# ~3 N# g* n* L- Y) b度之比是黄金分割数1.618033989……的倒数，而这种生长方式就决定 : d6 I+ X9 I+ U了斐波那契螺旋的产生。向日葵的种子排列形成的斐波那契螺旋有时 / E, K% T6 f# D能达到89，甚至144条。; G5 Y' m' G% y: g2 k" M 3 j" W4 x! ?4 e8 v& P　　由于是自然规律而并非抽象的数学或哲学原理决定了植物各种器/ h0 h/ O" z8 \/ g8 \ 官的排列图样；另外还有具体环境的影响，比如地形、气候或病害， ; R! W4 u- O! [ T你并不总能找到完美的斐波那契螺旋。即使是生长得很健康的植物，% ~2 x: Q1 z& s9 ~8 _7 s 也难免有这样那样的缺陷。仔细观察上面的图片，你会发现螺旋的中' X& H% ^* t9 X 心经常是一片混乱。所以最后还是让我们来欣赏一下由计算机绘制出 . @6 j% D- Y% J2 [来的完美的斐波那契螺旋吧（点击看大图）。