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群组: 2018年大象老师国赛优 群组: 高考备战 群组: 2018中小学数学建模冬 |
( o5 {3 o* i7 \2 n' p数学建模比赛是本科生和研究生阶段最重要的比赛之一,包括全国大学生数学建模竞赛(俗称“国赛”)和美国大学生数学建模竞赛(俗称“美赛”)。在这些比赛中取得好成绩,不仅有助于保研、有助于找工作,更重要的是形成科学的思维模式。下面列举了十大算法,在数学建模竞赛中有着无比广泛而重要的应用。
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蒙特卡罗算法
% c! ^) X5 e( ?5 Q, ]1946 年,美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家 JohnvonNeumann, Stan Ulam和 Nick Metropolis 共同发明了蒙特卡罗方法。2 C8 p- ]& ]& P/ ?; ^
蒙特卡罗方法(Monte Carlo method),又称随机抽样或统计模拟方法,是一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。此方法使用随机数(或更常见的伪随机数)来解决很多计算问题的方法。
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由于传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程,很难得到满意的结果,而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程,故解决问题与实际非常符合,可以得到很圆满的结果。
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% v3 u* k8 Z( r蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下:
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" J) J' a4 Z4 O当所求解问题是某种随机事件出现的概率,或者是某个随机变量的期望值时,通过某种“实验”的方法,以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率,或者得到这个随机变量的某些数字特征,并将其作为问题的解。1 |, C8 K3 B% m+ x( ?% q
) p# Q; K I. v- f; g q& k举个栗子,直观了解蒙特卡洛方法:1 x1 T- b8 e6 C) u" H
' }* _1 ]# D8 M6 q3 _
假设我们要计算一个不规则图形的面积,那么图形的不规则程度和分析性计算(比如:积分)的复杂程度是成正比的。蒙特卡洛方法是怎么计算的呢?假想你有一袋豆子,把豆子均匀地朝这个图形上撒,然后数这个图形之中有多少颗豆子,这个豆子的数目就是图形的面积。当你的豆子越小,撒的越多的时候,结果就越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上,相互之间没有重叠。3 Z7 l$ [) J) s9 i5 ^3 W. {
; ^. H, F- | v. ] S% ]! F$ ^+ e) S5 ^& d* R1 N4 Z* ?, ]) w
蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征,利用数学方法来加以模拟,即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础,按照这个模型所描绘的过程,通过模拟实验的结果,作为问题的近似解。
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蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别,一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难,而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下:. @+ Q m+ ]& X) ?
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a、直接追踪粒子,物理思路清晰,易于理解;
; z" f$ [- R9 w( h6 U
$ Q' G) Q+ ?, D1 L* Cb、采用随机抽样的方法,较真切的模拟粒子输运的过程,反映了统计涨落的规律;
' s" P7 t) h6 h/ W/ z- K" K
+ O6 E& a( O( `9 u$ E$ pc、不受系统多维、多因素等复杂性的限制,是解决复杂系统粒子输运问题的好方法等等% z2 D" q4 ~7 l8 V+ P- A7 J. @
) K- v% {& ~3 O2 C* Q; w* w' ? 02
" U! O( f) T' x$ j4 e/ j, f: @, l- L3 @4 e( \6 r$ D
数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
6 J" U, l7 q7 E* f8 R8 @/ c4 T6 h( L
我们通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,通常使用 Matlab 作为工具。0 c7 _5 Z" z) ^6 \ L+ p( }
! {# ^" i: D7 z7 ]" Q数据拟合在数学建模比赛中中有应用,与图形处理有关的问题很多与拟合有关系,一个例子就是 98 年数学建模美国赛 A 题,生物组织切片的三维插值处理,94 年 A 题逢山开路,山体海拔高度的插值计算,还有吵的沸沸扬扬可能会考的“非典”问题也要用到数据拟合算法,观察数据的走向进行处理。. B( D5 o' E, ^' k2 v; @
* J1 \ d6 T! f1 X/ l2 w0 f2 Y7 S6 B( Q. V0 z+ Q' q' W9 n
此类问题在 MATLAB 中有很多现成的函数可以调用,熟悉 MATLAB,这些方法都能游刃有余的用好。
4 _) h! ]; p5 ?0 |3 P4 \1 A$ z$ s" K Y
03
, A3 B" x7 ~; L. R1 |$ k. c6 {9 }4 ]+ s3 W7 j/ P% |- G
线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
) Z, W4 K* e4 z, e; ?
, n1 |# t3 M0 m0 S3 L数学建模竞赛中很多问题都和数学规划有关,可以说不少的模型都可以归结为一组不等式作为约束条件、几个函数表达式作为目标函数的问题。* i( @5 t3 v. s! i+ v2 M9 l
( S6 D% s9 ?( ?6 Y; J遇到这类问题,求解就是关键了,比如 98 年 B 题,用很多不等式完全可以把问题刻画清楚,因此列举出规划后用 Lindo、Lingo 等软件来进行解决比较方便,所以还需要熟悉这两个软件。
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) I9 {8 O1 U2 f5 B# l) F; P 04 3 \5 L( R7 V2 K0 m8 L: V5 D
* O3 ^4 E. \4 V7 \5 c. s( M) j: {# U图论算法
/ v& o" J; P8 \7 N" x; r1 X
4 ]* V' x3 t, h6 q这类问题算法有很多,包括:Dijkstra、Floyd、Prim、Bellman-Ford,最大流,二分匹配等问题。
( j6 }6 I- E0 P X
& _+ `5 y- b5 d1 x关于此类图论算法,可参考 IntroductiontoAlgorithms--算法导论,关于图算法的第22章-第26章。& s f8 j# d3 \0 i" B
& w! X4 y0 U F5 \6 m/ Z: `/ @* H; |; C, ]5 H, D& i
; v) C x; Y$ ~6 I" _
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8 b( u. v, G- [0 `0 n) W动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
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在数学建模竞赛中,如:92 年 B 题用分枝定界法,97年 B 题是典型的动态规划问题,此外 98 年 B 题体现了分治算法。7 H$ m! L* g: n7 P
% i: w8 k# J( h; C- z1 X
: U9 V3 ^1 z$ Q这方面问题和 ACM 程序设计竞赛中的问题类似,推荐看一下算法导论,与《计算机算法设计与分析》(电子工业出版社)等与计算机算法有关的书。4 W1 ]- t+ K- ?0 D
+ R) g8 _% O5 z) g* e" S* _
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0 P$ R3 W- C3 P最优化理论的三大经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法 ! C4 k$ ?6 P2 Q4 u- a; v" |
6 F7 m2 `& B7 \% X; w/ f+ U这十几年来最优化理论有了飞速发展,模拟退火法、神经网络、遗传算法这三类算法发展很快。
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在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题的模拟退火算法,00 年 B 题的神经网络分类算法,01 年 B 题这种难题也可以使用神经网络。* Y! `3 {2 A4 a2 o
* h6 \5 u# {' t# `4 V$ Z D还有美国竞赛 89 年 A 题也和 BP 算法有关系,当时是 86 年刚提出 BP 算法,89 年就考了,说明赛题可能是当今前沿科技的抽象体现。
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1 a: u1 s; A5 K; h. P: L! m" l03 年 B 题伽马刀问题也是目前研究的课题,目前算法最佳的是遗传算法。
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网格算法和穷举法 h3 h4 s @7 V. }* t1 S: F) g- X
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网格算法和穷举法一样,只是网格法是连续问题的穷举。
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比如要求在 N 个变量情况下的最优化问题,那么对这些变量可取的空间进行采点,比如在 [a;b] 区间内取 M+1 个点,那么这样循环就需要进行 (M+1)N 次运算,所以计算量很大。
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在数学建模竞赛中:比如 97 年 A 题、99 年 B 题都可以用网格法搜索,这种方法最好在运算速度较快的计算机中进行,还有要用高级语言来做,最好不要用MATLAB 做网格,否则会算很久。7 K" u9 V4 y8 ~
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# Z& H' b8 Y- L% U* F1 ^5 c2 S
; s b# p$ l2 j, ]! E穷举法大家都熟悉,自不用多说了。
# j, K% j* M o+ `7 a2 F. }3 }; j
" q. q4 [+ Z/ D' C' N: X 08 + t) \ b5 s1 \$ y+ o2 T
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一些连续离散化方法 + ^% j: L( p; M
) A3 P% s" j% l" n% Y大部分物理问题的编程解决,都和这种方法有一定的联系。物理问题是反映我们生活在一个连续的世界中,计算机只能处理离散的量,所以需要对连续量进行离散处理。( ^9 m$ G( x8 I4 m* Q
! O5 J4 k1 |- c% f6 n; F7 |$ J& ~# x这种方法应用很广,而且和上面的很多算法有关。事实上,网格算法、蒙特卡罗算法、模拟退火都用了这个思想。7 l( \* ~6 }' h( @1 f
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数值分析算法
; n; n: y8 D% N, I. C& \; W1 G& e8 P. h) g. H/ {) c5 i
数值分析(numericalanalysis),是数学的一个分支,主要研究连续数学(区别于离散数学)问题的算法。 |5 \) o6 j# ?2 y8 E) u
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如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。) T6 ^9 w% K2 R3 y. W/ Y
; ~, E2 a5 a0 D; v
这类算法是针对高级语言而专门设的,如果你用的是 MATLAB、Mathematica,大可不必准备,因为像数值分析中有很多函数一般的数学软件是具备的。+ u! N/ F2 i& z& D5 n# W
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5 q, Y7 `' Y* X图象处理算法
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" h' }) ]) z/ A在数学建模竞赛中:比如 01 年 A 题中需要你会读 BMP 图象、美国赛 98 年 A 题需要你知道三维插值计算,03 年 B 题要求更高,不但需要编程计算还要进行处理,而数模论文中也有很多图片需要展示,因此图象处理就是关键。做好这类问题,重要的是把 MATLAB 学好,特别是图象处理的部分。
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