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数学建模

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    发表于 2018-11-1 11:52 |只看该作者 |倒序浏览
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    数学模型的分类  i  s) @* @( C, q: G8 H3 D4 r. _% P% P
    1. 按模型的数学方法分:& D% |5 p1 J, `" d' f- g' K
    几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
    $ ]3 D7 H2 A: k9 }型、马氏链模型等。
    ) Y4 f' s- v. H2. 按模型的特征分:
    0 e  N- [# U' @8 l静态模型和动态模型,确定性模型和随机模型,离散模型和连续性模型,线' D4 Y3 Q+ X# H
    性模型和非线性模型等。
    7 s  Q# l- s" L9 l  R1 Q- B2 x# r; S3. 按模型的应用领域分:
    : H" B( m2 v$ e# o8 K( ^" ^人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
    ' K4 {: Z! q  E4. 按建模的目的分: :7 _. o" k- N' |
    预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。. D* P- S  }3 _8 E7 Y4 W* ]
    一般研究数学建模论文的时候,是按照建模的目的去分类的,并且是算法往, {3 w) p% U7 O" M) j
    往也和建模的目的对应: q. z' v5 c9 A' J
    5. 按对模型结构的了解程度分: :
    " h* C& d. x4 d) U3 d有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
    3 c9 v( g% J& m' O比赛尽量避免使用,黑箱模型、灰箱模型,以及一些主观性模型。0 g7 o% c! j# |2 J% R( n* G* R
    6. 按比赛命题方向分:+ ^* K( [- {5 q8 J
    国赛一般是离散模型和连续模型各一个,2016 美赛六个题目(离散、连续、
    * Y7 Z; ?, e" g* F6 e1 Z& Z- D6 c运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策)
    , D* Z" z4 @8 L6 b! p数学建模十大算法4 i: K4 m& ]5 d7 m. J
    1 、蒙特卡罗算法
    # v/ D5 \7 |# W, K) D该算法又称随机性模拟算法,是通过计算机仿真来解决问题的算法,同时可
    1 H: x4 A+ d2 v4 y* d: o以通过模拟可以来检验自己模型的正确性,比较好用的算法; U, e% y/ i/ R# N1 `3 J3 h) z
    2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法4 `& H; p: D" w1 L# l8 Q7 c
    比赛中通常会遇到大量的数据需要处理,而处理数据的关键就在于这些算法,5 N4 [; G+ \8 U+ f  X
    通常使用 Matlab 作为工具7 o# a: X) C0 q: n
    3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题9 w3 T" ?+ Z2 V+ {
    建模竞赛大多数问题属于最优化问题,很多时候这些问题可以用数学规划算9 |$ E& t# M9 A0 s1 m- d
    法来描述,通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
    : B! `  K0 [1 s* w. }7 p5 K2 \' p4 、图论算法! I& |) V+ D3 X; ~* r, l
    这类算法可以分为很多种,包括最短路、网络流、二分图等算法,涉及到图  Z( ]" i& x8 \
    论的问题可以用这些方法解决,需要认真准备
    ) Z' V! x6 @$ f6 H7 |5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法3 x) U- d# h2 G; \
    这些算法是算法设计中比较常用的方法,很多场合可以用到竞赛中
    - U# p7 h1 T- ^  g9 l" R# M+ l6 、最优化理论的三大非经典算法:模拟退火法、神经网络、遗传算法  Q9 n+ G! z( o4 c  n
    这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法,对于有些问题非常有
    ; g4 o2 G+ C0 w$ i. m5 D帮助,但是算法的实现比较困难,需慎重使用5 |, d  }, J9 y
    7 、网格算法和穷举法
    8 f+ s  V. s0 F9 v0 r' I" M当重点讨论模型本身而轻视算法的时候,可以使用这种暴力方案,最好使用
    ' c' Z8 @$ t) p8 c6 y2 A一些高级语言作为编程工具
    8 k5 X6 f! G5 K/ p+ h8 m0 o/ O- |8 、一些连续离散化方法, S& b3 k, j; X8 ^. h
    很多问题都是从实际来的,数据可以是连续的,而计算机只认的是离散的数( |; B1 T8 v8 \
    据,因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
    4 Y6 L# u* R9 G- g# S9 、数值分析算法
    9 B1 z0 N# E/ x# a如果在比赛中采用高级语言进行编程的话,那一些数值分析中常用的算法比# u* _% b' ]4 `/ l6 _
    如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用, [2 s0 Q) Y) _) M5 `' k/ o$ h
    10 、图象处理算法6 Z5 Z* {3 p( k0 L# N6 p" u1 b
    赛题中有一类问题与图形有关,即使与图形无关,论文中也应该要不乏图片) O+ x% \+ R1 u. T! X
    的这些图形如何展示,以及如何处理就是需要解决的问题,通常使用 Matlab 进% S5 S& M4 T. n- M  ?8 q
    行处理
    3 D/ G5 V+ p) D6 X7 E算法简介
    ( P& A4 ]% w% H% i; q1 、灰色预测模型 ( 一般) )
      u% e* G. B' q5 b解决预测类型题目。由于属于灰箱模型,一般比赛期间不优先使用。满足两2 k$ `) ~; k% u, k! `+ b
    个条件可用:
    6 c2 i! \# R; z% C" f$ }1 A①数据样本点个数 6 个以上3 [: R3 A: \/ i. V2 F
    ②数据呈现指数或曲线的形式,数据波动不大6 g# X. X! h& `' ^, n6 b3 G5 @
    2 、微分方程 模型 ( 一般) )
    9 a- H% _' g* i: W微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现,但
    1 z' w4 J6 {: J其中的要求,不言而喻,学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系,但可以% q6 x$ h- O. l2 z
    找到原始数据变化速度之间的关系,通过公式推导转化为原始数据的关系。4 E+ I- D& m0 f7 o6 A1 ?
    3 、回归分析预测 ( 一般) )
    " ?  Q- Q4 ^! z0 q求一个因变量与若干自变量之间的关系,若自变量变化后,求因变量如何变
    - E  T, P  u# o8 Y化; 样本点的个数有要求:( h: m( ]3 c# z. u
    ①自变量之间协方差比较小,最好趋近于 0,自变量间的相关性小;
    ; n) g! b. t0 J9 ~( X②样本点的个数 n>3k+1,k 为预测个数;5 U, N8 y# Y1 l! d; W9 p5 _' Q4 M
    4、 、 马尔科夫预测 ( 较好) )5 }' P) a7 y9 I. y
    一个序列之间没有信息的传递,前后没联系,数据与数据之间随机性强,相
    & R6 j3 |% Q6 Z9 b* H  @3 L: G互不影响;今天的温度与昨天、后天没有直接联系,预测后天温度高、中、低的3 j( d3 S% n) u4 i- j' ?/ K
    概率,只能得到概率,其算法本身也主要针对的是概率预测。6 f# W1 c5 V- H- o8 A
    5、 、 时间序列预测
    0 p. v) M0 b1 J3 C6 w2 O预测的是数据总体的变化趋势,有一、二、三次指数平滑法(简单),ARMA
    6 U& ^/ `) }- u(较好)。: l% u+ I! I2 P2 A( p
    6、 、 小波分析预测(高大上)- f7 Q4 a  q' y1 F9 S
    数据无规律,海量数据,将波进行分离,分离出周期数据、规律性数据;其
    # r6 c! _7 Z' R! D- j预测主要依靠小波基函数,不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
    % ^, [( k) }0 ~" \' L预测波动数据的函数。
    ; I# a* n6 d; h  g3 v7、 、 神经网络 ( 较好) )
    9 ]# {; ]: H# ~大量的数据,不需要模型,只需要输入和输出,黑箱处理,建议作为检验的4 g+ ~% c7 m7 w
    办法,不过可以和其他方法进行组合或改进,可以拿来做评价和分类。4 y" a9 ^) q+ C* B) J( G- @8 A" c
    8、 、 混沌序列预测(高大上)- `+ l3 y; u8 |6 ^( s
    适用于大数据预测,其难点在于时延和维数的计算。+ Q/ D5 Z: i& Y. ~7 _
    9、 、 插值与拟合 ( 一般) )# @9 d0 `+ I' P" g: v' M
    拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具,通俗意义上它们的区别9 e# v, G; X7 C8 X7 M+ u
    在于:拟合是已知点列,从整体上靠近它们;插值是已知点列并且完全经过点列;7 `$ v* e+ y2 }% H& z2 s
    逼近是已知曲线,或者点列,通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。6 E  i1 ]: w* S$ b
    10、 、 模糊综合评判 ( 简单 ) 不建议 单独 使用5 t* P* G/ s6 \8 m
    评价一个对象优、良、中、差等层次评价,评价一个学校等,不能排序
    ' ]+ ^" B+ h3 j- C0 m11、 、 层次分析法(AHP) ) ( 简单 ) 不建议 单独 使用
    + z7 g6 G  s4 N作决策,去哪旅游,通过指标,综合考虑作决策6 d" w$ x2 Y% d+ l" r& h: A
    12、 、 数据包络(DEA )分析法 ( 较好) )
    # i7 ?+ \2 y$ _& M( y优化问题,对各省发展状况进行评判  U8 V6 O1 `9 `0 r; C# [9 p
    13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 ( 较好) ), f* W) J+ d9 `$ Q. w: B& Y# R! S
    秩和比综合评价法是评价各个对象并排序,但要求指标间关联性不强;熵权
      ]: u. t! O8 I6 a; Y" D法是根据各指标数据变化的相互影响,来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
    # ?6 J4 D0 r. @+ T, N似。
    ! f  j. `/ r5 v% U: N4 w, u$ P  W14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) (备用)- D5 z: N! O' Z6 K* w% f8 f
    其基本原理,是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序,若
    ) e8 B2 Q% W- G评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解,则为最好;否则为最差。其中最优# X: D# d2 `0 o- @7 ?# c
    解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
    / }$ M7 ^/ S8 H的最差值。8 ^- o. L) {- I/ |' b- l$ R( ^
    15、 、 投影寻踪综合评价法 ( 较好) )
    ' ~0 H9 v/ E3 r9 ?2 u可揉和多种算法,比如遗传算法、模拟退火等,将各指标数据的特征提取出
    9 S8 p. r/ l# M6 l$ P来,用一个特征值来反映总体情况;相当于高维投影之低维,与支持向量机相反。! t0 t" Q0 M$ N3 M' R- A2 F; M
    该方法做评价比一般的方法好。
    " j7 [6 c  \8 Z& R% Z+ m16、 、 方差分析、协方差分析等 ( 必要) ). j% |  m7 y0 r3 M7 c! a) b, p$ O4 a
    方差分析:看几类数据之间有无差异,差异性影响,例如:元素对麦子的产
    # [/ V' J4 `  R4 \" I7 B! q量有无影响,差异量的多少7 O, U7 j7 k2 B3 L$ a- x4 n
    协方差分析:有几个因素,我们只考虑一个因素对问题的影响,忽略其他因
    ' |8 ?7 M* u* f6 T, X' u6 x; w8 d$ K素,但注意初始数据的量纲及初始情况。
    5 h7 D/ M6 `6 R: p此外还有灵敏度分析,稳定性分析* N$ [. M5 m: r6 d
    17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 ( 一般) )
    6 B# P/ K6 D$ T& c6 u  e模型建立比较简单,可以用 lingo 解决,但也可以套用智能优化算法来寻最
    7 J+ s, ?7 t' L优解。3 P' U! m. [3 z) Z4 W+ J+ X' g
    18、 、 非线性规划与智能优化算法握 (智能算法至少掌握 1-2 ) 个,其他的了解即可)8 g" L, g- g* U/ y" s/ X4 b
    非线性规划包括:无约束问题、约束极值问题
    7 B* X! z3 B+ D9 o. w1 ~8 ?智能优化算法包括:模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
    * k: d" {+ ~1 d( e# L, Q算法、神经网络、粒子群等  C: s& A8 R8 q  K5 L
    其他规划如:多目标规划和目标规划及动态规划等
    $ s4 i7 X: J& x3 h! C& S7 }19、 、 复杂网络优化 ( 较好) )1 X' b+ w4 b1 [3 i+ P
    离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
    ) j' J# i' W7 f! N0 V/ w20、 、 排队论与计算机仿真 ( 高大上) )" `; U3 m- b# o! w; p
    排队论研究的内容有 3 个方面:统计推断,根据资料建立模型;系统的性态,2 {! F+ a* f0 ]0 u9 |3 r
    即和排队有关的数量指标的概率规律性;系统的优化问题。其目的是正确设计和
    , u8 f( \* ?$ o7 t$ h' o有效运行各个服务系统,使之发挥最佳效益。9 I( V9 t, `, d0 C$ H# S6 Z) `
    计算机仿真可通过元胞自动机实现,但元胞自动机对编程能来要求较高,一
    , g. m' A* f5 p! N- q3 l. ~般需要证明其机理符合实际情况,不能作为单独使用。' q. f) L/ I* y1 j
    21 、图像处理 ( 较好) )( `( ]$ ], q7 p' A
    MATLAB 图像处理,针对特定类型的题目,一般和数值分析的算法有联系。$ J0 a# l$ q8 k: M
    例如 2013 年国赛 B 题,2014 网络赛 B 题。
    3 V  P, b" L( R& }22、 、 支持向量机 ( 高大上) )0 c4 W% w8 K# Q. x' X$ e0 X% K
    支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射(核函数)将输入向量映, D0 d" b2 f* O4 {9 [+ C! Y
    射到一个高维特征空间,在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
    6 W  {' U) D- y& x6 E23、 、 多元分析2 R6 ^4 x5 [4 B' k* e! E; ?
    1、聚类分析、2 K' M) p7 _9 D& r1 s! o
    2、因子分析
    7 @' F6 J: m1 b3、主成分分析:主成分分析是因子分析处理过程的一部分,可以通过分析
    * O4 [- f* i( H5 U各指标数据的变化情况,然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替,+ c- W/ T+ Y/ l8 W
    从而达到降维的目的。
    4 m/ n. z" C4 b# f- m5 U2 Y; k4、判别分析
    & ^$ E" B4 ~2 [& S2 s* X5、典型相关分析3 a# L9 d- Z# R5 H$ O# l. x$ o' e
    6、对应分析
    " {- K8 y# Q  i) u7、多维标度法(一般)
    , P7 F5 I, d5 H9 E1 Q8、偏最小二乘回归分析(较好)" v6 q$ M1 F! u% S& z$ V
    24 、分类与判别; k7 t3 {% b3 ?6 d* G
    主要包括以下几种方法,: U# M  {1 h) u& \5 F4 w
    1、距离聚类(系统聚类)(一般)5 v) `/ x+ u/ `( z! B$ ?  @/ @8 o0 ~
    2、关联性聚类
    4 j6 \# d7 Y  ?3、层次聚类7 X/ ]# K+ [8 f* y1 d# e
    4、密度聚类
    : \. T+ _+ a2 {5、其他聚类; {/ `- F, @/ |5 |0 V8 S7 ]
    6、贝叶斯判别(较好)% Q% o  R$ B8 e/ c) E
    7、费舍尔判别(较好)
    ( |) j9 N* L! H) i, O6 b2 f6 N8、模糊识别
    * X& p9 \9 h7 W9 I% g$ U, p8 `1 `25 、关联与因果- ]. [; c# f4 ^; v
    1、灰色关联分析方法
    4 _. `% h# D0 D# z, @, l; u0 O, h2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
    0 T1 [$ V0 T- B4 M9 r% B6 k3、Person 相关(样本点的个数比较多)/ o9 m9 K/ a! ^0 l+ Z
    4、Copula 相关(比较难,金融数学,概率密度)9 O, e0 L. F- G- E1 L1 B! q% ?
    5、典型相关分析
    4 p! J5 M% m5 q0 a3 @- b6 ?8 |(例:因变量组 Y1234,自变量组 X1234,各自变量组相关性比较强,问哪
    ) G! q% s3 c4 J4 D; H5 v+ G一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密?)7 _5 \! `3 A. s- W3 i* k& d' D
    6、标准化回归分析- H: d- i, d  `5 ~6 p
    若干自变量,一个因变量,问哪一个自变量与因变量关系比较紧密* U' _  L& }! Y2 ~
    7、生存分析(事件史分析)(较好)% l  M  C2 c$ \+ A: [' v! G
    数据里面有缺失的数据,哪些因素对因变量有影响
      b4 K, g- j  l6 e9 Y0 N/ A- y8、格兰杰因果检验
    6 C/ N$ W0 e0 `计量经济学,去年的 X 对今年的 Y 有没影响
      j# m% q# I, `/ k5 W# n1 z: w/ s2 q1 J1 V9、优势分析: T: e$ I) v4 Q  \; n$ V+ z5 F
    26、 、 量子 优化 算法 ( 高大上) ). q, i8 k5 z5 d0 `9 E8 T) K
    量子优化可与很多优化算法相结合,从而使寻优能力大大提高,并且计算速
    : G' N4 s1 W  Y  B" m5 _7 r' L8 K率提升了很多。其主要通过编程实现,要求编程能力较好。
    6 G+ z6 l: _( W6 j  U/ O+ M/ x6 R# t# L+ {1 j' w- B
    4 P! ]3 N6 d, E# M

    # i1 m" k+ d2 N  R! m  N( ~
    zan
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