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[原创]趣话数学猜想

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发表于 2005-6-2 01:34 |只看该作者 |倒序浏览
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Abc猜想

! F- F+ o2 l' M8 y. a

abc猜想最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。它说明对于任何e>0,存在常数Ce>0,并对于任何三个满足a + b = c及a,b互质的正整数a,b,c,有:

d: `: z2 {) W/ C4 z! m

c < Ce rad(abc)1+e

! A& `9 W, N5 v- Z 8 Z( L9 T- s5 w9 k

在此rad(n)表示n的质因子的积。

$ [) _+ W! R- h4 D% W* S7 m( b ; }! F7 g9 c' ?7 j# P

截止2005年,此猜想仍未证明。1996年,爱伦·贝克提出一个较为精确的猜想,将rad(abc)用e-wrad(n)取代,在此ω是a,b,c的不同质因子的数目。

" p5 B5 n9 [& S/ P8 w" _! d! L

* S5 J2 I5 }' J& @5 L) ]

克拉梅尔猜想

& o) `9 O2 Z$ I# \$ U5 f! F

这猜想是说:

: P# S! T/ W7 A

这里pn代表第n个素数。这猜想到现在仍未证出。

/ c7 @3 j5 u) o y4 z x1 B9 J) U

克拉梅尔也提出另一个关于素数的猜想,指出

4 V/ }& D& J8 L1 p0 ]. H

3 v( F: R5 a c# i6 q7 m7 r

他用至今仍未证出的黎曼猜想来证明上式。

6 K' c0 X; G# Q5 I' b7 i+ K# C& }1 ~7 M3 _: C7 q! J

哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)

, P7 F& y/ t( t3 x2 S. V

世界近代三大数学难题之一。是数论乃至整个数学领域中最古老的未解之谜。

) `* T2 f& r& \/ Q6 ~5 q ' M. N" G, p R, P N7 ?

公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,提出了以下的猜想:

. {2 R1 J9 u! q0 F, c/ H 0 E8 {) ~. P. J$ g3 |. r

任何一个不小于6的偶数,都可以表示成两个奇素数之和。(A)

7 ?- Y T$ V5 z5 ^- ~( q& s' M

任何一个不小于9的奇数,都可以表示成三个奇素数之和。(B)

2 F8 ]$ B- S' }# E, \7 r

其中,猜想A被称为关于偶数的歌德巴赫猜想,猜想B被称为奇数的歌德巴赫猜想。通过初等的代数变换,可以知道A是B的充分条件,即若A正确即可推出B正确。

) s+ N" K& \2 i; A# m+ N9 V( ~& @) ^' p9 W& s: g3 e$ ^$ {& ]

关于该猜想最初的突破来自俄国的维诺格啦多夫,他用圆法和指数和估计无条件地证明了猜想B是正确的。他证明了每一个充分大的奇数都可以表示成三个奇素数的和。这里,充分大的下限可表示为大约10的400次方。于是关于猜想B的证明便归结为验证小于该数的每一个奇数。

: s* R5 C7 } U, h! l, |5 @- F2 Z1 C/ P0 W r- w& Z$ c/ d7 J

1966年,陈景润证明了“1 + 2”,也就是:“任何一个足够大的偶数,都可以表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和”。

, D3 ? O) P. w. ?2 ~ " r" H9 T. b+ G* B/ @

中国数学家敢峰曾发表论文证实了“1+1”命题,但这个证明仍然未得到确认。

# B" e) T S Q8 {/ t3 V6 C1 D

孪生素数猜想

; a' R( i" M7 i

1849年,波林那克提出孪生素数猜想,即猜测存在无穷多对孪生素数(相差2的一对素数)。

3 o3 F0 v& y! l2 `8 d( }" A, K$ N+ h8 k- Z3 k

新梅森猜想

; t0 U" v( \; R( D

在数论上,新梅森猜想是有关质数的猜想,它说明:对于任何奇自然数p,若以下其中两句敍述成立,剩下的一句就会成立:

8 l j/ f6 F1 D: f$ K - c5 l9 v+ c3 Z+ e

7 v3 E: a4 n' J4 l5 C

2p - 1是质数(梅森质数)

. L( C: z! i3 z7 z' }. m, m# @

(2p + 1) / 3是质数(瓦格斯塔夫质数)

- P/ k; c( w- z V7 Q$ I 0 S+ E. `5 t( F) z & L, @/ b/ i6 [4 X' B1 k% J

考拉兹猜想

* h" ^( f, ^( S1 O8 i5 P; B$ c+ h

考拉兹猜想,又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想,是指对于每一个正整数,如果它是奇数,则对它乘3再加1,如果它是偶数,则对它除以2,如此循环,最终都能够得到1。

) v2 H* K$ H( M9 ^0 P5 ` . h4 [3 ` p! C; ~( l

: f; [- N2 v+ w. a8 j

例如取一个数字 n = 6,根据上述数式,得出 6→3→10→5→16→8→4→2→1 。考拉兹猜想称,任何正整数,经过上述计算步骤后,最终都会得到 1 。

zan
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