经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

佛自业障

题目：古典问题：有一对兔子，从出生后第3个月起每个月都生一对兔子，小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子，假如兔子都不死，问每个月的兔子总数为多少？
解：由题意，设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)

其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
6 |) L$ d* R. h" b# r1 k- U


. v, k6 q* P6 m5 p& k6 m' e从第3个月起，每个月兔子的总数f(n) 可以分为：

第n新出生的兔子 f(newN)
第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
+ y4 G& @7 q% H6 \3 i即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)
/ X1 t% @6 o* |- V
' ?2 r8 w/ K" M; u* D8 K- f$ ]= f(newN) + f(n-1)

; H/ c0 }8 _+ r
. C. _7 |* n2 K8 P( l
5 @4 W! C" W/ r: A2 p: A% B! F+ t在第n+1个月里，第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖，数量不变；
( e: M7 k0 E0 K  ^& j# \
而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖，数量X2
! f( v) \! p9 T/ Y
则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2

8 L( ^- X0 B2 n0 |; u4 |化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
7 y/ k; m8 X. j- a
$ l% t% ?" H5 S9 v! @即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)
! ?  `5 |) o& D) s
: q9 E( n  q% ~5 x! K/ H

2 |/ n1 `; s  j0 t% r9 B% w所以，每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数：
9 d2 ^2 ^6 C! s2 [, f# B- u
f(n) = 1 (n=1,2)
4 N5 o$ }6 J$ k2 U5 c
f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)

接着编程为递归函数即可解决问题。
2 N" p4 y* x, k( ^! a* f2 w* j0 }: Z

- i$ m7 e/ A0 [+ o$ p. g- ~