首先来简单介绍一下矩阵的乘法,两个矩阵能进行矩阵乘法运算的前提是:第一个矩阵(左矩阵)的列数等于第二个矩阵(右矩阵)的行数。A = (aij)是一个m*s矩阵,B = (bij)是一个s*n矩阵,则矩阵A与矩阵B的乘积是一个m*n矩阵C = (cij),其中:cij = ai1*b1j + ai2*b2j + ··· +ais*bsj(i = 1,2,···,m;j = 1,2,···,n),记作 C = AB。
5 g3 U% [0 I D$ V3 |( l$ w2 N用文字来描述就是矩阵A的第i行分别乘以矩阵B的第j列对应位置再求和得到的结果作为矩阵C第i行第j列的数字。
! O: s, F% B4 J6 H3 a由于没有真正学习过转移矩阵,所以百度了一部分内容粘贴上来 / n6 K5 O0 I" L& @; t* Q/ _# D
*什么是转移概率矩阵(Transition Probability Matrix)
& z% n6 W6 r7 H6 W 转移概率矩阵:矩阵各元素都是非负的,并且各行元素之和等于1,各元素用概率表示,在一定条件下是互相转移的,故称为转移概率矩阵。如用于市场决策时,矩阵中的元素是市场或顾客的保留、获得或失去的概率。P(k)表示k步转移概率矩阵。 3 d. u& c8 H6 I4 S
转移概率矩阵的特征
* P0 ~# l2 U& C7 C 转移概率矩阵有以下特征: $ |# |. N1 S+ F
①,0≤Pij≤1
8 K. y m. T( I& L% g, k: d ②\sum^{n}_{j-1}P_i j=1,即矩阵中每一行转移概率之和等于1。 ' Z% B- v" B1 N# y; @2 Q+ B' L
转移概率矩阵的分析
- Q# y) \* j; x) V5 r 所谓矩阵,是指许多个数组成的一个数表。每个数称为矩阵的元素。矩阵的表示方法是用括号将矩阵中的元素括起来,以表示它是一个整体。如A就是一个矩阵。 + y, d: m. ]' g! _9 T
A=6 ]% M! U% {- l: L% t
0 W- U) q& C; n[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]⎢⎢⎢⎢⎢a11,a12⋯∙∙∙∙∙∙a21,a22⋯am1,am2⋯a1n∙∙∙a2namn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ [color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
; ^% X5 J( N2 u! \" M4 m[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]这是一个由m行n列的数构成的矩阵, 表示位于矩阵中第i行与第j列交叉点上的元素, 矩阵中的行数与列数可以相等,也可以不等。当它们相等时,矩阵就是一个方阵。
1 V) ?, D0 v% y4 q: r% m[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)] 由转移概率组成的矩阵就是转移概率矩阵。也就是说构成转移概率矩阵的元素是一个个的转移概率R=8 ?3 i! K( o1 d I: ~% p
[color=rgba(0, 0, 0, 0.75)]
& M1 [7 J- K, D M8 e3 J5 Q* o下面通过一个例子来解释转移矩阵的应用
* u. h+ [8 p( R- Q有R和S两家公司经营同类产品,这两家公司相互竞争。每年R公司保持有1/4的顾客,而3/4转移向S公司;每年S公司保持有2/3的顾客,而1/3转向R公司。当产品开始制造时R公司占有3/5的市场份额,而S公司占有2/5的市场份额。 " e8 T, b7 J5 d2 M8 |
试问两年以后,两家公司所占有的市场份额变化怎样?5年以后会怎样? % s( K$ b; Y, N
第一问比较简单,通过高中的知识就可以接出来,! O B8 s. l4 \
R0 = 3/5,S0 = 2/5,R1 = R0*1/4+S0*1/3,S1 = S0*2/3+R0*3/4,同理R2 = R1*1/4+S1*1/3,S2 = S1*2/3+R1*3/4,
" N: V2 K, P k7 s5 Q0 O; R$ f
$ Z" u t: K3 Z0 R. I7 v3 E6 ]这样稍加运算就可以算出结果,但是当计算5年以后时就会比较吃力了,下面通过转移矩阵的知识进行求解。 ' L( |4 x% b: |. D
先建立一个R和S公司的初始分配矩阵 ]# ?) j' G/ Z. g% Z) Y
RS0 = [3/5 2/5]/ _# H9 B& O0 i" A: f D
再建立一个转移矩阵& r2 Q! G2 w1 N
A = [1/4 1/3; 3/4 2/3]# W! C0 c8 A0 [& V
一年以后的分配为
/ w0 t' f p( R; hRS1 = A*RS0, {9 i5 e3 P" V7 r! W
两年以后的分配为
. H0 R/ N" E4 X# F; @; T ERS2 = A^2*RS0
/ s0 F% Y8 X- u5年以后的分配为
/ ?; V; D" M% H6 IRS5 = A^5*RS00 m; a$ T, b% d4 C9 n( V5 O
转移矩阵的第一行第一列为第一家公司保持的份额,第二行第一列是第一家公司向第二家公司转移的份额,第一行第二列是第二家公司向第一家公司转移的份额,第二行第二列是第二家公司保持的份额。) t( V$ X, `; `& W- ]: s
- h8 _9 g7 ]0 w0 Q m6 d |