7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）

1.    席位分配：

1 ?2 @: B  m6 `  g4 {0 h7 f9 u2 oa)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。
: X$ S2 t, g8 ^  r  ?# T+ g  W4 f
c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
3 ^. P4 J, [3 x$ X; h8 n! i2 J& z

7 x, x! |# t6 Y1 j$ q
2.    双层玻璃窗的功效：

a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？
  t" @9 E+ T& d0 q6 E3 L5 }. N3 f
0 k8 k$ ]. F' N. \, S) F; o( Yb)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。

c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
: {) g& @9 `9 G3 s
d)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
$ \- X! @, f, l
: J+ K) _, X* p% u( G/ D* Ke)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。

/ |& L( G$ |1 q5 @
9 K! l( F1 c# Z4 @7 l, ^2 ~( B
- l. w2 u& Z' j3.    划艇比赛的成绩：
* F$ W2 ~+ d8 X, |' {' x
+ e6 k9 h: K. c/ z) d. ]' }1 U* La)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
9 ^+ E; ]' D1 X0 s! @$ b/ ]1 Q
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
" J; F7 i, e2 f* r$ S
1 _" |7 ?& u* K' t  R9 ]- Q# Y4 Oc)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

6 J3 Z* q$ ?) _( l8 u; `4 H" ]d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
5 j. a  b- t( ^: t) J; ~0 S
: f8 `- _- D" x( j7 N% E% g: ?e)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     
. n' I0 E' q  A' e0 {" g7 u/ p$ K
% Z- N* }0 R8 I$ y8 D9 A4 w
3 ]& U) e- z& E1 [( _3 _$ Q
4.    录像机计数器的用途：机理分析
- l1 e  M, p% ?( Y7 b7 h
a)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.

" |. H8 a, b$ q1 n$ T& V7 F2 N2 }问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？

1 ?8 b& e5 i# `+ T& Yb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
( [: y1 `0 E1 S4 s/ i* N; x) S
c)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？
: `  J( Z8 I/ \- G) t4 }
$ ?6 ?: n: Z/ h) e# L, T, ^: sd)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！
: F% j9 n6 e" U4 d1 P

+ T+ h2 I: P/ X
, b7 r) d: z. {) n5.    实物交换：

a)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。
# g/ `+ y/ }! t, @; E% y# R& r
" t  Q4 }% m( \+ |b)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

$ T/ J. n* ^% O+ ?5 l% Jc)      根据不同假设，进行不同建模处理。
& Q0 |& i& ?8 a8 n, a- k: y
- r+ J: {% k5 ?% N' x( w6 i: z5 L, O

3 z3 B$ A: N3 Q2 ~- y% U  e$ j6.    传送带的效率：物理实际模型

a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。
3 _4 S( \  O# p  K" D! G) O
9 x/ l7 X2 I; J; Z, y8 vb)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。

$ z5 P) g! }' s/ ^" t- l1 @# Yc)      模型建立，提出提高效率的途径。

  h5 P1 d) @# Q5 y! m1 y0 q: c
) m& X5 G. M$ w% b9 A
% Q" V3 f! A6 D6 W, u3 C  w+ C7.    起帆远航：

0 n% S, A4 c/ [: A% D! g$ X: e3 j. Oa)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
0 T! g7 I4 g0 M1 t: [; j  _
! i' q( ]1 J. R; q) fb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。
. t, I$ c) i7 g
c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
; R: Q! |( _+ O) y# P6 K% D! i

总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；
; {0 }9 r( E" s5 }9 Q0 J
2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；
2 O6 s4 [1 [3 H: M, Y: R0 V
3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；

. `" F8 R) |$ j; k) d8 D7 I4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

% s; N* ?) z, c% t# a' Z  a) E2 T6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

9 i0 [* V/ C4 @( o' G+ ?7 V7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
0 ]7 Z" A: L6 B8 E---------------------

8 i$ d; F% U+ `# Y