数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
  w4 l( m* e- D; A4 _* Z1 x2. 按模型的特征分：
# t6 S# ]5 s# \5 ^+ m静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
% T6 j  K" A% [' u% z# ^性模型和非线性模型等。
, n; {  h4 @, u5 Y% t3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
7 P: P  y1 a1 g+ P: l5 I; H4. 按建模的目的分： ：
5 k$ o: {2 t1 m6 g预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
0 x) q, d: a6 C! o# q5. 按对模型结构的了解程度分： ：
. i! J& l+ @  \* r1 e& O5 J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
5 W! u6 ?8 M/ E+ g国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
% T7 |7 g7 G& M8 v数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
; L0 f- |1 D+ E" }; L0 C2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
" A' |( h# K+ Y通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
0 R, l3 Q) e4 D  a& T" N: A建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
, n) q7 X" I: n3 C: w% I2 h; _9 C4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
' N) K9 U( [1 c这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
9 f1 K. L% f& f6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
9 B: U/ n' B4 u  S这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
8 F  E, @% N4 I0 B6 O当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
: J: ^& a8 l5 [一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
1 }8 |- A) F1 x3 Q很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
" E* M  e! }) |, V' Y8 B据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
; @. @1 H* D  m4 U% j: s. a10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
2 H7 \8 u4 d9 o# G1 W算法简介
, Q+ u/ S1 U/ o) Q1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
  k/ H  a& I0 y9 I①数据样本点个数 6 个以上
( k- t, C  x$ C②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
% H9 C) Z& W. e( `  D- {2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 u2 J2 f8 {  J+ L% }  }其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
6 w) Y7 o% S4 G3 ?, M$ F( O3 ^7 u- O找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
* i" d0 N! M" B' b7 f. g6 u求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
' ?- R( C1 J% q. F& ]; O②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
% s* a5 _' @7 @% {5 w8 E( ^! t一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
1 g4 ^) B2 o" N% |. N互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
- M' H* ^$ \6 p; T1 Z, a+ [9 n5、 、 时间序列预测
预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
9 q4 D5 o! g  t4 P6 B" \% f9 }（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
5 W: g: L9 D) w, f3 ~+ E数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
& \$ v4 v# Z  U" A预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
. l) \+ \9 }- D8 A预测波动数据的函数。
, {1 W5 ^% J# W, f& e2 B+ H" E# H7、 、 神经网络 （ 较好） ）
% q: ~! `* q- g( i( Y, J; B大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
. D1 G1 E, f; d' D6 t在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
5 Q% n1 `5 p0 B0 q10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
1 u- ?2 U+ x4 ?3 ]11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
- I' S; _4 X8 F- x8 x: @8 {* J! i6 I优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
+ d% R( B; y% R3 ]+ s9 a秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
& n6 h* d% w3 G) i法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
9 L! a1 r; C( l14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
2 P# _4 l5 r, L& b/ Y9 J其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
  _) o: h) K' u$ z* |1 \3 P- |评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
/ K/ V; l! ]1 b+ g解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
1 P/ E  J  ^+ f% t! |6 i4 N的最差值。
0 y' L2 ^; r" X, h) ~& b/ m. A, m15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
# {  {2 r3 C: q2 U+ B16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
量有无影响，差异量的多少
# ^4 |2 M  T  f% B! [' L2 S) f: T协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
7 n- D  z$ W2 ^3 @8 I& j此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
# O. ~! L# b$ k8 }. J18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
4 t1 e# e; q$ u4 M/ t! l8 \非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
1 c( T/ r6 L% D4 J+ I3 j  }其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
/ ~. B' I; c) k19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
2 L$ I$ h% V  m  a排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
: Y" Q% L. G( D$ C% L/ L有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
- O/ N& g4 H% L例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
3 D8 q- N- }. \' P射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
23、 、 多元分析
$ \1 a5 }* p5 r2 b0 r  y4 P/ M. `+ D1、聚类分析、
1 V- Y+ a, k& _. O2、因子分析
" b4 s% X" n; H& G% p$ Q& W% D& \$ c3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
0 \2 W0 E3 c- i, j各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
% ^/ U; `5 w. z5 ?从而达到降维的目的。
4、判别分析
% w) d' `& ]$ B5 Q5、典型相关分析
( o6 v/ F) O4 f3 t1 ?4 Q+ N6、对应分析
4 h3 K8 D& S# H! V! Y4 O9 k  S7、多维标度法（一般）
8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
" [& Q! T4 p# ~1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
& L# f$ G; Q/ [! k0 u4、密度聚类
( P9 _9 U) q/ g5、其他聚类
: Z# Y7 ~* D+ Y) s! Z8 U/ C5 m6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
* H% ~; X% _" x' r3 t" n8、模糊识别
25 、关联与因果
" W* F. D: ~5 M/ P1、灰色关联分析方法
8 ~/ N' x5 c% u0 t% w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
% r# ]4 s6 e- @. I3、Person 相关（样本点的个数比较多）
9 u+ I- D1 W0 o1 g2 Q# y4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
' s( `: z  `) z& x4 m/ }) J6 H5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
2 ^! Y0 a4 y, Y+ Q: M5 @一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
$ k; a% j/ M' c* j& m. j& S6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
: G( T& [" C1 U0 k% l6 {: o/ j7、生存分析（事件史分析）（较好）
( h6 |3 S3 W/ O: \5 k数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
, }% L8 \0 X( Q8 b9、优势分析
4 U" Q1 I" W" r& e( R; o26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
% \. f2 K$ i+ \量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
* [, X3 Q' S5 r2 C率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
0 e, O; I3 ~4 o3 c7 `4 K

& `( M1 r: f+ s# m! _