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数学建模

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    发表于 2018-11-1 11:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类1 V* R0 A" Q! Z9 K
    1. 按模型的数学方法分:3 h% }# b0 y0 Q& M
    几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模/ K' u: O% ^3 E. w( F
    型、马氏链模型等。
      w4 l( m* e- D; A4 _* Z1 x2. 按模型的特征分:
    # t6 S# ]5 s# \5 ^+ m静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线
    % T6 j  K" A% [' u% z# ^性模型和非线性模型等。
    , n; {  h4 @, u5 Y% t3. 按模型的应用领域分:/ g: B/ J1 F# f+ ]6 u
    人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
    7 P: P  y1 a1 g+ P: l5 I; H4. 按建模的目的分: :
    5 k$ o: {2 t1 m6 g预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。" W- H8 W1 i( m1 p6 E, A: b5 H& r
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往; T  \4 X4 \# |1 g1 \
    往也和建模的目的对应
    0 x) q, d: a6 C! o# q5. 按对模型结构的了解程度分: :
    . i! J& l+ @  \* r1 e& O5 J有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。4 i. y, Z: k* o7 Q
    比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。1 c; t- o& I6 ~$ l+ c
    6. 按比赛命题方向分:
    5 W! u6 ?8 M/ E+ g国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、0 f( \3 A5 c4 c3 u6 y6 D( `0 ~8 M
    运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
    % T7 |7 g7 G& M8 v数学建模十大算法" e: {( E( q* ?; H1 \) a! }
    1 、蒙特卡罗算法8 \, B9 ]: h* N; ]" j" @" x3 I
    该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可9 G1 Y  P3 [: F
    以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法
    ; L0 f- |1 D+ E" }; L0 C2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法' L- e; l3 h; G4 q
    比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,
    " A' |( h# K+ Y通常使用 Matlab 作为工具. A8 }: ]+ f' [) Z
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
    0 R, l3 Q) e4 D  a& T" N: A建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算& Q9 C4 \. i* u& R- }' B( V" [
    法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
    , n) q7 X" I: n3 C: w% I2 h; _9 C4 、图论算法; e/ l# K6 T0 \8 U; o( X. m
    这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图' |8 r' A* D8 i( |' G
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备  _0 D( N' ?5 g& P2 R# T
    5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
    ' N) K9 U( [1 c这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
    9 f1 K. L% f& f6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法
    9 B: U/ n' B4 u  S这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有: \% y6 ~* m" z; f9 K3 ]
    帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用  }0 G" t4 X; N9 w4 v3 I7 e9 ]; b
    7 、网格算法和穷举法
    8 F  E, @% N4 I0 B6 O当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
    : J: ^& a8 l5 [一些高级语言作为编程工具7 X" y0 O/ y9 n
    8 、一些连续离散化方法
    1 }8 |- A) F1 x3 Q很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数
    " E* M  e! }) |, V' Y8 B据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的# _* u( Q7 {7 B5 h: a- e& C- ^
    9 、数值分析算法4 J: U0 S$ A* i, O; K5 y
    如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比! Y3 ^, r; O2 @% A2 F
    如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
    ; @. @1 H* D  m4 U% j: s. a10 、图象处理算法) y0 A" y& x& k: w( i. \' r
    赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片1 ~* Q: i, b/ x" |( d8 w
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进6 i) w8 Q/ o1 k- I
    行处理
    2 H7 \8 u4 d9 o# G1 W算法简介
    , Q+ u/ S1 U/ o) Q1 、灰色预测模型 ( 一般) )9 U; r% I& @. z& I+ P  h
    解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两0 l8 A8 T; l; d  R) ?' m( O
    个条件可用:
      k/ H  a& I0 y9 I①数据样本点个数 6 个以上
    ( k- t, C  x$ C②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大
    % H9 C) Z& W. e( `  D- {2 、微分方程 模型 ( 一般) )2 J6 A& X4 u1 \8 d6 I- z9 L1 |
    微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
    5 u2 J2 f8 {  J+ L% }  }其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以
    6 w) Y7 o% S4 G3 ?, M$ F( O3 ^7 u- O找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。1 P1 M1 \; o3 ]+ I
    3 、回归分析预测 ( 一般) )
    * i" d0 N! M" B' b7 f. g6 u求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变' [: E2 i& d/ M# f8 V4 \$ q2 ?
    化; 样本点的个数有要求:: V1 w: X4 `' k3 l
    ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;
    ' ?- R( C1 J% q. F& ]; O②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;* L! s9 d/ p( s
    4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )
    % s* a5 _' @7 @% {5 w8 E( ^! t一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相
    1 g4 ^) B2 o" N% |. N互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的" A6 I' b8 @1 p6 c* H
    概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。
    - M' H* ^$ \6 p; T1 Z, a+ [9 n5、 、 时间序列预测6 N2 U* X! r5 A1 u1 S
    预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
    9 q4 D5 o! g  t4 P6 B" \% f9 }(较好)。8 a% X5 p" t, d3 @2 w; Q9 P
    6、 、 小波分析预测(高大上)
    5 W: g: L9 D) w, f3 ~+ E数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
    & \$ v4 v# Z  U" A预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
    . l) \+ \9 }- D8 A预测波动数据的函数。
    , {1 W5 ^% J# W, f& e2 B+ H" E# H7、 、 神经网络 ( 较好) )
    % q: ~! `* q- g( i( Y, J; B大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的) E  z* R! f2 o0 Y0 r
    办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。, i# l" F! x9 x; i2 F6 {
    8、 、 混沌序列预测(高大上)! u: k8 F, n2 x2 @( z& u
    适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。: S5 z3 n, \' W9 `. l8 w
    9、 、 插值与拟合 ( 一般) )) _, I- E1 H$ t! b1 O5 s5 s
    拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别
    . D1 G1 E, f; d' D6 t在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;3 I9 e6 c  @6 l" k
    逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
    5 Q% n1 `5 p0 B0 q10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用8 w- t9 f; s+ J) H  m
    评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    1 u- ?2 U+ x4 ?3 ]11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用2 V$ |- @1 q2 X" E" D: `! i6 @9 ]
    作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策  g8 f+ C  P3 ]$ g
    12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )
    - I' S; _4 X8 F- x8 x: @8 {* J! i6 I优化问题,对各省发展状况进行评判# ]/ U" Z. A5 k3 [4 f2 T
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) )
    + d% R( B; y% R3 ]+ s9 a秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权
    & n6 h* d% w3 G) i法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类9 z1 L2 u! v6 j
    似。
    9 L! a1 r; C( l14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)
    2 P# _4 l5 r, L& b/ Y9 J其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
      _) o: h) K' u$ z* |1 \3 P- |评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优
    / K/ V; l! ]1 b+ g解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
    1 P/ E  J  ^+ f% t! |6 i4 N的最差值。
    0 y' L2 ^; r" X, h) ~& b/ m. A, m15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )7 N9 _- L0 e8 H8 s/ S- _# E
    可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出! q* K  s  Q4 V% o9 K
    来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。& u) o6 n1 U3 N& u& M7 Y3 m' J
    该方法做评价比一般的方法好。
    # {  {2 r3 C: q2 U+ B16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) ), _, z. _7 L1 a
    方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产; ^* t9 E. X* p" p  F
    量有无影响,差异量的多少
    # ^4 |2 M  T  f% B! [' L2 S) f: T协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因9 n0 ~/ }9 k% `( l5 e! Z3 U; i
    素,但注意初始数据的量纲及初始情况。
    7 n- D  z$ W2 ^3 @8 I& j此外还有灵敏度分析,稳定性分析' ^; [' i3 ?& o2 G
    17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )# C8 y7 z2 r7 ]
    模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最$ M5 q" k2 Z* H' J# c3 Q9 A/ f
    优解。
    # O. ~! L# b$ k8 }. J18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)
    4 t1 e# e; q$ u4 M/ t! l8 \非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题3 B& q# e4 s) g! u
    智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索0 F0 ^7 h0 i- l8 a1 t; j. a
    算法、神经网络、粒子群等
    1 c( T/ r6 L% D4 J+ I3 j  }其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    / ~. B' I; c) k19、 、 复杂网络优化 ( 较好) ), ]) y! c0 @8 ?9 E) X% G5 ~
    离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。2 W4 H" z4 L- g: Z6 x1 j7 ^5 X
    20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )
    2 L$ I$ h% V  m  a排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,' j8 P+ `9 @; E# ?6 r
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和
    : Y" Q% L. G( D$ C% L/ L有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。) Z; B; w7 Z. z; M6 K
    计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一: Z2 i2 K( e6 o+ x4 V
    般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。% h' r3 B9 P2 f5 v4 b: H; O
    21 、图像处理 ( 较好) )2 s7 C! S# @8 E: g! P. `/ U
    MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。
    - O/ N& g4 H% L例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。& R# e5 ]* Q  ^. |+ c# b& n& w2 v
    22、 、 支持向量机 ( 高大上) )5 a: x6 T. i- y5 B- j
    支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映
    3 D8 q- N- }. \' P射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。5 K' c5 g) w" [0 y
    23、 、 多元分析
    $ \1 a5 }* p5 r2 b0 r  y4 P/ M. `+ D1、聚类分析、
    1 V- Y+ a, k& _. O2、因子分析
    " b4 s% X" n; H& G% p$ Q& W% D& \$ c3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析
    0 \2 W0 E3 c- i, j各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,
    % ^/ U; `5 w. z5 ?从而达到降维的目的。" ]6 l$ B% ]$ Y
    4、判别分析
    % w) d' `& ]$ B5 Q5、典型相关分析
    ( o6 v/ F) O4 f3 t1 ?4 Q+ N6、对应分析
    4 h3 K8 D& S# H! V! Y4 O9 k  S7、多维标度法(一般)3 n5 y6 N6 q2 X& A$ q3 J! x
    8、偏最小二乘回归分析(较好)% c8 ?: [& t* E# o# J
    24 、分类与判别1 }1 r  q3 a$ `- T. j
    主要包括以下几种方法,
    " [& Q! T4 p# ~1、距离聚类(系统聚类)(一般)5 S) x* C4 {* m
    2、关联性聚类5 \4 Q8 E% R# v5 Q7 C0 d; x
    3、层次聚类
    & L# f$ G; Q/ [! k0 u4、密度聚类
    ( P9 _9 U) q/ g5、其他聚类
    : Z# Y7 ~* D+ Y) s! Z8 U/ C5 m6、贝叶斯判别(较好)6 o' H3 H+ `" D4 E
    7、费舍尔判别(较好)
    * H% ~; X% _" x' r3 t" n8、模糊识别8 ?" a3 m9 l7 V, h; S9 ]' i
    25 、关联与因果
    " W* F. D: ~5 M/ P1、灰色关联分析方法
    8 ~/ N' x5 c% u0 t% w2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
    % r# ]4 s6 e- @. I3、Person 相关(样本点的个数比较多)
    9 u+ I- D1 W0 o1 g2 Q# y4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)
    ' s( `: z  `) z& x4 m/ }) J6 H5、典型相关分析5 _" d6 {5 e4 K1 \
    (例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
    2 ^! Y0 a4 y, Y+ Q: M5 @一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)
    $ k; a% j/ M' c* j& m. j& S6、标准化回归分析6 N/ g# K0 Z! n, O* P
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
    : G( T& [" C1 U0 k% l6 {: o/ j7、生存分析(事件史分析)(较好)
    ( h6 |3 S3 W/ O: \5 k数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响& m* z4 S( D) t
    8、格兰杰因果检验! I5 @+ H7 P% g* E4 i% r
    计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
    , }% L8 \0 X( Q8 b9、优势分析
    4 U" Q1 I" W" r& e( R; o26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) )
    % \. f2 K$ i+ \量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
    * [, X3 Q' S5 r2 C率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
    0 e, O; I3 ~4 o3 c7 `4 K: [: `. l7 h: W5 V! ~' b% K6 U

    & `( M1 r: f+ s# m! _3 m% w: [5 Y- i
    zan
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