简单的说,平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理,交通红绿灯的设置与路宽的关系,收费站的卡口数与车流量的关系等...
5 C5 ?9 O9 r1 l( O 建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系,所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。/ Y2 q: C' X7 z! t9 q. [
通过几道例题来说明一下:- o( B: v& {. J; G. X+ s
1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
9 V/ z5 O/ B& n& K" f第一:找平衡关系。题目只说了出生与死亡,给了我们一对平衡因素(人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关,出
7 Y3 T# G1 i. T% F$ V) x e+ ] 于简便,只考虑出生率与死亡率)。, Z5 \2 [! ?# N0 W5 C: ?4 H9 L
第二:找平衡变量,与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
! A! B- O1 Q; ?$ t第三:约束条件,建立方程
/ f* f. {* C2 n$ \6 L. ^- E7 x 1. 人群个体同质。 2. 群体规模大。 3. 群体封闭,只考虑生育和死亡对人口的 影响。 4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。(生育率和死亡率) 5. 群体增长恒定。 6. 个体增长独立。
/ }8 m2 G# ^& r7 o3 A ~ 人口数在区间[t,t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t,t+△t ]内生育数和死亡数, 则有:1 C$ L" _5 b m; A: B% N1 s2 e6 S! v1 i
8 d" E' p" W+ ? 则出生率: * h% ?3 S3 {: o8 U
- c$ i" V% U" _6 Q2 P; y; g( c3 e
死亡率:
; D0 \# E9 E- k. h; s h( Z- }! h- ~: p& ]' ?- O* n( a4 i
自然增长率 : ; M6 g8 W6 u! ^- o% F: ^
# f6 c7 w" h- V# D
又因为初始条件:
k. ? f7 M4 N" E; F
/ v9 L% `0 ]3 b' w; e& ~$ _ 继续推演可得:
; z5 x3 l: A6 c6 p2 v5 x0 u7 `6 l7 ^; Y/ g0 }
' y% x( E- V: @+ o2 S: q
给定初值 N(0)=N0,可得人口增长的指数模型(Maithus 模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长,即人口数量达到阈值时候会减速增长,模型变为 logistic 模型(s曲线)。
: B. w, o' G2 q+ P U 以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些(只是本人感觉)。
/ W9 r! @( X' @# H+ ?" I, y1 | 附本次例题来源的word文件供大家阅读,更深入理解平衡原理。
9 {3 _7 e# y3 E0 R' P7 d1 c
1 M/ e. P! o; `" _5 r# V ! Z; Q! Q& y1 `: Y
6 Z7 v/ _0 A2 b% V, |1 \, Y
) D0 M# m# T3 ^5 s3 H |