" k. `) S W- c4 K1 p9 S4 j) x5 l 2次拟合与其类似。 3 {% Z( U. B! v/ j# L 3 l& P! |/ Q% u* R+ C/ l(2) 在M-file中输入拟合数据,画点图,采用Basic-fitting工具箱进行多项式拟合。(第二种先不考虑,主要练习第一种编程。) 5 \, R' P$ z7 t% Z 1 I( o% N+ W* t" E1 M" ?1 }( }; a4 Q4 O: o" s. M
; {2 k% A* {/ e2 N) [0 h" W3.2.2 非多项式数据拟合:0 t5 r" d0 J; o. U( ~5 x) i
/ n& s9 R/ m+ C4 N* o 有时需要对非多项式的数据进行拟合,Malthus、Logistic拟合是两种最典型的拟合。8 B. u \6 C5 q$ u0 U
1 r6 E5 j& X* M* M; P! f; ^(1) Malthus拟合 & x# g+ g( z* Y! T! H: P0 l ( h6 E! E; c) J! R! q需要年增长率r保持稳定;仍然使用最小二乘估计,但是注意需要将指数运算转化为线性运算。: q# R* I! p! J: e- K5 `+ S; l
# _5 C& T) f v; [+ f0 K8 V 例:人口估计 ) s1 }4 ^: j# f! ~( q9 i' M/ }1 X 8 I8 o' F7 P+ d @0 ~: N 代码: 2 \- h4 v! P6 a4 \" }# V- I) z9 I& X; e* o- U
Y = 1900:10:2000; ' k( ^% m" x' x- Y, o7 ] Q , x. J9 z# P& `& D% f) bPP = [76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 251.4 281.4];# F0 Q9 C {9 N. A3 L
: K4 u; Z" O) N2 h, F' q3 f Xy = log(PP); : W3 F, }' b! |6 A$ J 8 E/ _- O0 L; u* h: O9 t# k( Lx = y-1900;' Y: e/ m- U2 S5 _
7 w8 t, f# k7 T* Q, d
P = polyfit(x,y,1);% M( p; E7 B3 Q# _+ C' M
3 k, ]6 L' R' L7 ]' j" p: k
r = exp(P(1)) - 1. M |$ T( @% V- o& [2 `- ?. [7 u* E
! @4 f' j% e K0 Tx0 = exp(P(2))" D8 x- `" i6 {5 @1 I& m7 T4 R
/ ]& O# M/ M; N* V2 d$ Y$ W3 Zplot(x,y) 5 s( M, x) g; p0 b' h( L6 S! s9 p, f$ V7 `% [+ Y4 k
运行程序后得到的r便是增长率,x0便是从1900年的人口数量估计值。2 U+ { B2 F& L/ f
5 H% z- q; a8 T J; S(注意当预测值对于近年数据有较大误差时,不能采用!) ; H5 @; d7 z# O, Z4 @; @# M # y! u% ^5 `& m% Y+ [4 F·这里预测值的变量p需要重新写为求出参数的原函数。 : x8 Z' T5 q' N f7 o/ M" {9 Y + e, p) O3 }; P8 G( R2 f! W. a7 K) E(2) Logistic拟合 4 @% {7 O- f7 y0 X# d . ]! x% I. s9 ^0 e s在群体可能达到生存极限的情况下使用;开始群体的自然增长率为r,随着群体的增长,增长率下降,一旦群体总数达到K,群体停止增长,即增长率为0。4 J# Q) |0 J: n/ S% ` Q$ g+ F% D9 a5 R , Q* l2 R. {0 Q, d
3.3 除此之外,还有很多种其它非多项式的拟合
例如:
$ j( r' A1 n6 \* b - R# E* v, t. F& ?经由上述程序,可得拟合函数如下。(37页) $ c! R. m. T4 v) P5 ~+ {& K ' I' z+ b6 S2 O0 x% F T9 B( m 0 b, R0 k. {4 _, g" u4 n4 e# F7 J1 Z5 D2 y5 P! z6 k
3.4 还有区分不同阶段的拟合:(40页) 3 k! ? u0 x8 W5 v% V ( ^* b, w( R0 x1 P% ] Leslie矩阵模型 H Z: G {5 w8 h / z: Z( h; [, t# h$ e/ ]" V) ]2 u- _
7 G1 U# P5 o. G! }, e
3.5 灰色预测模型:(48页) 3 ?" \. u2 H& U1 @5 D) [ & x& W$ j0 E" m# {' h% l 当只有少量数据时,针对小数据进行预测的方法。 " g ~( W a& R, G& V" U( h# {9 x! A( G3 Z
/ ?4 o2 W9 d6 d" K6 W
, O% w/ P& z3 r. Z# j
第4章:评价类数学模型 6 g Q) b) }4 j: v, Q 5 Q d* c7 G6 y+ |# { 要求参赛者分析已有体系的特点,确定评价指标,形成评价体系,以便指导以后的工作。 0 T: g8 s. R" a6 O/ ]: J6 N 3 K; J7 n& E* l- G2 F2 i% j 另一种简易的说法就是对需要进行评价的各个方案或者各个体系打一个总分,并依据此总分对方案或者体系进行评价。本章主要介绍几种不同的评价方法:层次分析法、灰色体系评价法等。 . f5 a( A0 o) D- W- P 9 Y7 ^% I) W/ }, N c1 Q. i5 S 5 P3 \8 z& n* G9 C7 a3 b; v: `- i
4.1 层次分析法(57页) ) x5 z) T8 ^* d ' {+ F2 N7 s) b& K 较合理地解决了定性问题定量化的处理过程,主要特点是通过建立递阶层次结构,把人们的判断转化到若干因素两两之间重要度的比较上,从而把难以量化的定性判断转化为可操作的重要度比较上面。 / N& M, r5 l' r9 F* [ * e6 S7 y' q6 j& X6 P4.1.1 步骤:6 `- M" a7 K, Q; ^' w# G! k( z
: \3 q! F" d1 ?4 I6 S, t$ J; c3 E
(1)分析系统中各因素之间的关系,建立系统的递阶层次结构;3 P e g: p% w& f7 `( p5 L
9 r- A( p8 Y% b; }. @0 {0 O(2)对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较,构造两两比较矩阵; - ~* d5 f% ^$ o% Q0 ^ % r1 E' ?& s7 w1 q# f; I6 k(3)由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重,并进行一致性检验; / K$ p% Y% `* O, _/ F$ u# W7 G2 M! W. U: O O% i% y, k6 |% x
(4)计算各层元素对系统目标的合成权重,并进行排序。 % M) b$ g+ R: Z. L1 c; i5 }( O% h7 k+ c
. l" V3 |! F- O 5 t% q; Z" F3 x4.2 灰色关联分析体系2 t1 f; y& u, x/ s: q
, S1 K$ C3 p; t8 b2 o
' D6 u: s) E% x- ?5 g* i$ {: b" c2 M0 @3 m, B: ~
' \- P: \3 x+ u9 H+ P, f' _
0 ?6 I; Q0 r- D% J# K6 |" {) E ~
第5章:优化类数学模型(运筹学知识) ; W* b+ @0 M- X6 Q1 y) @2 ^1 W% S1 c3 N
本章依次介绍:线性规划模型、非线性规划模型、整数规划模型、目标规划模型、动态规划模型以及利用数学软件实现它们的方式。 $ w l4 h, P% x2 }8 O6 L, M; h n( M/ S# I, _4 z% @ X, g& T
Matlab可以进行求解,但是Lingo是用来准们解决各种优化问题的。 " Q4 v( ^5 {6 u) ~4 B6 H& k1 z" O
4 c8 c0 O1 k2 r n# F/ |' r2 ^! c# Y9 E
·笔者有运筹学知识基础,而且队员会用Lingo软件,由于准备时间按有限,这部分先省略。- t0 c" K8 H Y% v1 @% f; J! H- m
% q# I- t7 F( {
8 r. K/ m: D- `1 e
, `* x' }) e0 H, [4 w( u# L. ?
第6章:概率类数学模型 " K7 ]6 ^* C- v: N 8 V. c4 ^: ?( x% D- ]9 x) I2 O 建模比赛中或多或少会遇到一些随机性问题,此时需要利用概率统计知识去建立模型。, i3 f6 ~/ F+ `+ a3 f
) l0 m+ S4 Y# @7 e
本章主要介绍了几种不同的处理随机问题的方法:随即问题转化为确定性问题、可靠性分析法、时间序列法等。: |! P8 I g9 J2 k% V
5 h/ | F/ a f& R( J 不太会,,, 0 P i" w* _# Z2 O) c* u% t 0 y4 J; G1 J# Z- Q' u第7章:多元统计分析模型 , X& y9 t; l6 o* |% G Y$ [" t1 U; a7 z+ j2 y. a# C
使用SPSS软件:聚类分析、主因素分析、相关分析等。 , r7 `0 ]/ c; j$ |* F1 g; n 4 b6 \& w' ^) ?1 h$ R* `! \. Y7 {( Q( J7 q0 Q
- ]; |* c3 t5 B
第8章:方程类数学模型5 Y' ~, y9 G6 d4 {" P
9 Y* N3 J0 O! K' Q 在数学建模竞赛中,机理型问题大都是通过建立微分方程数学模型加以解决的。其中典型的微分方程模型有人口问题中的Malthus模型与Logistic模型,医疗问题中的简单传染病模型与一般传染病模型,种群问题中的种群竞争模型与战斗模型,下面来介绍以上模型的一般表述方式,并以例题加以说明: ; k7 z/ Z, W( K Z ! _: |. y o6 {. x0 S 7 n$ s# |' Z& ]8 y, A% x" t% m& l% R/ O4 f4 A2 B& J* l, S! }
+ k# |) z+ \ I. M8 E. d7 n5 F 7 t- d! u2 A' z第9章:图与网络模型: u* s) m' U/ x5 R9 g
6 {7 U E0 w* Q% x, |
这部分搞过ACM的,应该都或多或少有了解,对建模应该有一定帮助。- Y, F/ P% c$ ^, Z" I
b- S! V3 S. R I! Z+ s
例如:最短路径模型、网络流模型。3 g5 Q- l, p0 I! m/ ^+ ^% B) ^0 C
6 \8 Z: j5 Z* m0 m% D6 z+ S 但在建模的过程中,涉及的方面多很多:时间、费用、路线长度、是否涉及换乘等。7 X; v! F, i$ V! |( {: y7 z
/ n/ @/ N4 [9 k" r* ]1 k % ]& F; `1 i( f* o# U ( j g- @5 j4 K: c3 X第10章:如何准备全国大学生数学建模竞赛/ s" n% m9 d) o