[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： 4 z/ Z. x+ N' S( c9 S# C

# o6 v( f* q5 n9 M* W: A0 ~

0 b6 W+ z- D! R8 b+ L

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

: G( D5 J8 f! u) E

; c. L' ? N" a

移项，得

) {5 H) x8 g) B/ ?. M8 L

# ^" o( `$ p- u! x+ M9 a; i

; c* X1 M \5 T4 O* b

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

: E9 N% c9 i Q, }

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

% Q' Z2 e! B% @! A ?

二种方程筛的比较

! p+ D0 e! ?$ v; X+ \( j

包学行

0 Q9 C. ~$ L0 ?6 }( p

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

+ p2 Z+ b+ g) T: l4 G

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

) H5 b0 v) |( K g

（2）

" E) y$ g7 ]9 G% Q2 {8 d2 V% ?9 `

8 g5 Z( v8 k8 X+ ]

上方程（2）中的

（3）

e+ ]4 f% ~$ o' \' w1 D

* M1 U; R1 x, |9 P

- @$ ?, B! |) j, F5 h+ `

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

p* {# Y# f) \ z

5 V( N2 ?! ]. y8 b3 d, u: P+ r* ]0 P" Z$ M4 F: m/ U2 |, P. S( r' f6 B3 G: F0 U- a- C# d* y6 O, V% c5 ~, P9 X' s# O/ \: D1 o( q: k0 j; N* L+ Q7 [6 t8 C) s" L* Q3 I7 I" l' r* s1 W4 O/ j7 C' V* v+ C+ ?; O3 u* X- a8 C2 V. n( I* p) L) N% z) g5 u' r m/ o' y# `6 ]% X% f- }) ]1 M4 t1 ^% z6 N' ]* C7 ~" z3 J2 K! H3 [- e M1 L" ]

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 % L. _7 H& V P（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 . n8 O+ m, W) v) T( a, B小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 . h+ v0 A, N+ T1 z( @% I（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 & ^% S& r" Z! N% l! f# I' U/ c（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。