[原创]实力论文 jpb2：推证哥德巴赫猜想

god

程平 先生：

你好！

! f8 }0 B+ w' I- q5 l! L; t/ V3 m& F8 e8 V

现在对《推证哥德巴赫猜想》一文进行补充，希予改正。

4 C* f% V# M# L% H1 M) k

推证哥德巴赫猜想

) r0 h2 F* H* X R " O9 X4 t# w) d2 ^( j- g

通俗易懂，清澈透底。

7 T) b) ^# N- \2 T, j

名词：对称奇素数。

" _$ y& p2 b9 x" v% g R

内容：提出和推证等价哥德巴赫猜想，推证哥德巴赫猜想。

1 -------- 对称奇素数：

2 E/ I# F; B |, _7 I7 C( C

设不大于偶数 N 的奇素数是 si，合数是 Fi，则：

. y* @* N1 w& Q9 T. g5 b

N-si 称为 si 的对称数。

N-Fi 称为 Fi 的对称数。

若N-si是奇素数，则称为 si 的对称奇素数。

" ~7 `1 `" f* [3 A( O2 A

若N-Fi是奇素数，则称为 Fi 的对称奇素数。

! j" P; r$ q0 {; u

例如：

* [" A1 c3 p: b3 F4 E

偶数 N = 6，不大于 6 的：

奇素数 si 是 3，5，有2个。

对称数 N-si 是 6-3=3，6-5=1，有2个。

0 Q9 q/ i1 ]6 h% d. \1 w' C' ]

对称奇素数是 3，也就是说，在2个N-si里面，对称奇素数有1个。

: H, u9 g' C4 A9 a+ y- _9 k! P 8 y$ {1 ^" E" O; _0 X% L6 q

合数 Fi 是 4，6，有2个。

对称数 N-Fi是 6-4=2，6-6=0，有2个。

只有对称素数 2，也就是说，在2个N-Fi里面，没有对称奇素数。

N = 16，小于 16 的：

奇素数是 3，5，7，11，13，有5个。

对称奇素数是 13，11，5，3。在5个N-si里面，对称奇素数有4个

合数是 4，6，8，9，……，15，16，有9个。

对称奇素数是 7。在9个N-Fi里面，对称奇素数有1个。

2 -------- 等价哥德巴赫猜想：

设不大于 N 的合数有 F 个, N-Fi也有F个，得：

N > F -------- (1)

0 l- c4 H+ _! |

设不大于 N 的奇素数有π(N) 个，在 F 个N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个,由 (1) 得：

, c5 i% E- n2 _1 |

π(N) > π(F) -------- (2)

这就是等价哥德巴赫猜想。

这里需要注意：π(N) 既能认为是“不大于 N 的奇素数个数”，也能认为是 “N 个正整数的对称奇素数个数”，但是 π(F) 不能认为是“不大于 F 的奇素数个数”，只能认为是“F 个合数的对称奇素数个数”。

例如：

8 ^' I2 r) K) o* ~2 S5 I6 }

N = 16，π(N)=5，π(F)=1，得 5 > 1。

1 A. R2 l7 a" p( }" V' _

对于任何有穷偶数，(2) 都成立。

* @" _+ g) B7 r! C4 |1 |

3 -------- 推证等价哥德巴赫猜想成立：

证等价哥德巴赫猜想有穷成立：

根据初等数论：

: v' E) b8 z6 C4 C% K' |( t

设在 N-si 里面，对称奇素数有π(s)个, 在N-Fi里面，对称奇素数有π(F) 个，则：

π(N) = π(s) + π(F) -------- (3)

对于任何有穷偶数，(3) 都成立。

8 n! V8 g+ T% u" w0 w; f

例如：

N = 16，π(N) = 5，π(s) = 4，π(F) = 1，得 5 = 4 + 1。

5 e: N* o* a4 c$ B) d9 ]5 o6 w

设1不是素数，计算时不计入1与 N-1。

根据 (3) 很容易判断，对于任何有穷偶数，(2)都成立。

也就是说，等价哥德巴赫猜想有穷成立。

C4 o1 l+ s/ v

证大偶数等价哥德巴赫猜想成立：

把F → N 的偶数称为大偶数。

( P' g3 _/ K1 q

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，则π(N)/N 称为奇素数的出现比例。

设 F 个合数的对称奇素数有π(F)个，则π(F)/F 称为对称奇素数出现比例。

2 q6 i+ B& C0 @% S7 [

根据数论知道：

3 |9 x6 H. _* D, d6 t

若N → ∞，则F → N，得：

lim { F → N } （π(N)/N）/（π(F)/F ）= 1，变换得：

lim { F → N } F π(N) / N π(F) = 1，由（1）得：

" c1 E1 \1 \1 Y7 }

N π(N) / N π(F) > 1，变换得：

! R& Z p+ F/ ] p% H, C4 U

π(N) / π(F) > 1,

e, Y d. x5 o. r, r

由此得：

{ F → N } π(N) > π(F) -------- (4)

b5 G Z U0 d! T0 w

由 (4) 确认大偶数 (2) 成立，也就是大偶数等价哥德巴赫猜想成立。

8 N2 z; g0 i6 W: v# Q: l+ V( U

由以上确认等价哥德巴赫猜想成立。

7 y! |. x+ X5 C6 h7 ~# d" H1 u ( T6 Y) F; m. x

4 -------- 推证哥德巴赫猜想成立：

) I* k0 }; I/ F* {2 [( u

由 (2)，(3) 得π(s) = π(N)-π(F) > 0，由于 π(N) 与 π(F) 都是正整数，所以π(N)-π(F) 也是正整数，最小的正整数是1，由此：

! p7 C1 l5 _' L; Q& ]) A

π(s) ≥ 1。

5 r: E. z! V* J+ T- B) N: ~# C; _

这就是说，在奇素数 si 的对称数 N-si 里面，总有一组是对称奇素数，所以任何偶数都能表示为 2 个奇素数的和：

N = si + N-si，

哥德巴赫猜想成立。

. _9 U3 h, b- c$ w$ C

参考资料 1 -------- 比较：

0 O7 U- ?7 ?; z* [5 |" Q- ]( M0 x

N--------1/lnN-----------π(F)/F---- 1/lnF

10^3---- 0.145-----------0.135------ 0.149

$ k* o7 c4 [0 ?. M

10^4---- 0.109-----------0.111------ 0.110

: M2 h8 K1 E. s* e+ u$ V+ j. |

10^5---- 0.087-----------0.088------ 0.088

* }# ~! ?' J$ E8 O6 P0 |2 @

10^6---- 0.072-----------0.073------ 0.073

10^7---- 0.062-----------0.062------ 0.062

10^8---- 0.054-----------0.055------ 0.055

) T3 V. G2 X/ \% d

10^9---- 0.051-----------0.048------ 0.048

Y5 q4 `' r1 ~" g: S

10^16----0.027-----------0.027------ 0.027

5 `" w9 `/ d& U2 H( K% C9 d

10^21----0.021-----------0.021------ 0.021

Q! W4 q" K! M5 u- n v; Q

对称奇素数的实际出现比例 π(F)/F 逐渐趋于计算值 1/lnF。

对称奇素数的计算值 1/lnF 逐渐趋于奇素数的计算值 1/lnN。

理论符合实际。

9 A, M; q9 l1 v - g$ s9 W% d9 h+ X, s9 B

参考资料 2 -------- 大偶数哥德巴赫猜想的计算：

设不大于 N 的奇素数有π(N)个，合数有 F 个，则：

( H8 ^+ ^0 d" x* }

N =π(N) + F + 2，得：

π(N) < N - F -------- (1)

4 a- X: U" q- C o

根据 (1) 由数论知道：

π(N)→(N/lnN) -------- (2)

9 j; [2 ~' U- c* Q1 `" P% {6 {

同理，设不大于 N 的 F 个合数的对称奇素数有π(F) 个，得：

1 s3 e& {8 Z/ t$ \" {

π(F)→(F/lnF) -------- (3)

设奇素数的对称奇素数有π(s)个，由等价哥德巴赫猜想 (3) 知道：

( h9 B9 a; J$ b/ p' ^) K

π(s) = π(N)-π(F)，再由 (2)，(3) 得：

π(s)→N/lnN - F/lnF -------- (4)

* ]5 i+ [; |9 c; G

由 (4) 得:

, z+ s* r$ G9 X. g) _( v! E+ D; t

π(s)→N/lnN - F/lnN = (N - F)/lnN -------- (5)

+ m% ?! I# e- J w- u

根据 (1)，(5) 得：

" g& J# ]; K0 y+ d6 I2 S3 d: y

π(s) > π(N)/lnN -------- (6)

由 (2)，(6) 得：

& ?& t2 j% y$ l B! R% k4 A. {, V6 @7 d

π(s) >（N/(lnN)）/(lnN) -------- (7)

) m" s. E4 [0 R& M

变换 (7) 得：

* y" l% ? b& p! v' O& S& P# K

π(s) > N/(lnN)(lnN) -------- (8)

计算式 (8) 表示大偶数等于两个奇素数的和的排列数。

+ O% ~7 ^) J( r7 ?* `; {

哥德巴赫猜想方程

基本名词：哥德巴赫猜想方程。

主要内容：确认哥德巴赫猜想。

1 -------- 差值方程与均值方程：

设不大于偶数N的奇素数个数为s个，奇合数个数为f个，N表示为2个奇素数的和的个数为x，表示为2个奇合数的和的个数为y，表示为1个奇素数与1个奇合数的和的个数为a，表示为1个奇合数与1个奇素数的和的个数也为a，则有方程：

1 c! D" L$ q# [# D) p+ d

s=x+a，

: E7 @# x9 E/ ~

f=y+a。

若设1不是素数，则不计入1和N-1。方程s=x+a与f=y+a之差，称为差值方程：

( U$ Q1 O1 I+ X8 e

x-y=s-f -------- (1)

根据 (1) 得均值方程为：

+ o4 X9 ]) v+ e& I3 d6 `* P

x=ss/(s+f) -------- (2)

" N' P" t' M% r( W% D

y=ff/(s+f) -------- (3)

把方程(2)，(3)代入方程(1) 得ss/(s+f)-ff/(s+f)=s-f，变换得：

ss-ff=ss-ff，由此确认均值方程 (2)，(3) 成立。

2 -------- 偶数表示为2个奇素数的和：

* r; R' P; y6 Q) t1 M

这里讨论 s < f 的偶数。方程(2)与(3)之比为ssy/ffx=1。

设一般为：

k=ssy/ffx -------- (4)

变换方程(4)得y=kffx/ss，代入方程(1) 得x - kffx/ss =s-f，变换得：

x=(f-s)/(kff/ss -1) -------- (5)

把方程(2)，(3)代入方程(4) 得k=ss*ff/(s+f) / ff*ss/(s+f)=1。

8 F+ h% m& d+ o4 p

设k最大为ka，以1为对称，若k最小为kb，则：

(ka + kb)/2=1。由方程(5)知道，若k最小，则x最大。

由方程(1)得x与y的最大值是x=s，y=f，代入方程(4)得:

kb=ss*f/ff*s=s/f。

把kb=s/f代入(ka + kb)/2=1，得(ka + s/f)/2=1，变换得：

ka =2–s/f。

$ J* L: Z+ L% D4 {

例如：

N--------s--------f--------x--------y--------k ------ka------kb

7 _( D3 @5 J0 u2 P1 h* |" v

21000----2358----8140------1092 ----6874----0.53 ----1.71----0.28

21002----2359----8140------340------6121----1.51 ----1.71----0.28

* J: ^+ `- }/ b8 Q. v0 S/ k" ^

21004----2359----8141------380------6162----1.36 ----1.71----0.28

21006----2359----8142------686------6469----0.79 ----1.71----0.28

, [2 Z8 H$ O" p9 a& N9 ]" n

由k的最大值ka=2–s/f，得k < 2。

8 r1 c1 U- ^; b# P

由方程(5)，若k < 2，则：

x > (f-s)/(2ff/ss -1) -------- (6)

) Z- @. F% [( b5 v

由(6) 得：

; _/ a9 P+ J H. S* @

x→(f-s)/(2ff/ss -2)

& ]' q0 l2 l# Q" c, _

=ss/2(f+s)，由2(f+s) + 2 = N，得2(f+s) < N，由此得：

# C- x* f; [# Z; |) ~* i

x > ss/N -------- （7）

由不大于N的素数个数π(N)=s≈N/lnN，代入(7) 得：

3 q3 L$ I* i' J" U

x≈N/(lnN)(lnN) -------- (8)

由 (8) 确认哥德巴赫猜想正确。

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不要白费心机了![em16][em16][em16]