[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]：

* m( p$ ^/ N3 X. o7 L/ ?% P5 X

( u5 F0 x+ }6 ~4 L6 i

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

" }3 c% _; O0 M6 W/ _

移项，得

9 O1 I& o, e5 y5 a2 k3 S/ o0 H

9 L4 n5 s* f8 H. W

& S* T" I$ ]; v$ U/ R5 V& s

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

1 z$ F+ D6 y0 |. |

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

Q0 |1 v5 d! l: c! d" k4 f, R

+ E1 w8 q: r" a3 N

二种方程筛的比较

包学行

+ o, J1 z0 B8 U9 J! g

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

9 X' q; ?$ R8 h

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

+ C' k' B4 N! d9 O

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

( ^: J" e0 D3 c0 @) C0 i

（2）

4 o2 z! `1 ^; p6 q0 h& I4 J

上方程（2）中的

（3）

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

! O" L2 y- |8 D' s* X D3 |

2 l$ [$ P1 g7 f r g( h1 W7 S+ u7 @: v. g8 D& m4 `; |, {2 V3 E$ w/ L3 |2 A- C' k3 K7 R4 r: p0 {1 L$ I; \. |8 V. i7 Q: t3 y( I0 q2 ^6 U8 S4 x) E* r( t F, h. x Z3 \- L+ V1 F2 M$ o; o) f6 `) `# w U% D' T5 X G- {0 R& i/ G/ u1 O2 U& u4 Q; D; ?$ T4 X! Z9 F+ T( T. n& P4 _& F8 [8 u/ X4 k% c4 e6 d) t7 D+ \4 U& Z7 J4 H/ a- _4 T' @* u) P! N1 D8 J) m6 A( H( `8 m# F! u) v" r/ v! W+ Q

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 8 F3 j3 ] I5 T* f" y, S4 W（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 & y: g- W \8 v/ h大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。