[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： - z# z4 m! D1 |* A; w L

& ~" c3 a/ l6 p/ r1 V, j

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

8 e, F3 T! _+ E3 a

6 R- ?* n4 k) N; i; p4 {' z1 U

移项，得

) ^3 a* x) ]) b& l3 o

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

7 @$ o8 z% J5 q' F2 A: F) _( {- n) _. |* ^

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

7 C+ I* Q& M( J T8 ` L( S* O/ z: Y/ w

6 D9 a! j6 H" [& `* A! N

! r/ d8 m8 d, G8 ^, h4 y$ c+ B

二种方程筛的比较

包学行

: Z F% M7 L$ K7 O" F3 h1 x

0 s: j6 B6 g2 C7 I5 |

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

8 y+ |0 P# c% ~# i8 j; A" E4 N8 s# v3 H

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

9 G j6 A0 h: i0 A

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

（2）

# \9 p" L$ |: O8 Q, S, \- P$ N

* Q" K* k- k- `/ j: b3 T+ J

! U4 g3 i X% s3 G8 j

上方程（2）中的

（3）

0 M1 _* n. n7 u$ c/ x0 j* O

+ `' Y( ?2 ~: U; L# c l

( b0 t0 M+ }3 L8 d

该方程较为复杂。

6 n+ ]3 k" _/ d; |* R

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

4 ?1 I' I- w2 y% F0 t( x- o

0 j& j$ [ x. ?$ j1 A

# ^' p0 {/ m o+ B' `4 ]: h6 m% Z0 f' Q# q% H; s% q. v( U4 s9 V5 m2 T0 R8 n$ C( A. F Q) o( F N" J6 l+ h3 t1 f) c5 z5 w+ M2 H8 |! ]( {3 F, ~% B& b. D" z9 u8 g- O0 x6 s a* p3 ]7 d. ]& F% J- p* @3 B' F% J1 W' [- y# ]" E6 D% v# k& r! E3 t9 K. K G8 w* p f( g

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 4 e' b2 _$ v$ u小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 ! R, p) [" ], T/ c# y7 u8 ]$ w' U大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。