数学建模

佛自业障

数学模型的分类
$ `, e0 t* J  I$ H; x% I) u1. 按模型的数学方法分：
& ^$ J/ |4 b: v* \* u几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
2 m2 O" ]; {' N  ~3 u4 L型、马氏链模型等。
0 D+ k5 A, e! C, ^& n- j7 e+ {6 `- A2. 按模型的特征分：
静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
6 h0 Q* m9 L! `) I0 W& l2 C3 l. F& V' M3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
4. 按建模的目的分： ：
, L" I1 G7 A/ t预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
8 V6 e" q/ N/ F6. 按比赛命题方向分：
+ i3 W5 L  @1 z9 W& n9 }) [国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
3 F: t; Z; z1 p1 ^2 [5 c" T) ^运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
  J$ `9 B. s; a, m& ]7 ]8 ?2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
" e9 [- `' z7 T0 s( a% X- K9 A# Q- w4 X通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
& a; l7 d  S" l' k, f法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
7 k: H# r" v( W, r+ N4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
4 G$ e( y- Q  g: }, ^论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
( i8 @+ W/ a4 B, B  l这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
. g: h, h" e( h. j3 }+ D6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
2 J4 _4 F2 j9 ^这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
& {& u: u- u7 G% E; d7 Y+ D0 z7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
( \3 O" T5 o! K( E5 H" ~$ p9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
5 U9 [+ S! O% V. ]: z/ q10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
: J9 x" c; S6 a/ v, C算法简介
1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
9 t& ]7 t4 t/ z3 n5 @3 n2 k解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
3 A  N  u# s" ]①数据样本点个数 6 个以上
2 @9 k% F* [8 K' g②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
/ Y% G' M! N8 ~  \2 T其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
9 ?, T6 v; O/ c8 R2 R  e0 m求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
- v3 H7 n2 ?6 N  L" }' u化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
% B. M" e0 ?: \( m5 `6 ?% E②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
( T8 V2 X) ?# F: W+ a, l+ T预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
9 S8 U; x- v9 ~  l（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
( G/ V6 i  r( ^% e' d  k& x预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
' {+ `! a3 W/ D预测波动数据的函数。
+ w1 V- J/ q( J& I2 `$ g- e) u7、 、 神经网络 （ 较好） ）
$ L/ G$ _8 c& W5 x7 D: u: M0 R大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
" U# X0 O: r, Z' R9 g" T' ?8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
: i2 Y# S( Z: U9 @拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
9 B0 A$ r' _; s- s% c" k, K逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
9 W! O; N3 |' Y3 k/ p, S! L10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
" Q# Z1 s- }* P1 y; V; x11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
0 {  E8 ^8 Y3 B: |+ E, w作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
8 @* k# p- k2 }% M# y6 d( x- G优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
8 I4 p) J( C! s3 H4 c/ ^法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
5 L9 o6 F7 B. `0 z3 e9 h  }5 a1 c14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
+ X2 `9 X& _& Q4 j& S) L的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
7 I: ~) c1 H$ P. |; ~) d4 Q可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
/ R/ J/ S8 X4 |% d; ?. v7 U; ?5 i来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
# E1 @9 J' J  _2 y该方法做评价比一般的方法好。
9 ~* U6 O: n+ \" F$ q16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
" S3 W1 Y$ ~* v9 ?6 q* e% t7 n3 @5 R量有无影响，差异量的多少
* [. @' _; O9 U* D/ V0 |" y协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
此外还有灵敏度分析，稳定性分析
" ]6 L8 Q3 \4 W5 Y17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
  X$ U7 e( L, @8 }2 h9 }/ W$ W模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
! X7 d1 Z1 z. Y: N. a+ n; v优解。
, z* M/ m. X! ~: E1 y18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
+ M+ g/ M. ^* [4 L4 O0 [: N非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
* f% y  p' V5 K; M( J  |智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
% j# P1 z6 G: H* J7 A% a算法、神经网络、粒子群等
3 c6 w, x* b% b0 T其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
) K6 i0 U0 u" l+ U2 o! Q20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
9 r2 i, F% [: l9 ~- `' c排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
. @( Y' X( w, m0 w6 l9 A- N即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
, `7 B  n) V2 X' M$ d有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
0 x; ~5 k# _: L. E  Z计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
: d4 H8 e3 |3 z+ S6 b般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
( r, ^  M. @/ m/ h  I* @; F& ~5 {- g! f21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
9 E( ?* ]  o- {例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
8 Y# i  ]$ ?' ]* ?" G2 k( N支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
( t6 H) i! \3 Q/ W, _( u4 S射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
  S+ ?3 e  \- z/ x3 v( M" B1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
) v' ]* e! W$ s7 b从而达到降维的目的。
4、判别分析
+ [$ S+ P* T/ L" h) G" P# M6 Q5、典型相关分析
6、对应分析
+ [* o) H5 T2 `' \3 ?7、多维标度法（一般）
$ @3 O# B! b! u( \4 ]8、偏最小二乘回归分析（较好）
8 I; Y2 k7 p5 K7 M# Y! q24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
' u2 V9 p0 h" G1 i1 s2、关联性聚类
3 O1 N4 d1 X8 }0 e2 j3、层次聚类
: T5 A/ @7 D- T1 v3 N9 {4、密度聚类
- l+ O& R: h; h* k3 D5、其他聚类
' u6 _1 s" d8 q8 D7 v1 [9 l6、贝叶斯判别（较好）
9 m$ C& o9 s# J/ C4 C* C1 e0 y! U7、费舍尔判别（较好）
  q4 W8 B; E% C$ d* m8、模糊识别
- V( V: E2 _3 `% B) J' Z6 R25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3、Person 相关（样本点的个数比较多）
# }9 A% D9 N2 A4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
; x9 X* D, g# R, B* Y7 ?6 v（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
  e# [  R( ]/ K4 Q" Z7 ^若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
- k- R, c' ]- ?3 S$ Y5 a! G7、生存分析（事件史分析）（较好）
) ~8 r% i9 d6 i* n" p数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
& Y  I( j# S. l; d# X# `9、优势分析
7 a( U" \2 n. ?% F7 n26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
& o- [( X- W$ z) G' B! K' i率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

1 s, B+ L5 |' r& g

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