新手进阶建模（6）平衡原理和机理分析应用

2336426014

       简单的说，平衡原理就是原来的平衡的因为一边发生了变化使平衡破坏 然后反应朝着能够削弱这次变化的方向发展。现实中绝大多数问题都满足平衡原理，交通红绿灯的设置与路宽的关系，收费站的卡口数与车流量的关系等...
& m! o2 J' b, K. @) H       建模中我们拿到的题目并不会直接说明其中哪些因素满足平衡关系，所以这需要我们首先要查阅资料找到该问题中隐含的平衡关系因素。然后建立微分方程求解。
; G% c! W: B" y3 B2 ]0 s3 _通过几道例题来说明一下：
1.建模描述一个地区内人口的自然增殖的过程。即考虑由于人口的生育和死亡所引起的人群数量变化的过程。
. w" U6 V0 _' W9 T第一：找平衡关系。题目只说了出生与死亡，给了我们一对平衡因素（人口的增长还与该地区的人口迁入迁出、资源分配有关，出
2 I; y7 M5 O9 P  u( f" i' }. f2 ?         于简便，只考虑出生率与死亡率）。
4 ^' H/ d  d7 O2 Y2 u第二：找平衡变量，与出生死亡有关的我们可以联想到出生率、死亡率。
第三：约束条件，建立方程         
         1. 人群个体同质。

         2. 群体规模大。

         3.  群体封闭，只考虑生育和死亡对人口的   影响。

         4. 从大群体的平均效应考虑生育和死亡对人口的影响。（生育率和死亡率）

         5. 群体增长恒定。

         6. 个体增长独立。
0 `# S) z7 S' `  X  ?

        人口数在区间[t，t+△t ]内的改变量N等于这段时间内出生的个体数与死亡的个体数之差。 令B(t, △t, N), D(t, △t , N) 分别表示在时间区间[t，t+△t ]内生育数和死亡数,   则有：

         则出生率：
3 Z' I6 p$ V2 ~8 J! _

' Y4 n, C# Z5 @: p9 }; x# G. q

         死亡率：
) @& |+ T; G+ F& t! n

         自然增长率 :

$ j& L5 [6 r1 Q4 Y% n0 C

         又因为初始条件：

0 a+ q: N% y, T5 ]

         继续推演可得：

. h# O; P3 l+ v2 Q5 Z& P

给定初值 N(0)=N0，可得人口增长的指数模型(Maithus  模型)。但是实际情况下资源必定会限制人口的增长，即人口数量达到阈值时候会减速增长，模型变为 logistic 模型（s曲线）。
        以上例题仅仅作为说明平衡原理的理解例题。实际应运中平衡关系从物理角度、经济学角度好找一些（只是本人感觉）。
- S7 w% Q6 G! p: M2 o        附本次例题来源的word文件供大家阅读，更深入理解平衡原理。
  u5 w, l, x( b6 }% e' I+ {+ e  h& u

1 W6 R4 c- L+ J5 }

; V3 A9 p4 B) t6 C' i0 j

3963095

怎么找不到4了？？？