经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
0 j7 }' v& _* q- a* W; h
, y' }* ?" p2 x9 u2 k其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
- d/ K3 A7 v  A9 Q( y) [7 e
/ E! i" V, V  [# t3 Y
- P/ `- ]7 M: v6 z! N' z
从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
( G  I% s  X6 S7 m第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
) m8 b4 }; I" G即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

= f(newN) + f(n-1)

9 @0 r9 L% ]; h% ?; V  X$ W

在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
6 i- \& x5 k" d. j) k; |- t
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
" \% o  B: U! L" v8 r
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
0 g! ~" U1 W/ l8 H& s3 X
即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


# {; W& M4 O1 f4 ?7 M, O
% m, N* r6 H! x( K* q4 p所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
0 H) O" s$ }' {7 s/ V8 m
8 k8 b' J3 }8 {9 u  d* b2 Uf(n) = 1 (n=1,2)
0 @  h$ r$ s. X2 t; H
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
" J! Z& a# u7 t9 |
接着编程为递归函数即可解决问题。


( m& y$ Q5 ?# w0 A0 T0 m% l3 C