数学建模竞赛必须要掌握的十个算法

佛自业障

9 X+ ?! `9 Z0 d4 L数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一，包括全国大学生数学建模竞赛（俗称“国赛”）和美国大学生数学建模竞赛（俗称“美赛”）。在这些比赛中取得好成绩，不仅有助于保研、有助于找工作，更重要的是形成科学的思维模式。下面列举了十大算法，在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。

01

蒙特卡罗算法

1946 年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。
  x' n( c) S% G% z0 Q8 r蒙特卡罗方法（Monte Carlo method），又称随机抽样或统计模拟方法，是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。
% K7 `$ U' e# Q0 _; }* d7 A6 @
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：

" ^8 Y3 j# O* j* i6 W- |当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。
1 G) h$ q( s4 g! G; V
9 H8 f- c0 I3 T& K举个栗子，直观了解蒙特卡洛方法：
5 r7 I- W( v0 N) g3 u
2 G$ c6 |9 y  l6 M, D  R* l4 K假设我们要计算一个不规则图形的面积，那么图形的不规则程度和分析性计算（比如：积分）的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢？假想你有一袋豆子，把豆子均匀地朝这个图形上撒，然后数这个图形之中有多少颗豆子，这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小，撒的越多的时候，结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。
# g/ K0 e: f- u) r

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

! c6 W- T" a: X$ k蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：

a、直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解；

b、采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律；
) o  {" T' M9 x! I0 H! j) d
7 I8 ^5 w& J5 [. Uc、不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法等等

3 ^  P% M5 U3 _6 y# J' w  H; c$ P

02

" j9 E0 V% r2 [# }

数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法

2 y* H1 ^3 `& _  E' ]我们通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用 Matlab 作为工具。
2 x9 d, M2 j% B2 D0 e+ R
, o& k1 N( N. K- y8 }/ m+ T5 u数据拟合在数学建模比赛中中有应用，与图形处理有关的问题很多与拟合有关系，一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题，生物组织切片的三维插值处理，94 年 A 题逢山开路，山体海拔高度的插值计算，还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法，观察数据的走向进行处理。

此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用，熟悉 MATLAB，这些方法都能游刃有余的用好。
9 W( d2 J, ?8 O6 E. r
6 K* ^! _) E4 b. U0 I5 y

03

2 Y# c+ S: t0 t8 B' V. B, V! ]: ~

线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题

数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关，可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。
3 @6 a5 J: h2 F7 ~0 U
遇到这类问题，求解就是关键了，比如 98 年 B 题，用很多不等式完全可以把问题刻画清楚，因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便，所以还需要熟悉这两个软件。
* F  E) L3 M3 ?! @- u) @  m) l& S

04

/ u# f9 M- Z) n4 O6 m

图论算法

. j% `' R( X1 B- t) n! M! v; H7 U! a
这类问题算法有很多，包括：Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford，最大流，二分匹配等问题。

关于此类图论算法，可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论，关于图算法的第22章-第26章。

3 E) B& ?- g( \

0 I* Z9 m+ j- i+ O# V5 i' x

05

& E) c' i, {5 t- Q' k3 G
9 ?+ o, _7 {3 g7 E6 W

动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法

$ M) ]4 V) p, g" E8 ?( H9 i在数学建模竞赛中，如：92 年 B 题用分枝定界法，97年 B 题是典型的动态规划问题，此外 98 年 B 题体现了分治算法。
, N* }$ H" ^$ J4 p" E
% s: v3 ~0 E: N, |

这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似，推荐看一下算法导论，与《计算机算法设计与分析》（电子工业出版社）等与计算机算法有关的书。
0 w+ }7 |, U# q0 C6 M9 S$ m" c

06

1 N- ]7 x( L1 |5 V5 H0 l+ \; A& j

最优化理论的三大经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法

% h: z) J  |# `$ \3 D7 F- S这十几年来最优化理论有了飞速发展，模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。

* T+ r0 C: C8 E/ A在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题的模拟退火算法，00 年 B 题的神经网络分类算法，01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。
% p7 _* Q. \1 g0 k8 y" \
还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系，当时是 86 年刚提出 BP 算法，89 年就考了，说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。

% n# D5 S) r8 z; V' V: z03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题，目前算法最佳的是遗传算法。



/ N% ~; Z: N: Q+ p# L0 p2 [& ?8 i/ N  s
2 Y6 B5 d9 l7 J2 y. ^
2 }& W7 l/ D, y' g! i

07

/ i' C6 D" n  F0 f2 L1 ~

网格算法和穷举法

网格算法和穷举法一样，只是网格法是连续问题的穷举。

9 q5 ^6 {0 ^. f+ B7 {比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题，那么对这些变量可取的空间进行采点，比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点，那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算，所以计算量很大。
9 P3 l8 h6 o* B2 _8 A
  W2 h9 m( w: [9 k( g- W' T* \在数学建模竞赛中：比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索，这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行，还有要用高级语言来做，最好不要用MATLAB 做网格，否则会算很久。

: g4 A" ~4 l7 P
6 A$ R3 T1 b5 d; x# ]9 t% _$ n
  H6 }3 g2 Z: t* ]穷举法大家都熟悉，自不用多说了。
. D7 e8 t! P0 Z

08

# O' }2 o; p* I  M. ^
0 w% a4 `9 D; F* u

一些连续离散化方法

大部分物理问题的编程解决，都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中，计算机只能处理离散的量，所以需要对连续量进行离散处理。
5 j% B' P$ s7 M$ x& U6 W3 x
这种方法应用很广，而且和上面的很多算法有关。事实上，网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。
$ E6 K' j0 _% p: x4 p7 }

09

( e! ?# W4 O* P9 A9 \5 r( Y7 F
! F! V* g; ]' d- W5 Y

数值分析算法

! x) P+ G, a2 a) J
数值分析（numericalanalysis），是数学的一个分支，主要研究连续数学（区别于离散数学）问题的算法。

# v8 v7 i) l! s6 b+ s  F4 ~如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。

# b% Q6 E9 `- g这类算法是针对高级语言而专门设的，如果你用的是 MATLAB、Mathematica，大可不必准备，因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。
" Z# A1 `" ^) Z$ o: k

10

# o! v9 c! f% v- V

图象处理算法

) o1 u; X' x  L9 E7 D
6 ^2 A2 I* @8 Z6 f0 K8 |4 v2 ~9 R在数学建模竞赛中：比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算，03 年 B 题要求更高，不但需要编程计算还要进行处理，而数模论文中也有很多图片需要展示，因此图象处理就是关键。做好这类问题，重要的是把 MATLAB 学好，特别是图象处理的部分。

, E  w, _, V$ `* J$ _

GsBush23

说的太好了。。
& B9 F% l0 s$ b" U& E( P1 c

pazq18

楼主的帖子怎么样？赶紧试试这里看样子是好东西啊的快速回复给楼主点评论吧
6 l: ~/ y1 y$ @0 c/ w