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9 [. @) H. b# W- h7 t! Y3 r8 z9 t
& A1 Q/ W6 x+ y7 F( m& ~% f在武汉大学数学系编<<数学分析 ∙ 下册>>,1978年10月第一版,人民教育出版社.67页至69页. 对二项式幂的展式有如下论述: 4) 二项式幂的展式: (1+x)^m=1+mx+[m(m-1)/2!]x^2+⋯ +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯, -1<x<1 (13) 其中m可以是任何实数, 右边这个级数称作二项式级数. 如果m是正整数, 则上面式子中的级数就只到x^m的项为止, 后面的各项都等于零了. 这样,(13) 不是别的, 就是我们在中学学过的二项式定理. 以下我们将假定m不是正整数, 于是(13) 右面的确是有无穷项的幂级数. 为了证明这一展开式, 首先注意, 用3.1段中的定理 2, 很容易证明(13) 右边这级数的收敛半径R=1.于是它的和函数S(x) 定义于|x|<1:
( i; P- E' M0 l" T* F9 u; e& Q- a E S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+ [m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯ (13)’ 问题是要证明S(x)=(1+x)^m . 为了要证明这一点, 我们把(13)’ 式逐项求导数(x始终取定在|x|<1的范围内) 得
- n% m: s9 X. h7 Y# F3 s6 K S'(x)=m+m(m-1)x+[m(m-1)(m-2)/2!]x^2+⋯ +[m(m-1(m-2))⋯(m-n)/n!] x^n+⋯
$ D9 l7 [- ]3 L/ ^或
2 L j! K7 S( l! \- K" A' h S'(x)/m=1+(m-1)x+[(m-1)(m-2)/2!] x^2+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! ]x^n+⋯
3 x9 \ f% |6 x5 X& O! v 把此式两边乘以x,得; f" Y$ Z/ b$ d+ k) ^- Q3 s `6 o
xS'(x)/m=x+(m-1)x^2+[(m-1)(m-2)/2!]x^3+⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n!] x^(n+1)+⋯
7 f- s" W O- V5 u' a再把此两式相加,得% Q8 |2 a0 F1 m/ g- d) c
(1+x)S'(x)/m=1+mx+[(m-1)(m-2)/2!+(m-1)]x^2 +[(m-1)(m-2)(m-3)/3!+(m-1)(m-2)/2!]x^3 +⋯ +[(m-1)(m-2)⋯(m-n)/n! +(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/(n-1)!]x^n+⋯ . A+ o+ q$ g5 k& t7 z
=1+mx+[m(m-1)/2!] x^2+ [m(m-1)(m-2)/3!]x^3+⋯ +[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!] x^n+⋯
6 p/ x& Q. K0 S7 G9 |4 ~) P9 E. S而右边这个级数又回到了(13)’ 的右边, 所以得到S(x) 的一个一阶微分方程:
/ d& p7 W/ T+ [+ N# j5 g (1+x)S'(x)/m=S(x)或即S'(x)/S(x)=m/(1+x)
/ e l$ c/ J5 Q t3 f$ {两边求积分$ v4 A, _* |5 ~2 H2 x
∫[S'(x)/S(x)]dx=∫[m/(1+x)]dx [size=15.3333px]即7 E) @% H9 c1 e$ Y+ {2 W
lnS(x)=mln(1+x)+C 但是,当x=0时, 由(13)’ 很明显S(0)=1,即lnS(0)=0, 因此在上式中令x=0代入后立刻可以知道C=0. 从而 lnS(x)=mln(1+x)= ln(1+x)^m
* e. h8 g4 L {0 w1 k9 X这就是说,
# t4 @7 \7 X9 n5 D S(x)=(1+x)^m
4 r' p J' g2 e3 d$ H+ r# U 上述论证看似严谨, 以后有作者持上述观点发表了专题论文. 仔细分析, 根据基本积分表有 [size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx =lnS(x)+C
+ `9 H6 _$ {+ T由于C=0, 比较上述论证, 得
5 n! J4 ]( O, ~9 x0 s [size=15.3333px]∫[S'(x)/S(x)]dx=[size=15.3333px]∫[1/S(x)]dx
3 L2 l h5 `) i1 V) T; G R9 s1 U即
/ G2 @7 I) ]. J& O3 h7 M' m S'(x)=15 D" \3 J: `7 |& b
这与
( q' R6 l# {/ P S'(x)=[m/(1+x)]S(x)
1 a7 y8 C7 ~) Y( ]3 p& ~不兼容.亦即原著论述只能得到恒等式+ z* N1 e; p4 m7 D7 E ^" B5 A" }
[size=15.3333px] (1+x)^m[size=15.3333px] =(1+x)^m
8 G) J2 g+ h% b8 A8 G7 N$ v或原式- X) \' j# l0 S4 @2 M) T1 l
S(x)=1+mx+[m(m-1)/2! ]x^2+⋯+[m(m-1)(m-2)⋯(m-n+1)/n!]x^n+⋯
' x+ [3 Z! r; U( N; i$ ], u' s7 j' Z$ c0 X- u7 i; v
这样原著关于二项式幂的展式论证没有意义.盼武汉大学数学系在再版数学分析时更正.
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