[原创]实力论文 [图文]包学行：解集为全体素数的方程筛

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设 f(n) 为因数个数函数，从“因数个数函数的推导证明”一文知^[1]： 2 X, K2 L/ c3 r: t6 C' W

; W& w4 Q7 Z7 f. P: @- \

对于任何素数 p ，只有1与自身 2 个因数，代入上式有

移项，得

# v! }6 i% i9 |2 p4 j% N

* Z1 n" P+ Z D

（3）式就是一条解集与素数集严格相等的方程筛。证毕。

# m$ L0 @& c+ T+ M; g6 Q

讨论：因为因数个函数有无限多的表达形式[1]，方程筛也有无限多的表达形式，上述（3）式只是其中的一个表达形式。其它表达形式的方程筛的推导证明方法类同，在此就不一一证明了。

" l2 r6 k* Y, ?, [8 E

/ {8 m4 \! o+ C: t

二种方程筛的比较

; g5 I3 ^- R2 e$ h$ ^

包学行

& W9 [9 _, ~ U

8 @1 r7 ~7 C6 q0 C9 v

　　最近作者收到了 yujun 信，他在信中给出了一种非常简单的方程筛，该方程筛结构如下：

( y8 v4 ~) V' k8 e

Sin(((p-1)!+1)/p×π) = 0, （1）

而作者在“解集为全体素数的方程——方程筛”一文中给出的方程筛为

% F" F/ f) ^8 O; a

（2）

上方程（2）中的

7 j9 ~# r& q* ~1 d+ _( }

（3）

9 o* R2 k% w% _7 N% F! d& y* n

, O! ~4 z" |6 T

该方程较为复杂。

　　 　但二种方程筛各有特点，现比较如下表：

% ]7 r1 I: a. e; v! y% d. @( y. b# o4 H( q# R* K' J+ J6 C; p) @1 u( Q, j; f+ n* ]: [+ Q- `: t9 A7 ?' {1 J: T4 h. f/ l3 Y4 O" }/ t( J" Z+ V) \4 ?2 ]0 I5 m5 K/ H, _+ N9 |! w3 D9 ]3 m0 ]$ O. ?9 V2 u- s( `. P* P7 | B" F8 m w+ M% y% x9 V6 `& S+ J) F: e4 @# B. V* y, A2 E' y

	yujun 的方程筛（1）	作者的方程筛（2）
方程左边函数结构	简单	复杂
方程左边函数值的意义	定性：值不等于 0 为合数，值等于 0 为素数。	定量：表示自变量所含除1与自身外可整除它因数的个数，这个数值为 0 则为素数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）	从 0 变为一个大于 0 # L8 i( `5 G! [# o/ I小于或等于 1 的数。	从 0 变为一个大于或等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 3 B# s5 v3 ^: {7 B" y（对自变量为素数到合数的变化时）最小变化	从 0 变为一个大于 0 数，当自变量 p 很大时，这个变化将会是非常小。	从 0 变为等于 1 的数。
方程左边函数值的变化特点 （对自变量为素数到合数的变化时）当p→∞时的最小变化	从 0 变为一个 大于 0 且→0 的数。	从 0 变为等于 1 的数。