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经典兔子繁殖问题的简单数学建模过程

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    发表于 2018-11-1 10:46 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    题目:古典问题:有一对兔子,从出生后第3个月起每个月都生一对兔子,小兔子长到第三个月后每个月又生一对兔子,假如兔子都不死,问每个月的兔子总数为多少?) U5 j5 b9 n, O8 Z' {7 v9 o  L2 c
    解:由题意,设每个月的兔子总对数为f(n) ,(n = 1,2,3…)
    0 j7 }' v& _* q- a* W; h
    , y' }* ?" p2 x9 u2 k其中 f(1) = f(2) = 1 (对)
    - d/ K3 A7 v  A9 Q( y) [7 e
    / E! i" V, V  [# t3 Y
    - P/ `- ]7 M: v6 z! N' z7 h9 W5 s5 W' L9 t, l
    从第3个月起,每个月兔子的总数f(n) 可以分为:$ K& Y9 I& c6 O, a2 X- b! S
    / `6 G0 b0 O2 y
    第n新出生的兔子 f(newN)
    ( G  I% s  X6 S7 m第n月之前出生的兔子 f(beforeN)
    ) m8 b4 }; I" G即 f(n) = f(newN) + f(beforeN)7 V* V5 q# a0 w( B
    1 C$ Z9 F' V2 D& M, ~- X
    = f(newN) + f(n-1)0 _8 ]' M6 x( y6 p

    9 @0 r9 L% ]; h% ?; V  X$ W% c' c% M! ~+ R) J% `( }
    8 w1 e& \% [: n) @7 M; I% b6 N9 B
    在第n+1个月里,第n个月新出生的兔子f(newN)还不能繁殖,数量不变;
    6 i- \& x5 k" d. j) k; |- t7 @* P4 f; l* A' H* U
    而第n个月之前出生的兔子f(beforeN),则可以成倍繁殖,数量X2
    " \% o  B: U! L" v8 r+ q: x8 U& w* a+ S! E4 d! h
    则 f(n+1) = f(newN) + 2(beforeN)X2$ Z  o. V* X$ a6 k' ~# |- E2 l
    ! ~# v9 d* W, I! P2 l1 P
    化简得  f(n+1) = f(n) + f(n-1)
    0 g! ~" U1 W/ l8 H& s3 X9 c6 F. a( i: a3 \
    即 f(n) = f(n-1) + f(n-2)  (n=3,4,5,…)! B' X7 e9 G. H0 H& d# C
    & F! B9 l2 c7 d( H+ [1 S- z

    # {; W& M4 O1 f4 ?7 M, O
    % m, N* r6 H! x( K* q4 p所以,每个月的兔子总对数可以归纳为一个分段函数:
    0 H) O" s$ }' {7 s/ V8 m
    8 k8 b' J3 }8 {9 u  d* b2 Uf(n) = 1 (n=1,2)
    0 @  h$ r$ s. X2 t; H! `7 C0 Y( C: c1 O& ?9 K
    f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n=3,4,5)
    " J! Z& a# u7 t9 |- r7 J6 o* x4 K+ F
    接着编程为递归函数即可解决问题。; v$ L1 p, k$ }- C: b7 v1 a' o
      b: a/ `5 H0 R' s9 I/ U* Y

    ( m& y$ Q5 ?# w0 A0 T0 m% l3 C1 o7 v9 c; y# H
    & ^) R2 S( Q& }, y+ u
    zan
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