经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
) C9 `2 j3 N7 @9 a4 [解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
* R8 s. y& r6 k5 ^! }6 }+ W- ~
其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
3 b# `( e2 W5 V* q' s5 {9 v3 d
4 ^) R5 R$ p8 O' u/ @% f2 X7 V
7 V) I9 x$ K+ l  d* h4 u  }
8 \" R* c0 H9 u从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
) [7 ]  w4 W! m% S即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
8 V6 A1 p' w1 _5 A! u% n
= f(newN) + f(n-1)



在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
* C+ {9 L# E: A  @# z
5 x+ f% {) `0 E/ z4 v2 ]( p而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
, c( j7 D5 q- S
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

* j2 ]& j  u& v/ J' D& H化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)

即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


$ N6 i( `( |2 b) Y# y: Q- G8 k
% g; f- Y- c+ h- f! b; _所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
' S6 o- b2 N. h( y
f(n) = 1 (n=1,2)

0 ^$ A  ]' N* t9 ^0 Of(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
' [2 `0 M% F# Z1 e! a
接着编程为递归函数即可解决问题。
" h1 w" Y4 i6 S- D
, N; e1 C# k8 W, K% B

7 j0 Y8 U8 ~- x8 v