2018大学生数学建模竞赛国赛赛题

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A题   高温作业专用服装设计

在高温环境下工作时，人们需要穿着专用服装以避免灼伤。专用服装通常由三层织物材料构成，记为I、II、III层，其中I层与外界环境接触，III层与皮肤之间还存在空隙，将此空隙记为IV层。

为设计专用服装，将体内温度控制在37oC的假人放置在实验室的高温环境中，测量假人皮肤外侧的温度。为了降低研发成本、缩短研发周期，请你们利用数学模型来确定假人皮肤外侧的温度变化情况，并解决以下问题：

(1) 专用服装材料的某些参数值由附件1给出，对环境温度为75oC、II层厚度为6 mm、IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟的情形开展实验，测量得到假人皮肤外侧的温度（见附件2）。建立数学模型，计算温度分布，并生成温度分布的Excel文件（文件名为problem1.xlsx）。

(2) 当环境温度为65oC、IV层的厚度为5.5 mm时，确定II层的最优厚度，确保工作60分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。

(3) 当环境温度为80file:///C:\Users\madio\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps4FB.tmp.png时，确定II层和IV层的最优厚度，确保工作30分钟时，假人皮肤外侧温度不超过47oC，且超过44oC的时间不超过5分钟。

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附件1. 专用服装材料的参数值

附件2. 假人皮肤外侧的测量温度

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, F& e( G% v# N8 `  [& `/ N5 x

问题B    智能RGV的动态调度策略

图1是一个智能加工系统的示意图，由8台计算机数控机床（Computer Number Controller，CNC）、1辆轨道式自动引导车（Rail Guide Vehicle，RGV）、1条RGV直线轨道、1条上料传送带、1条下料传送带等附属设备组成。RGV是一种无人驾驶、能在固定轨道上自由运行的智能车。它根据指令能自动控制移动方向和距离，并自带一个机械手臂、两只机械手爪和物料清洗槽，能够完成上下料及清洗物料等作业任务（参见附件1）。

file:///C:\Users\madio\AppData\Local\Temp\ksohtml\wps3C48.tmp.jpg

图1：智能加工系统示意图

针对下面的三种具体情况：

（1）一道工序的物料加工作业情况，每台CNC安装同样的刀具，物料可以在任一台CNC上加工完成；

（2）两道工序的物料加工作业情况，每个物料的第一和第二道工序分别由两台不同的CNC依次加工完成；

（3）CNC在加工过程中可能发生故障（据统计：故障的发生概率约为1%）的情况，每次故障排除（人工处理，未完成的物料报废）时间介于10~20分钟之间，故障排除后即刻加入作业序列。要求分别考虑一道工序和两道工序的物料加工作业情况。

请你们团队完成下列两项任务：

任务1：对一般问题进行研究，给出RGV动态调度模型和相应的求解算法；

任务2：利用表1中系统作业参数的3组数据分别检验模型的实用性和算法的有效性，给出RGV的调度策略和系统的作业效率，并将具体的结果分别填入附件2的EXCEL表中。

表1：智能加工系统作业参数的3组数据表                                时间单位：秒

系统作业参数	第1组	第2组	第3组
RGV移动1个单位所需时间	20	23	18
RGV移动2个单位所需时间	33	41	32
RGV移动3个单位所需时间	46	59	46
CNC加工完成一个一道工序的物料所需时间	560	580	545
CNC加工完成一个两道工序物料的第一道工序所需时间	400	280	455
CNC加工完成一个两道工序物料的第二道工序所需时间	378	500	182
RGV为CNC1#，3#，5#，7#一次上下料所需时间	28	30	27
RGV为CNC2#，4#，6#，8#一次上下料所需时间	31	35	32
RGV完成一个物料的清洗作业所需时间	25	30	25

注：每班次连续作业8小时。

附件1：智能加工系统的组成与作业流程

附件2：模型验证结果的EXCEL表（完整电子表作为附件放在支撑材料中提交）

$ Q  P& q! k$ I: z; Q7 A' r4 a# n

C题   大型百货商场会员画像描绘

在零售行业中，会员价值体现在持续不断地为零售运营商带来稳定的销售额和利润，同时也为零售运营商策略的制定提供数据支持。零售行业会采取各种不同方法来吸引更多的人成为会员，并且尽可能提高会员的忠诚度。当前电商的发展使商场会员不断流失，给零售运营商带来了严重损失。此时，运营商需要有针对性地实施营销策略来加强与会员的良好关系。比如，商家针对会员采取一系列的促销活动，以此来维系会员的忠诚度。有人认为对老会员的维系成本太高，事实上，发展新会员的资金投入远比采取一定措施来维系现有会员要高。完善会员画像描绘，加强对现有会员的精细化管理，定期向其推送产品和服务，与会员建立稳定的关系是实体零售行业得以更好发展的有效途径。

附件中的数据给出了某大型百货商场会员的相关信息：附件1是会员信息数据；附件2是近几年的销售流水表；附件3是会员消费明细表；附件4是商品信息表，一般来说，商品价格越高，盈利越高；附件5是数据字典。请建立数学模型解决以下问题：

(1) 分析该商场会员的消费特征，比较会员与非会员群体的差异，并说明会员群体给商场带来的价值。

(2) 针对会员的消费情况建立能够刻画每一位会员购买力的数学模型，以便能够对每个会员的价值进行识别。

(3) 作为零售行业的重要资源，会员具有生命周期(会员从入会到退出的整个过程),会员的状态（比如活跃和非活跃）也会发生变化。试在某个时间窗口，建立会员生命周期和状态划分的数学模型，使商场管理者能够更有效地对会员进行管理。

(4) 建立数学模型计算会员生命周期中非活跃会员的激活率，即从非活跃会员转化为活跃会员的可能性，并从实际销售数据出发，确定激活率和商场促销活动之间的关系模型。

(5) 连带消费是购物中心经营的核心，如果商家将策划某次促销活动，如何根据会员的喜好和商品的连带率来策划此次促销活动？

D题   汽车总装线的配置问题

一．问题背景

某汽车公司生产多种型号的汽车，每种型号由品牌、配置、动力、驱动、颜色5种属性确定。品牌分为A1和A2两种，配置分为B1、B2、B3、B4、B5和B6六种，动力分为汽油和柴油2种，驱动分为两驱和四驱2种，颜色分为黑、白、蓝、黄、红、银、棕、灰、金9种。

公司每天可装配各种型号的汽车460辆，其中白班、晚班（每班12小时）各230辆。每天生产各种型号车辆的具体数量根据市场需求和销售情况确定。附件给出了该企业2018年9月17日至9月23日一周的生产计划。

公司的装配流程如图1所示。待装配车辆按一定顺序排成一列，首先匀速通过总装线依次进行总装作业，随后按序分为C1、C2线进行喷涂作业。

file:///C:\Users\madio\AppData\Local\Temp\ksohtml\wpsBC66.tmp.jpg

图1 汽车总装线的装配流程图

二．装配要求

由于工艺流程的制约和质量控制的需要以及降低成本的考虑，总装和喷涂作业对经过生产线车辆型号有多种要求：

（1）每天白班和晚班都是按照先A1后A2的品牌顺序，装配当天两种品牌各一半数量的汽车。如9月17日需装配的A1和A2的汽车分别为364和96辆，则该日每班首先装配182辆A1汽车，随后装配48辆A2汽车。

（2）四驱汽车连续装配数量不得超过2辆，两批四驱汽车之间间隔的两驱汽车的数量至少是10辆；柴油汽车连续装配数量不得超过2辆，两批柴油汽车之间间隔的汽油汽车的数量至少10辆。若间隔数量无法满足要求，仍希望间隔数量越多越好。间隔数量在5-9辆仍是可以接受的，但代价很高。

（3）同一品牌下相同配置车辆尽量连续，减少不同配置车辆之间的切换次数。

（4）对于颜色有如下要求：

1）蓝、黄、红三种颜色汽车的喷涂只能在C1线上进行，金色汽车的喷涂只能在C2线上进行，其他颜色汽车的喷涂可以在C1和C2任意一条喷涂线上进行。

2）除黑、白两种颜色外，在同一条喷涂线上，同种颜色的汽车应尽量连续喷涂作业。

3）喷涂线上不同颜色汽车之间的切换次数尽可能少，特别地，黑色汽车与其它颜色的汽车之间的切换代价很高。

4）不同颜色汽车在总装线上排列时的具体要求如下：

（a）黑色汽车连续排列的数量在50-70辆之间，两批黑色汽车在总装线上需间隔至少20辆。

（b）白色汽车可以连续排列，也可以与颜色为蓝或棕的汽车间隔排列；

（c）颜色为黄或红的汽车必须与颜色为银、灰、棕、金中的一种颜色的汽车间隔排列；

（d）蓝色汽车必须与白色汽车间隔排列；

（e）金色汽车要求与颜色为黄或红的汽车间隔排列；若无法满足要求，也可以与颜色为灰、棕、银中的一种颜色的汽车间隔排列；

（f）颜色为灰或银的汽车可以连续排列，也可以与颜色为黄、红、金中的一种颜色的汽车间隔排列；

（g）棕色汽车可以连续排列，也可以与颜色为黄、红、金、白中的一种颜色的汽车间隔排列。

（h）关于其他颜色的搭配，遵循“没有允许即为禁止”的原则。

由于该公司的生产线24小时不间断作业，以上总装线和喷涂线的各项要求对相邻班次（包括当日晚班与次日白班）的车辆同样适用。

三．需要解决的问题

（1）根据问题的背景、装配要求以及附件中的数据，建立数学模型或者设计算法，使其能给出符合要求、且具有较低生产成本的装配顺序。

（2）根据（1）中的数学模型或算法，针对附件中的数据，给出你们的计算结果：

（a）将9月20日的装配顺序按照下表格式填写在表中，并将此表放在论文的附录中。

9月20日的装配顺序

装配顺序	品牌	配置	动力	驱动	颜色	喷涂线
1	u9 G. ]$ A  u; i7 t: Z		, J8 d. |( i( ?* `( Q		5 i  _/ {: v. z( d7 {
2		5 w, y( U' ~& T, h2 B  c			) n/ ?& U- Q( L1 a	% O8 W2 b' i9 K! E$ j$ y$ R
3	' D! z% R" R, U# P	0 L  F! A+ x4 H5 d; Q				6 s7 B% q0 R5 E! a8 V( W; n
…	3 A8 C: R5 }% }, G/ M2 `		6 L, G% s& J- ^4 ?4 c% `1 x1 s	8 M$ I, M$ U( q  q% O	; Q* `6 a! ?: ^4 d( l4 q1 x- @% V	0 H& H7 g1 g; e
…				5 O% J9 Z" t/ E# ~; c	5 X- m0 D6 u0 \9 Y- L# _/ N
460			+ ~) c; A/ u* Y8 P% g		6 b' S! H4 q( Q, i

（b）按照上表的格式给出9月17日至9月23日每天的装配顺序，文件以“schedule.xlsx”命名，作为论文的支撑材料与论文同时提交。

5 N1 \3 a$ q- y+ ^  W1 Q4 o* x4 S6 f
2 A  b! d4 o! r* c, x1 k

5 H$ X& T8 g! O! h/ b. {: B' ?: P9 h0 e2 K