数学建模学习笔记(第一章:建立数学模型)1 I" Y1 L( A4 g! w5 g2 p- R
9 n6 ~# v- h3 q" q) \3 A
- y, c+ |& m1 `% S第一章:建立数学模型, W6 j7 {' t1 d9 h* M: o' x
1. 常见模型:是为了一定目的,对客观事物的一部分进行简缩、抽象,提炼出来的原型的替代物。其集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
) H- z! ~( v: Q2 V实物模型:玩具、照片、飞机、火箭;8 B" `* j( s9 b' e8 F4 e
物理模型:水箱中的舰艇、风洞中的飞机; R. G6 {" C$ ^% X/ N: M9 R9 W
符号模型:地图、电路图、分子结构图。
- f3 z' o" I1 _- r( a# ]. @4 a
9 A2 z7 g* ^9 f0 d3 k! t8 l2 H2 k' U& n
2. 建立数学模型的基本步骤:以航海为例
* c+ Z _0 ] [( W0 `. @2 ea) 做出简化假设:船速、水速为常数;
8 ^: p5 x. {5 i+ fb) 模型构成:用符号表示有关量:x,y表示船速和水速;( h8 W* p! D5 W; X2 X
发挥想象力、使用类比法,机娘采用简单的数学工具。* k6 j! ~$ r% }: N4 M* @; G4 t" J
c) 用物理定律列出数学式子:二元一次方程;(可能伴随模型的参数估计)6 L9 S8 |" Z! U6 ^2 B; G1 U% {
有时模型有未知参数,这时需要使用各种数学方法、数学软件和计算机技术进行模型求解;
0 C! D I- m, V( P; j/ `3 p! |# E: ?0 `之后还要进行模型分析:如误差分析、模型对数据的稳定性分析等;8 f# i2 `- V* }5 G( P
模型检验:与实际现象、数据比较,检验模型的合理性。
{3 @- c. U2 h# `; dd) 求解得到数学解答;
4 V/ d: z8 x9 U+ X& h8 q) `e) 回答原问题:船速每小时20千米。0 v# o% T* V4 U( [* W/ H
9 U4 [5 U# Q1 S3 {# S% _
' \' F! Y j4 J- O( }! b
3. 数学模型与数学建模6 N- e$ ]5 x$ Q# L4 a' J
数学模型:对于一个现实对象,为了一个特定目的,根据其内在规律,作出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。
4 a( |, o1 E2 a( X# U* e数学建模:建立数学模型的全过程。(包括表述、求解、解释、检验等)
( V5 f. ~0 q, p0 Z4 D" Y
, X9 ^0 m6 J6 t& Y; A7 `/ B6 H& }) ?1 o4 O) w2 v o2 ?- k! d3 o* u
4. 数学建模的具体应用+ @" w5 s) m2 B, C1 K
a) 分析与设计:椅子在不平的地面上能放稳吗?
0 V/ f# q1 }0 H' m% n0 Rb) 预报与决策:如何预报人口的增长?使用现成模型、确定模型参数、模型检验、模型应用(即进行人口预报)。
+ x4 @. N7 V+ C/ Mc) 控制与优化
; @/ L* X! I/ D' [& l) t3 V0 Bd) 规划与管理:商人们怎样安全过河?) r, Y8 n7 Q9 o7 k7 X1 @" }
* O6 a$ r' Q7 K
, l/ E' v' N. B3 P5 f: J# W5. 数学建模的基本方法:* z" a% ]6 Z. T- D
机理分析:根据对客观事物特性的认识,找出反映内部机理的数量规律;
$ Q7 U3 Q0 h3 d8 s& d测试分析:将研究对象看做“黑箱”,通过对测量数据的统计分析,找出与数据拟合最好的模型。
: y( B) ?3 Y4 b- X/ k一般情况下,需要进行机理分析建模,并通过测试分析确定模型参数。/ N& V& L/ L5 u
: o _2 z' N, \' x4 F
/ o) O' _; Q7 h5 q" I5 M
* h" r, _/ D9 {$ C3 A1 ~; p3 T H( X' m4 W5 l3 Z
9 S" Q5 Q3 A3 j& r2 s0 U
|