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Abc猜想
8 j$ H6 s! [, J; U4 Cabc猜想最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。它说明对于任何e>0,存在常数Ce>0,并对于任何三个满足a + b = c及a,b互质的正整数a,b,c,有:
& W& \& m& c" g: }5 Ec < Ce rad(abc)1+e 7 }$ O) v8 L6 w* ^
5 X; w W: Q6 g' X
在此rad(n)表示n的质因子的积。
: ]) {+ F. t% Q( W/ g& ~ m$ X" a
截止2005年,此猜想仍未证明。1996年,爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想,将rad(abc)用e-wrad(n)取代,在此ω是a,b,c的不同质因子的数目。 % l$ o: `( }7 |' Y, L' k1 \- h. M/ a4 d
& O. s- ~, E! X: p0 d
克拉梅尔猜想
& q: p/ f5 G8 _1 A) J5 X/ s. H这猜想是说:
2 B$ Y- v; Z8 Z/ U( x这里pn代表第n个素数。这猜想到现在仍未证出。 ' X" O( Z( p% @2 i0 U& i4 z4 g' G
克拉梅尔也提出另一个关于素数的猜想,指出 $ o! @. ~; P, S: \# V+ t

/ e6 o- g$ G( Y) U% G他用至今仍未证出的黎曼猜想来证明上式。 . U) k% A( r. v( F
/ O4 x: ?9 c2 T; U8 h哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)
4 Z$ a0 Z' c2 y; L世界近代三大数学难题之一。是数论乃至整个数学领域中最古老的未解之谜。
( \% Y0 W4 a7 P& l- G+ Q
: s0 R" I1 k2 M2 i$ f; L7 P/ p: i公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,提出了以下的猜想:
: K* R; }1 {2 \- R6 L8 ^
! i& t$ j( a( Y任何一个不小于6的偶数,都可以表示成两个奇素数之和。(A) , b% l4 ^& J5 Y! [
任何一个不小于9的奇数,都可以表示成三个奇素数之和。(B) ) O$ M! R" B* [. a
其中,猜想A被称为关于偶数的歌德巴赫猜想,猜想B被称为奇数的歌德巴赫猜想。通过初等的代数变换,可以知道A是B的充分条件,即若A正确即可推出B正确。
! k" q5 m) J( x3 a" P. i# Z1 `" c
关于该猜想最初的突破来自俄国的维诺格啦多夫,他用圆法和指数和估计无条件地证明了猜想B是正确的。他证明了每一个充分大的奇数都可以表示成三个奇素数的和。这里,充分大的下限可表示为大约10的400次方。于是关于猜想B的证明便归结为验证小于该数的每一个奇数。 : @# j: M Y0 |9 Q& N
' Z2 f9 a6 G9 {9 g1 B. x1966年,陈景润证明了“1 + 2”,也就是:“任何一个足够大的偶数,都可以表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”。 `9 [6 y( e, G3 Q B2 _6 Y* V
9 ?+ A; H4 E% J
中国数学家敢峰曾发表论文证实了“1+1”命题,但这个证明仍然未得到确认。 ' w5 R( x. l+ a+ C* T6 T$ g
孪生素数猜想 5 N7 V5 ~- U# h( f
1849年,波林那克提出孪生素数猜想,即猜测存在无穷多对孪生素数(相差2的一对素数)。
3 U# _" O4 _' t d3 V2 d) s! N# Y4 m0 I# s
新梅森猜想 4 w/ _0 S7 F: K( i N" w& K
在数论上,新梅森猜想是有关质数的猜想,它说明:对于任何奇自然数p,若以下其中两句敍述成立,剩下的一句就会成立:
( ]8 |% `" ?) v c3 g$ C. _$ x: c% G9 L! n( R
或  - A9 h/ O4 K% x+ e; V% ]7 D% u
2p - 1是质数(梅森质数) 3 r* X* l3 W6 k3 S6 }$ H, z1 @: ^% b
(2p + 1) / 3是质数(瓦格斯塔夫质数)
, x3 e+ P3 a, H5 N9 c
7 S6 R' R* i+ S9 a/ w. @% G% F; f2 b. j V2 `
考拉兹猜想
8 F" ], E# E. V- w1 Y T考拉兹猜想,又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1,如果它是偶数,则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1。 - g' ^7 O9 y6 ]& g4 h1 @4 j- ]
* N- i; X# d Q! X+ x; K# W
 0 F& E# f5 \* j, R1 y- F
例如取一个数字 n = 6,根据上述数式,得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1 。考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤后,最终都会得到 1 。 |