[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： . ]1 Y0 P) Z2 ?6 S

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

# Z" ~* |+ O# q4 D$ \2 N+ D

0 z3 }% y/ d3 ^: J

`& d5 Q! R: y1 Z; Z

移项，得

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

4 h ]6 e% @4 A5 P1 ]

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

. P+ Q/ I4 J' H/ @8 c

. |$ T1 I. C; D! J& l

二种方程筛的比较

包学行

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

: O# |+ l2 n# \; |" d) s4 o

; k+ i7 E: x$ p& Y" b5 J7 }

上方程（2）中的

4 Y3 |! M3 k& u) E# C6 K

（3）

! a8 v1 J* H. X! n- } N

* E1 U L0 X8 A# N5 W5 f

该方程较为复杂。

" C6 P h. w. ~3 Q* S: t

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

! U6 g- C& j6 E6 c% X! [! O4 q7 Y' }, C6 B

J1 ^) ?) _ \+ v7 d8 q# S

! \4 z6 T2 I- ^$ F4 E _6 q2 |; ?* T$ }. z* p! u0 q: L1 K- ]+ B# h! B3 K3 H4 G9 ]! `3 x. r; C) r3 |4 N6 |) R W8 ?/ X* `. K+ }7 _4 G2 y1 P; t' D2 R6 k: E! _7 h0 K" J0 m9 i: e; A# T. r! _& `: ? B6 Q/ e+ m* X, G+ v3 w! Z. L6 X# x3 ?9 E; Z$ s7 l, x& D4 I4 ~! D/ e6 r! o! T% V R0 l8 \/ u8 e0 \0 A A& G( y; f) G( N3 [; d' g A0 l1 |# y9 _- d" \' A4 @1 F2 t0 V4 _$ e( p" X/ R5 @5 W! e+ f, A. Z! y3 o8 P5 i' H

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 $ s% I6 J: `' U% t& {- [* Y（对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 % k {6 N; c# A4 B' J0 J小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 1 e7 P2 @/ p5 r（对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。

5 i! S) r1 `4 d. a* e% Z7 x