数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
$ ]3 D7 H2 A: k9 }型、马氏链模型等。
) Y4 f' s- v. H2. 按模型的特征分：
0 e  N- [# U' @8 l静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
性模型和非线性模型等。
7 s  Q# l- s" L9 l  R1 Q- B2 x# r; S3. 按模型的应用领域分：
: H" B( m2 v$ e# o8 K( ^" ^人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
' K4 {: Z! q  E4. 按建模的目的分： ：
预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
" h* C& d. x4 d) U3 d有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
3 c9 v( g% J& m' O比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
* Y7 Z; ?, e" g* F6 e1 Z& Z- D6 c运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
, D* Z" z4 @8 L6 b! p数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
# v/ D5 \7 |# W, K) D该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
1 H: x4 A+ d2 v4 y* d: o以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
: B! `  K0 [1 s* w. }7 p5 K2 \' p4 、图论算法
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
) Z' V! x6 @$ f6 H7 |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
- U# p7 h1 T- ^  g9 l" R# M+ l6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
; g4 o2 G+ C0 w$ i. m5 D帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
8 f+ s  V. s0 F9 v0 r' I" M当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
' c' Z8 @$ t) p8 c6 y2 A一些高级语言作为编程工具
8 k5 X6 f! G5 K/ p+ h8 m0 o/ O- |8 、一些连续离散化方法
很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
4 Y6 L# u* R9 G- g# S9 、数值分析算法
9 B1 z0 N# E/ x# a如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
10 、图象处理算法
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
行处理
3 D/ G5 V+ p) D6 X7 E算法简介
( P& A4 ]% w% H% i; q1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
  u% e* G. B' q5 b解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
6 c2 i! \# R; z% C" f$ }1 A①数据样本点个数 6 个以上
②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
9 a- H% _' g* i: W微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
1 z' w4 J6 {: J其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
" ?  Q- Q4 ^! z0 q求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
- E  T, P  u# o8 Y化； 样本点的个数有要求：
①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
; n) g! b. t0 J9 ~( X②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
& R6 j3 |% Q6 Z9 b* H  @3 L: G互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
0 p. v) M0 b1 J3 C6 w2 O预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
6 U& ^/ `) }- u（较好）。
6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
# r6 c! _7 Z' R! D- j预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
% ^, [( k) }0 ~" \' L预测波动数据的函数。
; I# a* n6 d; h  g3 v7、 、 神经网络 （ 较好） ）
9 ]# {; ]: H# ~大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
' ]+ ^" B+ h3 j- C0 m11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
+ z7 g6 G  s4 N作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
# i7 ?+ \2 y$ _& M( y优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
  ]: u. t! O8 I6 a; Y" D法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
# ?6 J4 D0 r. @+ T, N似。
! f  j. `/ r5 v% U: N4 w, u$ P  W14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
) e8 B2 Q% W- G评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
/ }$ M7 ^/ S8 H的最差值。
15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
' ~0 H9 v/ E3 r9 ?2 u可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
9 S8 p. r/ l# M6 l$ P来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
" j7 [6 c  \8 Z& R% Z+ m16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
# [/ V' J4 `  R4 \" I7 B! q量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
' |8 ?7 M* u* f6 T, X' u6 x; w8 d$ K素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
5 h7 D/ M6 `6 R: p此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
6 B# P/ K6 D$ T& c6 u  e模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
7 J+ s, ?7 t' L优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
7 B* X! z3 B+ D9 o. w1 ~8 ?智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
* k: d" {+ ~1 d( e# L, Q算法、神经网络、粒子群等
其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
$ s4 i7 X: J& x3 h! C& S7 }19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
) j' J# i' W7 f! N0 V/ w20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
, u8 f( \* ?$ o7 t$ h' o有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
, g. m' A* f5 p! N- q3 l. ~般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
3 V  P, b" L( R& }22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
6 W  {' U) D- y& x6 E23、 、 多元分析
1、聚类分析、
2、因子分析
7 @' F6 J: m1 b3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
* O4 [- f* i( H5 U各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
4 m/ n. z" C4 b# f- m5 U2 Y; k4、判别分析
& ^$ E" B4 ~2 [& S2 s* X5、典型相关分析
6、对应分析
" {- K8 y# Q  i) u7、多维标度法（一般）
, P7 F5 I, d5 H9 E1 Q8、偏最小二乘回归分析（较好）
24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
4 j6 \# d7 Y  ?3、层次聚类
4、密度聚类
: \. T+ _+ a2 {5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
( |) j9 N* L! H) i, O6 b2 f6 N8、模糊识别
* X& p9 \9 h7 W9 I% g$ U, p8 `1 `25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
4 _. `% h# D0 D# z, @, l; u0 O, h2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
0 T1 [$ V0 T- B4 M9 r% B6 k3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
4 p! J5 M% m5 q0 a3 @- b6 ?8 |（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
) G! q% s3 c4 J4 D; H5 v+ G一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
6、标准化回归分析
若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
  b4 K, g- j  l6 e9 Y0 N/ A- y8、格兰杰因果检验
6 C/ N$ W0 e0 `计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
  j# m% q# I, `/ k5 W# n1 z: w/ s2 q1 J1 V9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
: G' N4 s1 W  Y  B" m5 _7 r' L8 K率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。
6 G+ z6 l: _( W6 j  U/ O+ M/ x


# i1 m" k+ d2 N  R! m  N( ~