全国大学生数学建模大赛例题

zhangtt123

全国大学生数学建模大赛例题
例1 打水问题
0 Q2 u0 Q  b5 B5 Z
' ], A$ z6 }% j; Z7 A我们大部分同学都有到水房打水的经历，每天晚上高峰期间开水房的拥塞想必让每一个人都深有感触吧，偏偏这种时候还有一些人喜欢一个人占好几个龙头，不能不让人愤怒。对每个人来讲，最好的办法当然是在不违反排队顺序的前提下尽可能早地接触龙头。事实上大家也基本上是这样做的。在高峰时期霸占多个龙头的人就算不遭到语言的谴责也会遭到目光的谴责。

9 R/ e+ v0 {4 x) D  ?$ z6 A    但是，让我们算一算：
# P& b/ _; Q" f
7 X. ~- C  R: |% f               假设现在有2个水龙头，10 个人来打水，每个人拎着两个壶，每打一壶要1分钟，这是一种很常见的情况。
  h2 Y6 m; b$ z! i- U% b
( F; W' _4 Y6 t4 U               方法A：经验方法。这样，当有两人等待时，两个人各用一个龙头，为将10个人打满，总共的等待时间是：
9 Q- Q% ^% c$ H3 l7 p& T/ k: g) {
, {5 R1 @% q5 {5 p( m2*(2+4+6+8+10)=60 分钟
; H; f" @( s3 G9 Z# Z
+ @1 u& `; I6 ?, t3 l1 V               方法B：每次分配水龙头时都优先满足最前面的人。这样，当有两人等待时，第一个人先用两个龙头，等他打完了第二个人再用。这种方法下总的等待时间是：

' k, `3 `0 n) R. h* R/ S1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55 分钟
' ^8 `9 p, J2 L' j+ y/ Z/ g
              结果后一个方法被证明是更有效率的。也就是说，这个看起来有些自私的方案，这个常常被我们谴责的方案，事实上是一个更合理的方案。
. y. H0 K8 _6 N$ f; ^
              进一步思考：哪儿节省了5分钟时间？
" z; w% M, Q" a/ P) h
              这实际上是一个“相同任务量的并行服务队列”问题。
2 f( U/ m( w) V# k& G! f7 o
9 Z( v. D9 }2 E1 r( x+ C7 x4 Z    例2  银行排队问题

              去银行存取钱对每个人来说都决不是一次愉快的经历。如果有多个窗口，是否有办法在现有窗口的情况下提高整个系统的效率？

              不同任务量的串行服务队列。

例3 欧氏几何学的建立
% M0 p/ r6 _5 b" t! u5 j& S4 ^
公元前三世纪欧几里德建立的欧氏几何学，就是对现实世界的空间形式所提出的一个数学模型。这个模型十分有效，后来虽然有各种重要的发展（各种非欧几何学），但欧氏几何仍一直使用至今。

例4  万有引力定律的发现

9 M- y; J0 }6 }0 l* p开普勒根据第谷留下的20多年的天文观测数据总结出行星运动三大规律(行星运动的数学模型)（①所有的行星分别在不同的椭圆轨道上围绕太阳运动,太阳处在这些椭圆的一个焦点上.②对每个行星而言,行星和太阳的连线在任意相等的时间内扫过的面积都相等("面积速度"不变).③所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等.），相当准确的揭示了行星运动的规律，解释了当时已知的行星运动现象。牛顿试图用自己发现的力学定律去解释它，但当时已有的数学工具是不够用的，这促使了微积分的发明。然后牛顿根据行星运动三大规律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律 （任意两个质点通过连心线方向上的力相互吸引。该引力的的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比，），这更是一个数学建模取得成功的典型例子。其它一些重要的力学、物理学科基本定律，也无不是抓住了该学科本质的数学模型，成为有关学科的核心内容和基本框架。