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[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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发表于 2005-3-30 23:34 |只看该作者 |倒序浏览

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

3 V9 l9 e+ V0 H* c
对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

6 a$ M' o; i/ }+ G( a, ?' j0 v
移项，得

0 K0 r( A1 q$ J- w8 N
（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。
5 p; B( o: s2 g+ H
讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。
! ], T# e, W& l& O; B8 _: H C

% z- f1 |2 _% ]$ @9 Q
二种方程筛的比较
2 ?2 E9 D; K/ X. p! B( G
包学行
7 L5 C Q) }7 q9 L6 [8 X' b
. B8 {7 @' z1 q& J( v3 L
　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：
5 j& O9 C* Z- K [
Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）
9 N6 ^) t" C v) V! k6 w, }8 \
而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

# O9 F% s/ Z* f# r; C, S
+ q8 W) a- C0 S
上方程（2）中的

（3）

: ~- a6 G6 N( i) n8 D
: e- j% S: C1 ]; T7 I% m& L
该方程较为复杂。
2 y, z9 \: [' \
　　　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：
' B6 ]6 s5 f( q, h: r
, }# G# j- q" x3 Q% |
1 ? M: M0 }! G9 i `2 D, z' D" p0 p. u! p- z- d( ]3 k0 J+ L) L, F+ c5 Y) F F# a; s" x6 e) @) i! W4 V! i6 x) n' m5 }" R- N" f& b: C" x1 R O% q2 C' r( o6 ^* e2 @* m& X% v/ ?4 [- I6 r* ?/ p0 m- k6 C0 y6 Q" k. ?' t9 i; E1 v6 ]# p- i7 Z% K" y" l3 S/ B; \3 }- Y: k& k3 p8 d5 m8 K0 g' E- c. }1 w, n. y: d5 M$ _9 j% A/ k% t9 R' S: A" N! T5 l, i. m' ]8 y+ g- S$ [( C) h, X0 D0 e7 ?5 @' D2 T: I& |2 u0 m" B. R. Z+ R( u- p+ ~# u, ?( N( K( k! L% k: m2 K6 P; a$ ^" Z, H6 Y0 A( H% x D7 [% D8 K/ ?+ j. s$ Z6 ?: z5 m( g0 Z5 D2 j/ b3 K V ]2 ]& c5 r6 y8 \# V, O& `- R4 p! F0 I& M- n) F, R. u( G; @( h# y% L/ j+ ^0 Y& U% y5 q4 B8 _5 L4 [( W! I

　 yujun 的方程筛（1）作者的方程筛（2）

方程左边函数结构简单复杂

方程左边函数值的意义定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。

方程左边函数值的变化特点2 ]- z6 Y9 R# v （对自变量为素数到合数的变化时）从 0 变为一个大于 0 $ A/ W. l* Y( Q' A 小于或等于 1 的数。从 0 变为一个大于或等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点/ A0 z5 L, l9 Y1 x+ U* j, ^4 _+ y （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。从 0 变为等于 1 的数。

方程左边函数值的变化特点 5 Y5 y. k" S! _! i# O# E: O（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化从 0 变为一个) v( _3 h4 e( r# j# @9 C2 C9 e 大于 0 且→0 的数。从 0 变为等于 1 的数。
: R4 @7 K& s. @- Z$ [9 Q