经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
$ m; q6 @3 u0 E解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
# X  a: \, _3 s" y
5 c' y% T5 o9 b2 s2 R0 }其中 f(1) = f(2) = 1 (对)

+ L0 ~$ V2 v8 c2 N: d; r8 L: u
! F, V4 i3 s( b2 ~, b1 W
% Y# L9 k' h8 i从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：
. V- l) q  A: Y' z
: u4 Q" a2 Q& [. d5 x, q5 t9 x第n新出生的兔子 f(newN)
' L% d+ g! l/ U; v+ ~/ y5 `# |0 q第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
8 d' v, P0 X# i
( m( }3 X5 K! ~, k. k= f(newN) + f(n-1)
- R+ i9 ?8 O& _5 ~4 o
* w3 A8 c" ]7 {' H+ o6 \  P
2 F7 E$ P/ @+ _2 L6 Q4 M! s& ~" m
9 A8 q- O1 u" g. D9 L在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
$ I8 r- f9 j# H" @
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2

. D# n7 C- J  E4 ]- Z9 s- v0 M则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2
$ H* C' M& `  ?  Y
  r; R' P- A; ~+ t' _化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
: I: h+ H# J) Z
/ Z% c# `+ q$ o5 f9 q0 Z+ H4 J即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)

9 o" u  n. H* C) x8 M
. @$ }4 ]+ {+ u
所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：

f(n) = 1 (n=1,2)

" N$ N4 e, ^+ l7 v- qf(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

, i% R4 ^* B' H! @- Z! S0 I接着编程为递归函数即可解决问题。
0 w1 @0 c/ b5 o$ E: C% e
: Q. b, j: A/ r( F* W  }

0 X5 f- Y: Z" n, r% ^1 O# _% g