数学建模

佛自业障

数学模型的分类
1. 按模型的数学方法分：
几何模型、图论模型、微分方程模型、概率模型、最优控制模型、规划论模
型、马氏链模型等。
2. 按模型的特征分：
1 _+ l. g4 f5 ^; w: j, g静态模型和动态模型，确定性模型和随机模型，离散模型和连续性模型，线
; @& ^4 [: G: w% R( x6 W性模型和非线性模型等。
3. 按模型的应用领域分：
人口模型、交通模型、经济模型、生态模型、资源模型、环境模型等。
6 Q% ^' g  R' e4. 按建模的目的分： ：
1 K3 X' ?, \! Y1 |7 E预测模型、优化模型、决策模型、控制模型等。
6 o3 ]4 L; J) f* z* k5 t/ `. M一般研究数学建模论文的时候，是按照建模的目的去分类的，并且是算法往
往也和建模的目的对应
5. 按对模型结构的了解程度分： ：
; _  d5 o: W- x, Z8 i# A4 r& O* |# |+ g$ Z( m有白箱模型、灰箱模型、黑箱模型等。
比赛尽量避免使用，黑箱模型、灰箱模型，以及一些主观性模型。
6. 按比赛命题方向分：
国赛一般是离散模型和连续模型各一个，2016 美赛六个题目（离散、连续、
+ p6 U8 D# H1 W6 U. }1 s8 l运筹学/复杂网络、大数据、环境科学、政策）
; [7 P6 g( }- {( E4 R+ M' s数学建模十大算法
1 、蒙特卡罗算法
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可
8 e/ p' s4 i& K& L' a以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，比较好用的算法
) S# U9 O" c: W3 |8 M' }: e2 @2 、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，
通常使用 Matlab 作为工具
3 、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算
法来描述，通常使用 Lindo、Lingo 软件实现
4 、图论算法
/ [7 e7 m2 m3 i这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图
论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备
5 、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法
( \5 |0 \- y  ?  a7 E* e8 B这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中
6 、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有
帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用
7 、网格算法和穷举法
当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用
* I) `, [7 }7 c* ^( _0 f+ E一些高级语言作为编程工具
8 、一些连续离散化方法
4 l; U+ {3 t: f& u; t. c9 ~很多问题都是从实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数
( g1 G: f  {% i! A; v据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的
9 、数值分析算法
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比
如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用
! n6 E2 {3 W# f, y$ D3 b10 、图象处理算法
$ J4 ?* N; c! o1 E: G2 O赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片
的这些图形如何展示，以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用 Matlab 进
9 \5 G1 t' w6 f" F( j5 q0 e. o行处理
算法简介
1 |' H3 Y& s0 D" Z  b# P: S1 、灰色预测模型 （ 一般） ）
5 ]5 E! g' }: |& B" t解决预测类型题目。由于属于灰箱模型，一般比赛期间不优先使用。满足两
个条件可用：
$ [$ n9 X2 B; C) P# L①数据样本点个数 6 个以上
; z; j0 z  P6 m; I②数据呈现指数或曲线的形式，数据波动不大
" G% X% _$ {) B3 W* t% Z2 、微分方程 模型 （ 一般） ）
微分方程模型是方程类模型中最常见的一种算法。近几年比赛都有体现，但
5 g! f! v7 o, C8 m其中的要求，不言而喻，学习过程中无法直接找到原始数据之间的关系，但可以
* Z. _) |1 W& N1 l( Y' u找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据的关系。
3 、回归分析预测 （ 一般） ）
求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化后，求因变量如何变
化； 样本点的个数有要求：
" M3 e, F( t* O5 u9 L9 G; g/ x①自变量之间协方差比较小，最好趋近于 0，自变量间的相关性小；
3 b  N+ o: N! M  \9 L& Q  l②样本点的个数 n＞3k+1，k 为预测个数；
# M: a0 N# e( c/ F4、 、 马尔科夫预测 （ 较好） ）
3 M2 L8 ?+ I7 o+ k/ @' W) j一个序列之间没有信息的传递，前后没联系，数据与数据之间随机性强，相
5 ]  t) B, G' z. p& M6 s. @互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的
( o0 J$ b. \& ~. M$ K概率，只能得到概率，其算法本身也主要针对的是概率预测。
5、 、 时间序列预测
5 ^4 s( d1 x; z/ w) {. L预测的是数据总体的变化趋势，有一、二、三次指数平滑法（简单），ARMA
（较好）。
( r4 U- G- l6 o+ c" p# i9 O8 J2 H6、 、 小波分析预测（高大上）
数据无规律，海量数据，将波进行分离，分离出周期数据、规律性数据；其
预测主要依靠小波基函数，不同的数据需要不同的小波基函数。网上有个通用的
预测波动数据的函数。
4 A) b# y- x! F  m7、 、 神经网络 （ 较好） ）
! Z, m& p4 R' ?' o: ]$ w3 W大量的数据，不需要模型，只需要输入和输出，黑箱处理，建议作为检验的
办法，不过可以和其他方法进行组合或改进，可以拿来做评价和分类。
$ U" X$ Z% N0 P/ _7 F1 R8、 、 混沌序列预测（高大上）
适用于大数据预测，其难点在于时延和维数的计算。
1 _5 e$ C. f! \8 [! E9、 、 插值与拟合 （ 一般） ）
# V0 l( n. r# b: ?( j, B拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别
: `/ o% G: y- t! B$ ]) w/ C$ t在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们；插值是已知点列并且完全经过点列；
逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。
10、 、 模糊综合评判 （ 简单 ） 不建议 单独 使用
评价一个对象优、良、中、差等层次评价，评价一个学校等，不能排序
11、 、 层次分析法（AHP） ） （ 简单 ） 不建议 单独 使用
作决策，去哪旅游，通过指标，综合考虑作决策
9 P' U( p! F, [* t8 o& q8 |+ d4 q12、 、 数据包络（DEA ）分析法 （ 较好） ）
: D0 l3 W3 Y7 t0 i' `$ k优化问题，对各省发展状况进行评判
13、 、 秩和比综合评价法 和 熵权法 （ 较好） ）
' P3 W5 A( i, c; K! T' l% h秩和比综合评价法是评价各个对象并排序，但要求指标间关联性不强；熵权
法是根据各指标数据变化的相互影响，来进行赋权。两者在对指标处理的方法类
似。
14、 、 优劣解距离法(TOPSIS  法) （备用）
7 X/ b/ q; m% w, d$ m# c; H6 K其基本原理，是通过检测评价对象与最优解、最劣解的距离来进行排序，若
评价对象最靠近最优解同时又最远离最劣解，则为最好；否则为最差。其中最优
解的各指标值都达到各评价指标的最优值。最劣解的各指标值都达到各评价指标
7 n6 ?2 ?+ Q- f4 Q! ~的最差值。
* K6 ]- i) X5 v3 [! ~! v15、 、 投影寻踪综合评价法 （ 较好） ）
0 i. J0 L# N! R! F( \( v可揉和多种算法，比如遗传算法、模拟退火等，将各指标数据的特征提取出
来，用一个特征值来反映总体情况；相当于高维投影之低维，与支持向量机相反。
该方法做评价比一般的方法好。
7 Z# N2 ~% h/ G0 {7 h( r16、 、 方差分析、协方差分析等 （ 必要） ）
. l: Y' c% U9 L* c$ n! s# `方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产
0 E; X, e( H% Z1 @0 |" d5 m量有无影响，差异量的多少
协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因
# }/ G5 }* r( |/ o/ f) C- \素，但注意初始数据的量纲及初始情况。
0 x2 U. F3 p: n4 ~5 G; l# r此外还有灵敏度分析，稳定性分析
17、 、 线性规划、整数规划、0-1  规划 （ 一般） ）
模型建立比较简单，可以用 lingo 解决，但也可以套用智能优化算法来寻最
优解。
18、 、 非线性规划与智能优化算法握 （智能算法至少掌握 1-2 ） 个，其他的了解即可）
非线性规划包括：无约束问题、约束极值问题
2 n* k. T, \6 f智能优化算法包括：模拟退火算法、遗传算法、改进的遗传算法、禁忌搜索
算法、神经网络、粒子群等
2 d! `2 L" r3 }! C; @其他规划如：多目标规划和目标规划及动态规划等
6 l$ `  m' E, a+ m19、 、 复杂网络优化 （ 较好） ）
离散数学中经典的知识点——图论。主要是编程。
20、 、 排队论与计算机仿真 （ 高大上） ）
排队论研究的内容有 3 个方面：统计推断，根据资料建立模型；系统的性态，
8 Q; m! t( z: {) v$ A) V即和排队有关的数量指标的概率规律性；系统的优化问题。其目的是正确设计和
有效运行各个服务系统，使之发挥最佳效益。
计算机仿真可通过元胞自动机实现，但元胞自动机对编程能来要求较高，一
般需要证明其机理符合实际情况，不能作为单独使用。
6 y: z! y. Q: G1 \; W* p$ j8 K21 、图像处理 （ 较好） ）
MATLAB 图像处理，针对特定类型的题目，一般和数值分析的算法有联系。
$ ^' Z. |/ d+ V5 O7 X$ n9 I例如 2013 年国赛 B 题，2014 网络赛 B 题。
22、 、 支持向量机 （ 高大上） ）
7 J: v, i$ j- a7 U" E* E9 q支持向量机实现是通过某种事先选择的非线性映射（核函数）将输入向量映
6 t  x2 Z. @& P, B3 j% r射到一个高维特征空间，在这个空间中构造最优分类超平面。主要用于分类。
; L' T4 }* K) p- G1 F23、 、 多元分析
0 v2 Y5 D9 V: j1 K1、聚类分析、
2、因子分析
3、主成分分析：主成分分析是因子分析处理过程的一部分，可以通过分析
各指标数据的变化情况，然后将数据变化相似的指标用一种具有代表性的来代替，
从而达到降维的目的。
! T/ V4 Y3 i$ c. C' ?: G% m: x4、判别分析
5、典型相关分析
6、对应分析
+ D+ n5 t! _& O  J7、多维标度法（一般）
$ v, R) I) o" U' R5 e8、偏最小二乘回归分析（较好）
: q8 F& ]% H* v2 G  \) e2 G3 p24 、分类与判别
主要包括以下几种方法，
1、距离聚类（系统聚类）（一般）
2、关联性聚类
3、层次聚类
4、密度聚类
5、其他聚类
6、贝叶斯判别（较好）
7、费舍尔判别（较好）
2 y: ]8 R. |! h# L8、模糊识别
25 、关联与因果
1、灰色关联分析方法
7 S/ E8 z2 `5 e9 q4 ]* ^% d& V2、Sperman 或 kendall 等级相关分析
3 H% q3 c# u: }3、Person 相关（样本点的个数比较多）
4、Copula 相关（比较难，金融数学，概率密度）
5、典型相关分析
（例：因变量组 Y1234，自变量组 X1234，各自变量组相关性比较强，问哪
( V( j8 m7 g8 V7 y9 N7 f一个因变量与哪一个自变量关系比较紧密？）
- P! f0 E& z: I3 U7 Q6、标准化回归分析
9 S0 F1 q0 B5 r) h+ P/ I若干自变量，一个因变量，问哪一个自变量与因变量关系比较紧密
7、生存分析（事件史分析）（较好）
- X' t$ a6 ?; U. `# i数据里面有缺失的数据，哪些因素对因变量有影响
8、格兰杰因果检验
计量经济学，去年的 X 对今年的 Y 有没影响
5 Z* k, H2 k7 o' T' E- G9、优势分析
26、 、 量子 优化 算法 （ 高大上） ）
2 o+ A. B+ Y5 j0 a量子优化可与很多优化算法相结合，从而使寻优能力大大提高，并且计算速
0 @- P( K$ E* d! O* f率提升了很多。其主要通过编程实现，要求编程能力较好。

- L! S6 ?: s; r9 y5 X
6 }! [. [0 z) I  H' f