经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
1 W$ ]6 _4 p0 D$ Z  o' T
* `0 w$ Q) O9 Q- F9 K* U# q  D' o

9 v4 c! U6 U8 d' }5 Y, I: J从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

, K( D4 U9 G) P/ x* k2 y第n新出生的兔子 f(newN)
9 z/ h4 K4 h% Q0 G. O; C$ c第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
: p+ {3 h! P7 E7 g0 h8 x即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)

$ Z" r) D2 i$ z  f$ h; ^) {, e= f(newN) + f(n-1)
5 B% P# q, \; s


在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
- a! q6 P: @# f
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
% C. v+ X" d4 e% X5 V7 u
化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
# k- w. Z+ S, K* l* k2 A: N! L
; t, r6 ?5 y1 N! p! M; }  P即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)


- o3 b0 ~. Y4 Z
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)
1 A2 K- n: u2 K7 @# F% a
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
* ]" r# l) D' O. P) }6 d1 E8 M% @
2 g" j9 m# s+ \1 ]% ]接着编程为递归函数即可解决问题。
/ v# r0 @5 G- a7 t( c; D# R. X! a


: x, Q5 J: Q' p: A5 F4 t* m
# i. }: G8 ^3 o  K2 x' q0 W