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数学建模--转移矩阵

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    发表于 2018-11-2 09:15 |只看该作者 |倒序浏览
    |招呼Ta 关注Ta
    首先来简单介绍一下矩阵的乘法,两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是:第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数。A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = (cij),其中:cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···,m;j = 1,2,···,n),记作 C = AB。
    - P# P6 d% e2 x" P; s8 k4 J7 f用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。 4 g* C; ?8 A' g3 ?. j, J! m" Y
    由于没有真正学习过转移矩阵,所以百度了一部分内容粘贴上来
    : z- [- }6 M, ]1 k: f( ~1 L+ h1 D*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
    & v9 a% P3 _: b2 y% F# o' D  转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。
    : }/ u+ |0 H, S* @5 _# ~3 F转移概率矩阵的特征 5 j8 E- a/ }  o. R
      转移概率矩阵有以下特征:
    2 |- S2 C! m0 ?" ?. }  ①,0≤Pij≤1 0 j$ h+ k2 b9 T; B4 {" ^. F
      ②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。
    7 m+ r: b: R5 D4 ^1 X转移概率矩阵的分析 1 \" v- U0 C: M+ z/ X
      所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。 $ M: s. ~" q8 l+ o7 [" `5 `9 V( |3 M$ D
    A=3 M/ z7 L5 _! T. u" Q
    + V6 H! W8 n. G7 }9 w' [7 t+ a
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
    ' b* t+ U4 H* ]6 t8 X8 K. Z; a, h  Y
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。 6 m& e( f& ?& k1 _3 P4 j
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]  由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=
    $ I" c! Y! v* H% Y! m, i% S% y
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢11,P12⋯∙∙∙∙∙∙21,P22⋯m1,Pm2⋯1n∙∙∙2nPmn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
    [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]

    % J, ^0 k2 O. `1 a! R( a! ?/ |下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用 / v9 s2 d+ R4 A5 L
    有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额。 - i  B6 g7 f  y  A) i  `1 D
    试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样?
    ' b) U' m8 {7 a& _0 x3 p) l2 D/ v9 K第一问比较简单,通过高中的知识就可以接出来,- N4 ]; Y7 c' X/ N  y7 d2 w
    R0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,2 f( X! U' B, }6 l3 K

    2 b+ u1 Z) Z! h这样稍加运算就可以算出结果,但是当计算5年以后时就会比较吃力了,下面通过转移矩阵的知识进行求解。
    1 _7 h1 ~' U: @  J* O1 U1 @3 X先建立一个R和S公司的初始分配矩阵) e8 Q7 C) a7 `/ p! b
    RS0 = [3/5 2/5]
      }- r& T; q% S再建立一个转移矩阵
    ' Q; j! j4 d& l' MA = [1/4 1/3; 3/4 2/3]3 R7 D! l' N$ a1 O( X; f
    一年以后的分配为
    $ e3 N) t6 `) bRS1 = A*RS0! O$ y& t# a5 }' W& R! S5 Z
    两年以后的分配为
    9 v. W$ X, f; K5 r9 m* YRS2 = A^2*RS0  X$ {% N, d+ Z" T$ I  Z  F0 i$ k, N
    5年以后的分配为
    0 k% [3 Y/ z, X  J$ c8 R1 J& Q. i  bRS5 = A^5*RS0
    1 w& M3 \. x8 j转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额,第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额,第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额,第二行第二列是第二家公司保持的份额。5 B1 L% j$ a2 }0 g* {

    ! O0 y6 [$ E5 A/ u: k3 d! j/ W8 H
    zan
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