[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

( i# p" A# q+ e( k

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

/ s0 Z$ y$ Z2 M

. s3 g; j+ a0 e7 r5 h0 W

' Z' Z7 C8 F% d* p

移项，得

7 I: l" E6 F$ b" Q s

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

! T' i, n4 r6 M4 l* u+ L# N- O% X

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

二种方程筛的比较

包学行

& x. q6 c3 I1 P! v6 v k

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

5 ]6 @8 K4 W& {$ P$ a

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

/ m" d& q: ]( e3 R8 V% m: p: X

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

9 U! ^% j+ f/ a4 \5 I, k5 {

9 G) l" E/ P& x8 W% q

* U% C: w; c" z' V3 Q" J. ~ f- p

上方程（2）中的

! t/ F$ n3 X& F M/ M6 j

, X( m$ d* X4 O& s

（3）

* S& _/ E7 U d! d

$ b# E* I9 J4 \1 \+ W5 {; b

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

, Y2 _+ s; H; Z9 M+ s& y$ f1 w3 c; [# {

5 t9 ^: ]- I; \# J' E5 p' w

) @; z0 o; X5 D$ } R8 t# F: D" C Z2 q V r- I, I( q+ h6 v$ s# u/ H$ [2 G; t& e7 E, F& O9 N& G8 ?5 {6 E$ k4 F0 G: ^; j* f6 d. I( T0 G+ y5 ]7 G$ W7 B7 R. c, R' Y! R- ?. \' L; v/ x* I% d3 f+ k1 @9 }: l' H1 \! ? ]: k3 W; S* `0 m8 q' l' Z4 R+ I+ Q* v7 t3 W1 d

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 3 ?3 x: T- U" p! l$ W2 z小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 ! d. e8 s; w/ O1 t9 B（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

& g3 K8 b$ G% |' } ^6 v- z8 }