数学建模学习笔记（7个建模实例讲解）

浅夏110

初等模型（初等数学方法建模）

( M1 I) }% m2 \( J  Y  f" |1.    席位分配：

/ i  P, B- c. R2 P* C3 Y7 r/ ea)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。
( u0 G% ]9 J: \+ J8 m
b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。

' ^! u0 G6 ^+ h9 A9 I  w6 B8 Y( S7 t
2.    双层玻璃窗的功效：
1 |- G+ L: z! D0 Z6 M5 S
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
7 i# h6 c2 F, w& A1 `, Q. H  ?- m' Y
b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）

2 u+ w, p! s  {8 \+ rd)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。

4 `8 }+ L8 o$ Q( M3 l5 Fe)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。
1 ^  r. F/ b7 `! K- o
' }) I  i( Q( Q5 m- s- \
( z; w( p$ n6 k, _3.    划艇比赛的成绩：

3 Y+ m. x. G) S: {3 ua)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
7 K4 O- o: D7 p- M2 H$ C: k" V- M
b)     属于统计，数学模型拟合类型；

$ b' [0 _0 C) O5 ~( P. fc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

$ m/ n* D) N  b  W$ e, C" `d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
& u: p  }/ o' X8 \
, x0 t! J5 H' p4 i, ~6 ie)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
, L% S5 C; Y1 ^, k' E: a3 G

4.    录像机计数器的用途：机理分析
& `1 X. _$ N3 l0 t0 N
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
& p& z% Q' U6 E1 X& n# x6 M
7 |1 B6 h7 {% O( B! b4 b* ?8 O: H问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
$ V, l/ e/ G% Z. K' s
. U0 P4 p5 N) Kb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
2 u5 g4 z1 e+ _: ^
! ?3 W, U# w+ u. `4 Xc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
& V2 J2 E& w" S& P. N8 w
d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
$ [* x; s% n( m4 U6 x4 n) E

8 s# q6 w2 w0 q4 C  X5.    实物交换：
# G; |1 t9 ^) [7 E! y
a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

7 ~$ w& O; ~" l+ Q' ~2 c& _' z6 v, T4 ?c)      根据不同假设，进行不同建模处理。


6.    传送带的效率：物理实际模型
9 |7 v  r/ s6 q3 u5 l
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

c)      模型建立，提出提高效率的途径。
$ V; A: m9 [+ q7 s% A6 @2 ?" W
$ }4 K* `' ?) w
! X/ V6 v5 N% s: A7.    起帆远航：
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a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
% I* I4 ^# `& ~( E) j0 j) F
b)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
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c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。


总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
% Z8 s  b; M: r! e) s7 X4 U* s
& e. ~7 K  Z/ ]$ l( y. h* q2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
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3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。
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5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。
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- Z  l: r1 b; x7 g8 g/ P6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！
2 ^; g6 x" T& P. y) |- _
* v  n6 t$ [1 `8 D2 K' Q: E7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。

以上列举了一些基本的模型建立的方式，当然实际比赛中的题目不会如此简单，但通过其还是能稍微体会建模的实际意义与内涵。
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