7个入门建模实例讲解

浅夏110

第二章：初等模型（初等数学方法建模）
' o. W6 r+ X0 u8 K1 H
1.    席位分配：
! B+ `$ w  L0 R2 u" ^. q3 q, e
% P/ Y8 d! @! U1 ya)      问题描述：三个系学生共200名（甲系100、乙系60，丙系40）。代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。

b)     问题存在：现因学生转系，三系人数分别变为：103，63，34.问20个席位如何分配？才能使得尽量“公平”。

c)      解决方法：提出不同的假设，进行不同方法的讨论，对不同方法进行对比分析（满足哪些公平条件），得出结论。
6 j6 U) q1 P( B8 F; a
. K* x5 }' @# A  P9 D

/ ?6 x9 ~  J- Q2.    双层玻璃窗的功效：
! Q0 K# Y- M- k, a; p, s
a)      问题描述：双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失？

b)     问题假设：热量传播只有传单，没有对流；T1，T2不变，热传导过程处于稳态；材料均匀，热传导过程处于稳态。
  W) }/ j7 x2 ?' M- e# V% L
c)      建模：热传导定律模型。（有公式）
: p$ d: W; E' s/ v: _, ?2 }
% j; R' L; j$ x$ Td)     分析：属于“测试分析“类型，建模分析，计算得结果，下结论。
* }% F$ j( S1 P8 x- D
e)      延伸：考虑实际情况，进一步分析下结论会更好。


7 U3 s9 G  x7 g; m, D! {
( ]1 Z& [* Q% b- a  M$ a" M1 c3.    划艇比赛的成绩：

a)      问题描述：对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠军的成绩进行比较，发现与桨手数有某种关系。试建立数学模型揭示这种关系。
1 U6 X) v  g$ M# m5 k
b)     属于统计，数学模型拟合类型；
8 [) z' F( |5 s3 d& i! L
c)      问题分析：赛艇速度与桨手数量之间的关系：前进阻力与前进动力等

d)     问题建模：作出假设，运用合适物理定律建立模型；
% r  R% z7 H; _! v
9 @. A- o- F4 ye)      模型检验：最重要的一部分！即通过实际数据，使用最小二乘法进行模型检验！     



4 Q2 D- V5 R3 X: }. t# }4.    录像机计数器的用途：机理分析

4 `2 i; }; [# n" w: |! ba)      问题描述：经试验，一盘录像带从头走到尾，时间用了183分30秒，计数器读数从0000变到6152.
) b% P" j4 F6 `- H! v: Z/ J& |
: A8 \# o$ d( e问在一次使用中录像带已经转过大半，计数器读数为4580，问剩下的一段还能否录下一小时的节目？
* m/ X" o# ]- r- k) {
( R$ s$ w4 w" [9 M( j& f" Qb)     要求：不仅回答问题，而且建模计数器读数与录像带转过时间的关系；
9 x/ S; b+ D. o6 f
- V6 P+ m  f" ?  ], M0 {* R) S4 m; lc)      思考：计数器读数是均匀增长的吗？

d)     问题分析：通过实际观察录像机计数器的工作原理，发现问题实质；之后进行模型假设，与已有物理知识，进行建模，确定参数，之后进行实际模型检验！



5.    实物交换：

; N/ s" r0 C5 G( Y# W- s+ ta)      问题描述：甲有物品X，乙有物品Y，双方为满足更高的需要，商定相互交换一部分。研究实物交换方案。

# G+ N5 a- N! b4 g7 k5 Db)     根据实际情况建立二维模型：(x,y)表示；

* d# y; a/ V+ n9 oc)      根据不同假设，进行不同建模处理。

. C  G( C. o8 m4 ?: }5 W% I
6 a+ h7 A" w1 D+ x0 S$ p- D
6.    传送带的效率：物理实际模型
/ V! N. s: A! f$ |1 K6 d
a)      问题描述：工人将生产出的产品挂在经过他上方的空钩运走，若工作台数量固定，挂钩数量越多，传送带运走的产品越多，在产品进入稳态后，给出衡量传送带效率的指标，研究提高传送带效率的途径。

b)     问题分析：进行假设，之后因为衡量指标需要自选，所以需要根据实际情况做决定，确定指标。
# `! C2 [; B1 t, O+ b
- b8 d$ g& O" t. R. a& dc)      模型建立，提出提高效率的途径。



7.    起帆远航：

a)      问题描述：帆船在海面上乘风远航，确定最佳的航行方向及帆的朝向。
3 H' I1 R/ z* z# a% g/ Y
. q* X2 o* Y  f1 D3 bb)     简化问题：海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B电，确定起航时的航向，以及帆的朝向。

c)      问题分析：完全根据实际情况进行受理分析，进行模型建立，并求解。
% p) U9 y7 k1 m
0 d- d. u* `7 Z( S! p+ t
' p' h* j1 Y' P7 t. }/ T  c总结：

1.    席位分析：进行不同假设，得出不同模型，进行对比分析；

% N7 a& Z5 x& u4 g" H2.    双层玻璃窗的功效：合理假设，根据已有物理知识，进行模型建立，分析不同情况，下结论；

1 [, R+ r% D1 M  H0 I% T3.    划艇比赛的成绩：合理假设，根据已有物理知识，进行模型假设，再实际数据可测量的情况下！进行模型检验！最后下结论；
% _# e, e) |* z4 x. J+ V
4.    录像机计数器的用途：“机理分析”实物真实物理情况！之后进行假设，模型建立，参数估计（经常使用最小二乘估计），最后进行模型检验，之后下结论。

% ]$ C  S& Y5 d6 j" j" s) K5.    实物交换：二维建模，不同假设，不同原则，不同处理方式。

6.    传送带的效率：根据实际情况，与已有知识，进行合理假设，建模分析，此题重在提出“提高效率”的途径！

7.    起帆远航：根据实际情况，进行受理分析，在一定合理假设的前提下，进行模型建立并求解。
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6 l' v, T0 D1 W) b3 N; C

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